縱連軌道板上拱安全升溫幅度簡(jiǎn)化計(jì)算方法

鐘陽(yáng)龍，蔡小培，侯博文

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 北京 100044)

CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道[1]是由鋼軌、扣件、軌道板、CA砂漿層和支承層等組成的縱向連續(xù)結(jié)構(gòu)。由于縱向變形受到約束，在夏季極端氣候和持續(xù)高溫[2]作用下軌道板內(nèi)產(chǎn)生巨大溫度力，從而導(dǎo)致軌道板上拱病害的發(fā)生，嚴(yán)重威脅行車安全。調(diào)研發(fā)現(xiàn)軌道板上拱多發(fā)生在板端。這是由于板端的板間接縫是CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道的薄弱環(huán)節(jié)，在復(fù)雜環(huán)境因素作用下可能出現(xiàn)損傷而導(dǎo)致軌道板偏心受壓失穩(wěn)[3]。文獻(xiàn)[4-6]針對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。不過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)在接縫完好地段同樣存在軌道板上拱情況[7]。因此，開(kāi)展無(wú)接縫損傷的縱連軌道板失穩(wěn)問(wèn)題研究依然十分必要，同時(shí)可為其他縱連式軌道的穩(wěn)定性研究提供參考。

林紅松等[8]基于建立的軌道板-橋梁-墩臺(tái)有限元模型，研究了大跨橋上縱連板式軌道的穩(wěn)定性。周敏等[9]在前者基礎(chǔ)上考慮了軌道層間非線性約束，對(duì)高速鐵路簡(jiǎn)支梁橋上縱連板式無(wú)砟軌道穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并提出層間約束越弱，軌道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性越差。文獻(xiàn)[10-11]考慮了軌道板與砂漿層間的離縫，忽略鋼軌和扣件影響，將縱連軌道板假定為基礎(chǔ)上長(zhǎng)梁，率先采用能量法對(duì)其穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行了分析。陳醉等[12]在文獻(xiàn)[10-11]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了上拱波長(zhǎng)的變化，基于“不等波長(zhǎng)模型”研究了軌道板初拱變形對(duì)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[13-14]針對(duì)既有研究中將軌道板初拱變形設(shè)定為正弦曲線的不足，采用微分方程法獲取了軌道板上拱波形曲線，并基于能量法推導(dǎo)了穩(wěn)定性計(jì)算公式。

既有文獻(xiàn)在研究軌道板上拱時(shí)普遍忽略了鋼軌的作用。在高溫條件下，鋼軌內(nèi)部同樣存在較大的溫度力，可能對(duì)軌道板上拱起到助推作用[15]。因此，在軌道板上拱研究中有必要考慮鋼軌的影響。張向民等[15]考慮了鋼軌溫度力，不過(guò)在模型中僅引入了鋼軌溫度力的垂向分力，并未將整個(gè)鋼軌考慮進(jìn)去，與實(shí)際情況有所不同。

安全升溫幅度TL是最小屈曲溫度，對(duì)應(yīng)平衡路徑上的最低點(diǎn)，見(jiàn)圖1。

圖1 軌道板的平衡路徑

由圖1可知，凹曲線ALB上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)平衡狀態(tài)。當(dāng)升溫幅度Ts>TL時(shí)，每一個(gè)升溫幅度對(duì)應(yīng)兩種平衡狀態(tài)。AL曲線上的①點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，LB曲線上的②點(diǎn)為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)，從①點(diǎn)“彈動(dòng)”到②點(diǎn)達(dá)到平穩(wěn)。升溫幅度越大彈動(dòng)動(dòng)程越大。L點(diǎn)為最低點(diǎn)，是兩種狀態(tài)的匯合，對(duì)應(yīng)的溫度為安全升溫幅度TL。當(dāng)軌道板所受溫度小于或等于TL時(shí)，軌道板是穩(wěn)定的，不會(huì)發(fā)生上拱現(xiàn)象[14]。安全升溫幅度對(duì)于工程設(shè)計(jì)至關(guān)重要。但在既有研究中對(duì)其關(guān)注較少。本文基于等效截面法和勢(shì)能駐值原理，構(gòu)建了考慮鋼軌作用的縱連板式無(wú)砟軌道上拱分析模型，推導(dǎo)了軌道板上拱安全升溫幅度的計(jì)算公式，分析了安全升溫幅度的參數(shù)影響規(guī)律，計(jì)算方法和研究結(jié)果可為縱連無(wú)砟軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)和養(yǎng)護(hù)維修提供參考。

