約束最小二乘濾波的高斯模糊圖像復(fù)原研究

張艷紅 覃鳳清 姜 麗 文興東 何文杰 萬浩飛

約束最小二乘濾波的高斯模糊圖像復(fù)原研究

張艷紅 覃鳳清 姜 麗 文興東 何文杰 萬浩飛

（宜賓學(xué)院，四川 宜賓 644000）

文章分析了兩種常見的圖像復(fù)原濾波的復(fù)原原理及其局限后，在已知圖像退化函數(shù)的情況下，主要對高斯模糊圖像分別進行維納濾波和約束最小二乘法濾波復(fù)原處理并比較這兩種處理效果圖像的優(yōu)劣之處，在上述基礎(chǔ)上，重點是分析不同高斯點擴展函數(shù)的尺寸及標(biāo)準(zhǔn)差的參數(shù)對高斯模糊圖像復(fù)原效果的影響。最后再綜合視覺效果和PSNR值得出高斯模糊圖像使用約束最小二乘濾波復(fù)原的效果較佳，并且在真實高斯點擴展函數(shù)參數(shù)附近的參數(shù)復(fù)原效果會更好。

高斯模糊；圖像復(fù)原；約束最小二乘濾波；維納濾波；點擴展函數(shù)

引言

圖像復(fù)原算法有很多種，主要包含非盲復(fù)原算法和盲復(fù)原算法兩類。最早的是Harris提出使用點擴散函數(shù)模型來處理由于大氣干擾引起的模糊圖片，隨后相繼提出了逆濾波、維納濾波、約束最小二乘濾波等非盲復(fù)原算法[1]。圖像復(fù)原首先要有一個明確的圖像復(fù)原質(zhì)量準(zhǔn)則，處理時需要對圖像退化過程先進行估算，并且補償退化過程造成的失真，以便獲得未經(jīng)干擾退化的原始圖像或原始圖像的最優(yōu)估值[2]，衡量與原始場景圖像的接近程度。上述問題的關(guān)鍵在于復(fù)原模型的建立，復(fù)原模型必須根據(jù)引起圖像退化的數(shù)學(xué)模型對退化圖像進行處理，然后通過學(xué)習(xí)建立它們之間的映射關(guān)系，從而對高分辨率圖像進行引導(dǎo)和估計，復(fù)原丟失的信息，進而達到恢復(fù)圖像的目的。實際運用可以使用不同濾波的手段對同一個圖像進行圖像復(fù)原處理，使復(fù)原后圖像符合一定的視覺標(biāo)準(zhǔn)，進而達到復(fù)原圖像的目的。

本文主要解決高斯模糊圖像復(fù)原的問題，高斯模糊是生活中常見的模糊圖像，解決此類圖像的模糊問題可以使后續(xù)應(yīng)用更加方便和高速。文中首先介紹了高斯模糊圖像的退化模型，然后研究了維納濾波和約束最小二乘濾波的復(fù)原原理和局限性，然后通過上述兩種不同復(fù)原算法對高斯模糊圖像進行處理，得出處理高斯模糊圖像較好的復(fù)原算法。最后，分析了不同高斯點擴散函數(shù)的大小和標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)對高斯模糊圖像恢復(fù)的影響，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。

1 高斯模糊

1.1 高斯圖像退化模型

圖像模糊是由于像素值的局部平均化而導(dǎo)致圖像內(nèi)容的平滑[3]，在圖像的成像過程中，目標(biāo)會高速運動、散射、成像系統(tǒng)畸變和噪聲等干擾，使最終的圖像出現(xiàn)很多問題，稱為“退化”。圖像復(fù)原的關(guān)鍵是建立退化模型[4]，通常，使用一致的數(shù)學(xué)模型來描述圖像退化過程，然后建立退化模型。對模型進行精確處理，然后反向推導(dǎo)，確定復(fù)原圖像復(fù)原的準(zhǔn)確性。然后，將圖像降晰過程抽象化，粗略概括為將高清圖像與未知點擴展函數(shù)進行卷積，并加入噪聲，最終得到降晰圖像。

