不完備市場(chǎng)上基于虛擬證券的鞅測(cè)度

朱 捷，王生喜，王 杰

(1.廣東科技學(xué)院，廣東 東莞，523083； 2. 廈門(mén)大學(xué) 嘉庚學(xué)院, 福建 漳州，363105)

微觀金融學(xué)的鞅方法(martingale approach)始于Harrison J·M and Kreps D·M 1979年的論文[1].其首次揭示了鞅過(guò)程與無(wú)套利金融市場(chǎng)之間的本質(zhì)聯(lián)系，在很一般的條件下給出了無(wú)套利條件的鞅刻畫(huà)，為未定權(quán)益套期保值(對(duì)沖)策略的研究開(kāi)辟了新的路徑.從金融理論及實(shí)踐的發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，該方法已成為研究現(xiàn)代微觀金融問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)工具.

1981年，Harrison J·M and Pliska S·R[2]在文獻(xiàn)[1]工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示了無(wú)套利概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，完成了資本資產(chǎn)定價(jià)完整的數(shù)學(xué)描述，總結(jié)出資本資產(chǎn)定價(jià)的兩個(gè)基本定理.此后Delbaen F and Schachermayer W[13](1995)、Delbaen F,Granditst P,Rheinlnder T[14](2002)、A·H·施利亞耶夫[19](2013)等學(xué)者將資本資產(chǎn)定價(jià)基本定理推廣到半鞅模型.

資本資產(chǎn)定價(jià)基本定理表明，在不完備的無(wú)套利金融市場(chǎng)上，等價(jià)鞅測(cè)度存在但不唯一.為了給出該市場(chǎng)中資產(chǎn)的合理定價(jià)，需要按照一定的最優(yōu)性準(zhǔn)則從等價(jià)鞅測(cè)度族中選擇合適的鞅測(cè)度.眾多學(xué)者對(duì)不同鞅測(cè)度做過(guò)系統(tǒng)的研究 .Fllmer H，Schweizer M[3](1991)研究了極小鞅測(cè)度(minimal martingale measure);Schweizer M[4](1995)研究了方差最優(yōu)鞅測(cè)度 (variance-optimal martingale measure) ;Csiszar I[5](1975)引入了極小熵鞅測(cè)度;Frittelli[6](2000)研究了極小熵鞅測(cè)度(minimal entropy martingale measure) 的存在性；Platen E and Rebolledo R[7](1996)引入了逆相對(duì)熵鞅測(cè)度 (minimal reverse relative entropy martingale measure) ;Schweizer[8](1999)討論了連續(xù)半鞅過(guò)程極小鞅測(cè)度和逆相對(duì)熵鞅測(cè)度的一致性,等等.魏正紅[16](2003)、閆海峰[18](2012)在半鞅框架下系統(tǒng)研究了最優(yōu)鞅測(cè)度及其對(duì)沖策略.主流文獻(xiàn)中，基本的最優(yōu)鞅測(cè)度有如下四種：極小鞅測(cè)度、方差最優(yōu)鞅測(cè)度、極小熵鞅測(cè)度和極小逆相對(duì)熵鞅測(cè)度.

本文基于Shreve S E[11]構(gòu)建的多維擴(kuò)散過(guò)程所驅(qū)動(dòng)的不完備市場(chǎng)，引入虛擬證券，研究了不同準(zhǔn)則下的最優(yōu)鞅測(cè)度問(wèn)題.提出了均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則及相對(duì)均方差次優(yōu)準(zhǔn)則，并在上述兩個(gè)準(zhǔn)則下，得到了鞅測(cè)度的顯式表達(dá)，指出上述鞅測(cè)度在二階矩意義上與極小鞅測(cè)度、相對(duì)熵極小鞅測(cè)度以及方差最優(yōu)鞅測(cè)度無(wú)差異.

1 基本模型

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)為完備概率空間.在多維擴(kuò)散模型中，市場(chǎng)(B，S)由一種現(xiàn)金債券{Bt}0≤t≤τ和價(jià)格為{S1(t),S2(t),…,Sm(t)}0≤t≤τ的m個(gè)不同的風(fēng)險(xiǎn)證券組成，它們滿(mǎn)足下列隨機(jī)微分方程組[16]：

dBt=rBtdt

(1)

i=1,2,…,m

(2)

其中：{Wj(t)}0≤t≤τ,j=1,…,n是n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)P-Brown運(yùn)動(dòng)，{Ft}0≤t≤τ為由{Wj(t)}0≤t≤τ,j=1,…,n生成的σ-域流(濾子).r為現(xiàn)金債券的利率(常數(shù))，漂移率{μ(t)}0≤t≤τ及波動(dòng)率{σij(t)}0≤t≤τ均為{Ft}0≤t≤τ-可料過(guò)程(1≤i≤m,1≤j≤n)，并且滿(mǎn)足條件

t>0,i=1,…,m

由多因子Girsanov定理，如果{Ft}0≤t≤τ-可料過(guò)程{θi(t)}0≤t≤τ,i=1,…,n,滿(mǎn)足條件

(3)

(4)

(5)

其中：θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θn(t))T稱(chēng)為市場(chǎng)(B,S)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值向量.

進(jìn)一步，如果模型(2)滿(mǎn)足如下的多因子Novikov條件：

記W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wn(t))T，dW(t)=(dW1(t),dW2(t),…,dWn(t))T，波動(dòng)率矩陣∑(t)=(σij(t))m×n，以及μ(t)=(μ1(t),…,μn(t))T，θ(t)=(θ1(t),…,θn(t))T，I=(1,…,1)T∈Rm，則式(3)(取t=τ)與式(5)分別化為如下的向量形式：

(6)

∑(t)θ(t)=μ(t)-rI

(7)

由此，資產(chǎn)定價(jià)基本定理可以表述為:市場(chǎng)(B,S)無(wú)套利機(jī)會(huì)?方程(7)的解存在，并且(i)(B,S)為完備市場(chǎng)?方程(7)的解存在且唯一；(ii)(B,S)為不完備的無(wú)套利市場(chǎng)?方程(7)的解存在但不唯一.