1 計(jì)算方法

1.1 基本假設(shè)

假定鋼軌和軌道板為均質(zhì)線彈性體結(jié)構(gòu)，不考慮初始缺陷和結(jié)構(gòu)損傷的影響[13]。線路運(yùn)營(yíng)過(guò)程中存在軌道板與CA砂漿層離縫的不利情況，因此計(jì)算中可忽略CA砂漿層的黏結(jié)強(qiáng)度[10]，僅考慮垂向支撐和切向阻力的作用。另外，假定扣件在軌道板上拱過(guò)程中保持正常工作狀態(tài)，可有效連接鋼軌和軌道板。從而可將鋼軌和軌道板等效為置于CA砂漿上的無(wú)限長(zhǎng)梁，梁的重量和抗彎剛度等于鋼軌和軌道板之和。后續(xù)對(duì)比驗(yàn)證表明該假定誤差較小且偏于安全。此外，需要特別說(shuō)明的是軌道板的初始不平順對(duì)安全升溫幅度影響很小[13,16]。圖1中虛線為考慮初始不平順時(shí)軌道板的平衡路徑示意圖[17]，其相應(yīng)的安全升溫幅度與直板結(jié)果非常接近。同時(shí)考慮到無(wú)砟軌道初始不平順很小，因此可不考慮軌道板初始不平順的影響。

1.2 換算等效長(zhǎng)梁

鋼軌與軌道板系統(tǒng)的參數(shù)見(jiàn)圖2。

圖2 鋼軌-軌道板系統(tǒng)參數(shù)示意

設(shè)定鋼軌與軌道板的彈性模量比值為m=Er/Es，熱膨脹系數(shù)比值為n=αr/αs,則軌道板的單位長(zhǎng)度重量qs可表示為

qs=9.8ρshb

( 1 )

式中：h為軌道板厚；b為寬，ρs為密度。

鋼軌的單位長(zhǎng)度重量為qr。等效長(zhǎng)梁的單位長(zhǎng)度重量為鋼軌和軌道板之和，即

q=2qr+qs

( 2 )

等效長(zhǎng)梁的抗彎剛度表示為鋼軌和軌道板之和，即

EI=2ErIr+EsIs

( 3 )

令等效長(zhǎng)梁材料參數(shù)與軌道板相同E=Es、α=αs，則等效長(zhǎng)梁的截面慣性矩為

I=2mIr+Is=2mIr+bh3/12

( 4 )

由于鋼軌材料參數(shù)與等效長(zhǎng)梁不同，則需對(duì)鋼軌的截面積Ar進(jìn)行換算得到換算截面積Ah?？紤]換算前后鋼軌溫度力相同，即

ErArαrTr=EsAhαsTr

( 5 )

( 6 )

則等效長(zhǎng)梁的截面面積為

A=As+2Ah=bh+2mnAr

( 7 )

1.3 安全升溫幅度計(jì)算公式

軌道結(jié)構(gòu)等效為單根長(zhǎng)梁后，可進(jìn)行屈曲上拱的解析分析[10-14]。等效長(zhǎng)梁上拱過(guò)程中的受力見(jiàn)圖3。由圖3可知，長(zhǎng)梁主要受溫度力、重力、CA砂漿阻力等作用。長(zhǎng)梁在較大的溫度力作用下發(fā)生屈曲上拱。上拱區(qū)域長(zhǎng)度設(shè)定為2l，兩端為伸縮區(qū)域。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，將坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在上拱區(qū)域中間，并以右側(cè)(x≥0)為研究對(duì)象。