圖1 高斯圖像退化模型

2 圖像復(fù)原處理算法

2.1 維納濾波

常見的圖像復(fù)原處理包括維納濾波處理、逆濾波處理、約束最小二乘濾波處理等復(fù)原算法，在這些復(fù)原方法中，維納濾波的圖像復(fù)原處理是一種常見的濾波器，是去除退化圖像的模糊和噪聲的理想濾波器[6]，被廣泛應(yīng)用于各種圖像檢測處理。在Wiener（維納）濾波圖像復(fù)原中，中和了退化函數(shù)和噪聲統(tǒng)計這兩個方面來進行圖像的復(fù)原處理。

維納濾波復(fù)原的主要原理是假設(shè)圖像噪聲是一個隨機過程，找到一個沒有失真圖像的估值，使得它們之間的均方誤差達到最小，從而實現(xiàn)圖像復(fù)原的效果。在圖像復(fù)原過程之中，實際使用到的是非因果Wiener（維納）濾波器，因為它的頻域形式比較簡單，計算效率比較高[7]。

維納濾波是一種線性圖像復(fù)原方法，尋找一個使統(tǒng)計誤差函數(shù)：

在頻域可以表示為：

2.2 約束最小二乘濾波

其約束條件為：

從公式中可以看到，約束最小二乘濾波在高頻區(qū)域中信噪比較低，但是由于通常噪聲是出現(xiàn)在高頻部分，所以濾波器在抑制噪聲的同時也會過濾掉一些圖像本身就有用的高頻信息，這說明約束最小二乘濾波在濾波復(fù)原過程中，可以減少對噪聲的放大作用[10]，從而達到圖像復(fù)原的效果。對于不同原始圖像的先驗知識，采取克服模糊的不同方案，約束最小二乘解具有不同的具體形式。約束最小二乘算法對噪聲較為敏感，在無噪聲或可以忽略的情況下可以獲得比較理想的復(fù)原效果[11]。

3 高斯點擴展函數(shù)

圖像模糊的成因有成像系統(tǒng)的像素差、有限寬帶造成的圖像失真、模擬圖像數(shù)字化過程中，由于損失掉部分細節(jié)，因而造成圖像質(zhì)量下降等問題。在現(xiàn)實生活中，很多光學(xué)測量和成像系統(tǒng)的降晰函數(shù)均趨近于高斯點擴展函數(shù)（PSF），如顯微鏡成像系統(tǒng)、光學(xué)相機都屬于高斯型。

通常，高斯點擴展函數(shù)表示為如下形式：

其中Sup表示支持域，通常被表示為一個K*K的矩形區(qū)域、K被稱為高斯點擴展函數(shù)的尺寸，通常是3～15的奇數(shù)、σ為高斯點擴展函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，高斯模糊圖像主要改變的是高斯點擴展函數(shù)的尺寸和標(biāo)準(zhǔn)差。

4 實驗及對比

為了更好地驗證約束最小二乘濾波對高斯模糊圖像的復(fù)原效果，實驗是通過對Lena原始圖像如圖2（尺寸為256×256）加以高斯點擴展函數(shù)的尺寸為9、標(biāo)準(zhǔn)差為3時生成的高斯模糊圖像如圖3所示，高斯模糊圖像的PSNR值為31.6277 dB，通過對高斯模糊圖像分別使用維納濾波和約束最小二乘濾波復(fù)原處理，進而比較出約束最小二乘濾波與維納濾波的復(fù)原效果的差異，接著再研究不同高斯點擴展函數(shù)的參數(shù)對復(fù)原效果的影響。

圖2 原始圖像

圖3 高斯模糊

4.1 不同復(fù)原算法的復(fù)原效果比較

為了評價不同復(fù)原算法的復(fù)原效果，在原始高斯點擴展函數(shù)參數(shù)情況下進行復(fù)原。此時高斯點擴展函數(shù)估計尺寸為9、標(biāo)準(zhǔn)為3，通過維納濾波及約束最小二乘濾波算法進行圖像復(fù)原，所得到復(fù)原圖像及圖像PSNR值如圖4、圖5所示。

（PSNR：27.1937 dB）

（PSNR：33.4747 dB）

通過這組對比實驗可以看出對于高斯模糊圖像，進行維納濾波和約束最小二乘法濾波復(fù)原處理后，從復(fù)原圖像質(zhì)量以及客觀評價標(biāo)準(zhǔn)來看，約束最小二乘濾波復(fù)原的效果比維納濾波復(fù)原效果好，細節(jié)保持能力較優(yōu)，因此對于高斯模糊圖像，應(yīng)更多使用約束最小二乘濾波復(fù)原方法。