當(dāng)m=n(即市場(chǎng)(B,S)上風(fēng)險(xiǎn)源的個(gè)數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的個(gè)數(shù)相同)，矩陣∑(t)非奇異且滿(mǎn)足Novikov條件時(shí)，方程(7)的解θ(t)=∑-1(t)(μ(t)-rI)通過(guò)Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)(6)確定了唯一的等價(jià)鞅測(cè)度Q，即(B,S)是完備市場(chǎng).

當(dāng)m

θA(t)=(θ1(t),…,θm(t))T，

θB(t)=(θm+1(t),…,θn(t))T.

容易看出，方程(7)具有如下形式的通解：

ηn-m(t))T.由于向量{η1,η2,…,ηn-m}是方程∑(t)θ(t)=0的基礎(chǔ)解系，方程(7)解的向量形式為

(8)

其中：c=(c1,c2,…,cn-m)T∈Rn-m.

綜上所述，當(dāng)m

2 不完備市場(chǎng)的延拓

為簡(jiǎn)化運(yùn)算，本節(jié)假設(shè)所有的μi,σij均為常數(shù).

dBt=rBtdt

i=1,2,…,m,

i=m+1,m+2,…,n

(9)

其中：I1=(1,1,…,1)T∈Rm,I2=(1,1,…,1)T∈Rn-m.

(10)

3 次優(yōu)準(zhǔn)則

3.1 均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則

(11)

式(11)是一個(gè)最小均方誤差準(zhǔn)則下求解最優(yōu)鞅測(cè)度的問(wèn)題.直接求解式(11)仍舊是一件棘手的工作，我們需要對(duì)其再做一次放松處理.容易得到

于是求解式(11)可轉(zhuǎn)換化為如下等價(jià)問(wèn)題：

(12)

由式(11)、式(12)的放松問(wèn)題為

(13)

其中：Θ={θ:∑θ=μ-rI,R(∑)=m}.問(wèn)題(13)的等價(jià)形式如下：

(14)

本文稱(chēng)式(14)為均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則(Mean square error suboptimal criterion).

定理3.1(i)問(wèn)題(14)存在唯一的最優(yōu)解c*=(2h)-1b，其中：

(ii) 在均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則下，市場(chǎng)(B,S)的等價(jià)鞅測(cè)度Q*由如下的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)所確定：

n-m.由式(14)可以直接推導(dǎo)出

(15)

從而函數(shù)h(c)的梯度為h(c)=(h1,h2,…,hn-m)T，h(c)的Hessian矩陣

2h(c)=(hij)n-m=

注意到{η1,η2,…,hn-m}是線性無(wú)關(guān)的向量組，令

則有ΛT2h(c)Λ=2Π

于是矩陣Π與2h(c)合同.由Cauchy不等式得到得知，Π是某個(gè)隨機(jī)向量的相關(guān)矩陣，從而矩陣2h(c)=(hij)n-m在c=(c1,c2,…,cn-m)T∈En-m上正定.換言之，h(c)在c=(c1,c2,…,cn-m)T∈Rn-m上是嚴(yán)格凸函數(shù).由凸規(guī)劃理論，式(14)存在唯一的最優(yōu)解c*，并且c*由方程組h(c)=0給出.

(2h)c=b

c*=(2h)-1b

(ii)結(jié)論顯然.

3.2 相對(duì)均方差次優(yōu)準(zhǔn)則

其中：ζ∈Ψ. 由于

相應(yīng)的Lipschitz條件：

|exp(‖θ‖2+4θTθε+3‖θε‖2|τ-exp[ln2+(‖θε‖2-θTθε)τ]

≤L|‖θ‖2+5θTθε+2‖θε‖2)τ-ln2|

從而得到相對(duì)均方差次優(yōu)準(zhǔn)則(Relative mean variance suboptimal criterion)：

(16)

定理3.2(i)問(wèn)題(16)存在唯一的最優(yōu)解

c**=7(2h)-1b

(ii)在均方差次優(yōu)準(zhǔn)則下，市場(chǎng)(S，B)的等價(jià)鞅測(cè)度由如下Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)所確定：

定理3.3表明，我們能夠概括出按某種“準(zhǔn)則”產(chǎn)生最優(yōu)鞅測(cè)度的一般方法.

定理3.3 (i)在本文有關(guān)連續(xù)擴(kuò)散模型的框架下，產(chǎn)生極小鞅測(cè)度、相對(duì)熵極小鞅測(cè)度、方差最優(yōu)鞅測(cè)度、均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則以及相對(duì)均方差次優(yōu)準(zhǔn)則下的鞅測(cè)度，其相應(yīng)準(zhǔn)則(目標(biāo)函數(shù))所生成的Hessian矩陣及最優(yōu)方程具有如下統(tǒng)一形式：

b)c*(N)=N(2h)-1b

1)對(duì)于極小鞅測(cè)度、相對(duì)熵極小的鞅測(cè)度以及方差極小鞅測(cè)度準(zhǔn)則，N=2

2)對(duì)于均方誤差次優(yōu)準(zhǔn)則，N=1

3)對(duì)于相對(duì)均方差次優(yōu)準(zhǔn)則，N=7

(iii)在二階矩意義下，上述鞅測(cè)度不可比較(無(wú)差異).

4 結(jié) 語(yǔ)