圖3 鋼軌-軌道板系統(tǒng)等效長(zhǎng)梁上拱分析物理模型

長(zhǎng)梁的升溫幅度設(shè)為T，單位長(zhǎng)度重量為q。CA砂漿阻力采用非線性公式[17]為

rc(u)=bτ0tanh(ηu)

( 8 )

式中：rc為CA砂漿阻力,N/m；b為軌道板寬度；τ0、η分別為砂漿界面剪切強(qiáng)度、曲線形狀系數(shù)，根據(jù)推板試驗(yàn)結(jié)果[3]分別取0.025 MPa、2 500 m-1。

梁的軸向和垂向位移分別為u和v，則梁應(yīng)變?chǔ)藕蛷澢师士杀硎緸?/p>

( 9 )

κ=v″

(10)

既有文獻(xiàn)研究表明[13]，采用剛性基礎(chǔ)假定是可行的。在剛性基礎(chǔ)假定下，梁在伸縮區(qū)域滿足邊界條件為

v(x)=v′(x)=v″(x)=0x≥l

(11)

在此條件下，梁在上拱過(guò)程中的總勢(shì)能Π包括梁的彈性彎曲、軸向壓縮、抵抗砂漿縱向阻力的變形以及重力勢(shì)能，計(jì)算式為

(12)

式中：εT為溫度應(yīng)變,εT=αT；α為線膨脹系數(shù)；T為梁的升溫幅度。

為了便于區(qū)分，將梁在上拱區(qū)域的位移表示為u1和v1，在伸縮區(qū)域的位移表示為u2和v2。

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，通過(guò)δΠ=0可以得到梁的平衡狀態(tài)。參考文獻(xiàn)[17-18]的研究，采用變分法的歐拉-拉格朗日方程計(jì)算δΠ=0，可以得到梁的平衡方程為

(13)

(14)

對(duì)于交界點(diǎn)x=l，滿足的邊界條件[18]為

(15)

對(duì)于原點(diǎn)x=0，滿足的邊界條件為

(16)

同時(shí)還滿足

(17)

由式(13)的第2個(gè)計(jì)算式可知，上拱區(qū)段梁的軸向力Nt=-EA(ε-εT)是常數(shù)，那么式(13)的第1個(gè)計(jì)算式可簡(jiǎn)化為

(18)

式(18)是常系數(shù)四階線性微分方程，其通解為

v1(x)=

(20)

式中：λl=4.493 4。

根據(jù)式(20)可以計(jì)算得到任一Nt下梁的上拱矢度ω=v1(0)。為了進(jìn)一步評(píng)定什么溫度條件下上拱以及獲取上拱安全升溫幅度，還需計(jì)算Nt與升溫幅度T的對(duì)應(yīng)關(guān)系。參考文獻(xiàn)[17-18]，推導(dǎo)得到關(guān)系式為

(21)

(22)

根據(jù)式(21)～式(22)可以計(jì)算得到任一Nt下梁的升溫幅度T。

梁的溫度力由鋼軌溫度力和軌道板溫度力組成，計(jì)算式為

EAαT=2ErArαrTr+EsAsαsTs

(23)

推導(dǎo)可得

(24)

結(jié)合式(24)從而計(jì)算得到任一Nt下縱連軌道板的升溫幅度Ts。綜合式(20)計(jì)算得到的任一Nt下梁的上拱矢度ω，可繪制出軌道板升溫幅度Ts與上拱矢度ω的關(guān)系曲線，也即縱連軌道板平衡路徑曲線。平衡路徑曲線的最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌道板升溫幅度，即縱連軌道板的上拱安全升溫幅度TL，計(jì)算式為

(25)

2 方法驗(yàn)證

2.1 與既有文獻(xiàn)對(duì)比驗(yàn)證

本文與既有文獻(xiàn)[14]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證計(jì)算方法的可行性。文獻(xiàn)[14]雖然在模型中沒(méi)有考慮鋼軌，但引入了鋼軌重力的影響并計(jì)算得到了軌道板上拱的安全升溫幅度。本文計(jì)算參數(shù)與文獻(xiàn)[14]相同，見(jiàn)表1。

表1 軌道模型參數(shù)

基于第1節(jié)所述計(jì)算方法計(jì)算得到考慮鋼軌重力影響的軌道板平衡路徑見(jiàn)圖4。由圖4可知，縱連軌道板上拱安全升溫幅度TL=49℃，與文獻(xiàn)[14]計(jì)算結(jié)果相同。說(shuō)明本文提出的計(jì)算方法合理可行。

圖4 與既有文獻(xiàn)[14]計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

2.2 與有限元結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

本文同時(shí)與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證提出的計(jì)算方法可以充分考慮鋼軌的影響?；贏baqus有限元軟件建立的鋼軌-軌道板上拱分析模型見(jiàn)圖5。由圖5可知，由于鋼軌和縱連軌道板都屬細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，可采用二結(jié)點(diǎn)三次歐拉梁?jiǎn)卧狟23進(jìn)行模擬。扣件和砂漿層的非線性約束采用連接單元CONN2D2進(jìn)行建模。整個(gè)軌道結(jié)構(gòu)關(guān)于上拱區(qū)域中心位置的橫截面對(duì)稱，因此僅需建立半個(gè)軌道模型。模型的長(zhǎng)度和單元網(wǎng)格尺寸通過(guò)試算確定，以達(dá)到計(jì)算精度和計(jì)算效率的綜合考慮。模型一端對(duì)稱約束，另一端固定約束。模型中除了施加溫度和重力外，還在對(duì)稱邊界位置的軌道板端部節(jié)點(diǎn)上施加一位移擾動(dòng)。通過(guò)擬靜力算法，計(jì)算得到任一溫度條件下軌道板上拱屈曲時(shí)刻的垂向位移(也即上拱矢度)。進(jìn)而繪制出升溫幅度-上拱矢度關(guān)系曲線(即平衡路徑)并計(jì)算得到軌道板上拱安全升溫幅度。

圖5 鋼軌-軌道板上拱分析有限元模型

不同鋼軌升溫幅度下的軌道板平衡路徑見(jiàn)圖6。由圖6可以看出,計(jì)算公式得到的結(jié)果與有限元結(jié)果，不管是曲線趨勢(shì)還是數(shù)值大小都非常接近，表明本文提出的計(jì)算方法是可行的。

圖6 與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

在本文1.1節(jié)里提到該計(jì)算方法有一定誤差，此處對(duì)誤差產(chǎn)生原因進(jìn)行分析。在1.1節(jié)的基本假設(shè)里提到扣件“可有效連接鋼軌和軌道板”并認(rèn)為梁的“抗彎剛度等于鋼軌和軌道板之和”。這兩個(gè)假設(shè)，前者認(rèn)定扣件垂向剛度足夠大從而可有效連接鋼軌和軌道板，后者認(rèn)為扣件縱向阻力較小，給軌道系統(tǒng)整體抗彎剛度的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)。本節(jié)基于有限元模型，對(duì)扣件垂向剛度和扣件縱向阻力的影響進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7、圖8。由圖7、圖8可知，計(jì)算誤差主要由后者假設(shè)產(chǎn)生，不過(guò)誤差較小且偏于安全，因此說(shuō)明該計(jì)算方法是可行的，且滿足工程設(shè)計(jì)的需要。

圖7 不同扣件垂向剛度下軌道板平衡路徑

圖8 不同扣件縱向阻力下軌道板平衡路徑

3 方法應(yīng)用

本節(jié)基于提出的計(jì)算方法對(duì)軌道板安全升溫幅度的參數(shù)影響規(guī)律進(jìn)行分析。參數(shù)包括鋼軌升溫幅度、軌道板厚度、軌道板彈性模量和砂漿層界面剪切強(qiáng)度。

3.1 鋼軌升溫幅度影響

軌道板安全升溫幅度隨著鋼軌升溫幅度的增加而減小，基本呈線性關(guān)系，見(jiàn)表2?；谠摲椒ㄟ€可計(jì)算得到不考慮鋼軌時(shí)軌道板的安全升溫幅度為47 ℃，僅考慮鋼軌重力時(shí)為49 ℃，同時(shí)考慮鋼軌重力和抗彎剛度時(shí)為54 ℃。這說(shuō)明鋼軌重力和抗彎剛度可抑制軌道板失穩(wěn)。但當(dāng)同時(shí)再考慮鋼軌溫度且升溫幅度達(dá)到40 ℃時(shí)，由表2可知，軌道板安全升溫幅度降低到46 ℃，小于47 ℃，說(shuō)明鋼軌起到了加劇軌道板失穩(wěn)的作用。因此，在研究軌道板穩(wěn)定性時(shí)非常有必要關(guān)注鋼軌的影響。

表2 鋼軌升溫幅度對(duì)軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

3.2 軌道板厚度影響

軌道板厚度取0.1～0.3 m，鋼軌升溫幅度取60 ℃，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知，軌道板安全升溫幅度隨著軌道板厚度的增加而線性增加，因此可通過(guò)增加軌道板厚度來(lái)提高軌道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

表3 軌道板厚度對(duì)軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

同時(shí)發(fā)現(xiàn)解析解計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的差值隨著板厚的減小而增大。這是由于板厚減小，軌道系統(tǒng)整體抗彎剛度也減小，從而增大了扣件阻力對(duì)軌道系統(tǒng)抗彎剛度的影響程度。建議在軌道板厚度不小于0.1 m的情況下使用本文提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

3.3 軌道板彈性模量影響

考慮C30、C40、C55、C70四種混凝土標(biāo)號(hào)的彈性模量，鋼軌升溫幅度同樣取60 ℃，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。由表4可知，軌道板安全升溫幅度隨著軌道板彈性模量的增大而線性減小，但變化幅度不甚明顯。同時(shí)可知在既有軌道板彈性模量范圍內(nèi)，公式法具有較好的計(jì)算精度。

表4 軌道板彈性模量對(duì)軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

3.4 砂漿層界面剪切強(qiáng)度影響

砂漿層界面剪切強(qiáng)度τ0考慮0.006、0.013、0.025、0.040、0.060 MPa五種情況，其他參數(shù)保持不變，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。由表5可知，軌道板安全升溫幅度隨著砂漿層界面剪切強(qiáng)度的降低而迅速減小。因此為了保持軌道結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，需重點(diǎn)關(guān)注層間離縫情況，盡量提高層間粘結(jié)性能。

表5 砂漿層界面剪切強(qiáng)度對(duì)軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

4 結(jié) 論

本文建立了考慮鋼軌作用的縱連軌道板上拱分析模型，推導(dǎo)了軌道板安全升溫幅度計(jì)算公式，并與既有文獻(xiàn)和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了該計(jì)算方法的可行性，最后基于該方法研究了軌道板安全升溫幅度及其參數(shù)影響規(guī)律。主要有以下結(jié)論：

(1)本文提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法合理可行，可應(yīng)用于縱連式無(wú)砟軌道的穩(wěn)定性分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

(2)鋼軌升溫幅度較大時(shí)，鋼軌可能加劇軌道板失穩(wěn)，因此在研究軌道板穩(wěn)定性時(shí)有必要關(guān)注鋼軌的影響。

(3)可通過(guò)增加軌道板厚度和砂漿層剪切強(qiáng)度等措施提高軌道板的穩(wěn)定性。