4.2 高斯點擴展函數(shù)參數(shù)對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響

通過改變高斯點擴展函數(shù)的參數(shù)（即高斯點擴展函數(shù)的尺寸及標(biāo)準(zhǔn)差）對同一模糊圖像進行約束最小二乘法濾波復(fù)原處理，并對這幾組數(shù)據(jù)進行比較，分析高斯點擴展函數(shù)參數(shù)對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響。

4.2.1 高斯點擴展函數(shù)尺寸對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響

為了驗證高斯點擴展函數(shù)尺寸參數(shù)對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響，當(dāng)高斯點擴展函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3時，在尺寸分別為5、7、11、13時通過約束最小二乘濾波進行圖像復(fù)原，得到的圖像如圖6所示，復(fù)原圖像的PSNR值見表1。

圖6 不同尺寸的復(fù)原圖像

表1 不同尺寸復(fù)原圖像的PSNR值

高斯點擴展函數(shù)尺寸PSNR（dB） 530.8912 729.8729 933.4747 1128.8632 1328.7225

圖7 不同尺寸復(fù)原圖像的PSNR值

通過圖7及PSNR值可以看出在高斯點擴展函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定的情況下，改變高斯點擴展函數(shù)的尺寸對圖像復(fù)原質(zhì)量的影響是明顯的。當(dāng)高斯點擴展函數(shù)的尺寸逐漸接近原始尺寸時復(fù)原效果會越來越好，PSNR值逐漸在增大，一旦到達原始尺寸后，接著增加數(shù)值圖像復(fù)原效果會逐漸下降。

4.2.2 高斯點擴展函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響

為了驗證高斯點擴展函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)對復(fù)原圖像質(zhì)量的影響，當(dāng)高斯點擴展函數(shù)的尺寸為9時，在標(biāo)準(zhǔn)差分別取2、2.5、3.5、4時通過約束最小二乘濾波進行圖像復(fù)原，得到的圖像如圖8所示，復(fù)原圖像的PSNR值見表2。

圖8 不同標(biāo)準(zhǔn)差的復(fù)原圖像

表2 不同標(biāo)準(zhǔn)差復(fù)原圖像的PSNR值

高斯點擴展函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差PSNR（dB） 230.3736 2.529.2014 333.4747 3.529.8002 428.7415

圖9 不同標(biāo)準(zhǔn)差復(fù)原圖像的PSNR值

通過圖9及PSNR值可以看出在高斯點擴展函數(shù)的尺寸一定的情況下，改變高斯點擴展函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差得到不同的圖像。當(dāng)高斯點擴展函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸接近原始標(biāo)準(zhǔn)差時效果會越來越好，當(dāng)達到原始標(biāo)準(zhǔn)差時，再增加標(biāo)準(zhǔn)差復(fù)原效果不會很明顯。因此，要想得到更精確的復(fù)原結(jié)果，高斯點擴展函數(shù)的參數(shù)取值還需進一步深入研究。

5 結(jié)束語

圖像復(fù)原技術(shù)與其他基本圖像處理技術(shù)相類似，都是一種以獲取視覺效果在某個方面提升為目的，是圖像處理領(lǐng)域中一種非常重要的技術(shù)。文中通過對上述兩種不同算法的研究分析及對計算機模擬出的高斯模糊退化圖像進行復(fù)原處理，從復(fù)原圖像質(zhì)量以及客觀評價標(biāo)準(zhǔn)來看，得到約束最小二乘濾波復(fù)原處理能更好的復(fù)原高斯模糊圖像，在此基礎(chǔ)上改變高斯點擴展函數(shù)參數(shù)時越靠近真實值圖像復(fù)原效果越好這一結(jié)論。此外對于不同的模糊圖像對應(yīng)的最佳復(fù)原方法均不同，后續(xù)需要在復(fù)原方法的參數(shù)估值方面研究，更重要的是對算法的深入研究。

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Research on Gaussian Blur Image Restoration Based on Constrained Least Squares Filtering

After analyzing the restoration principles and limitations of two common image restoration filters, this paper mainly performs Wiener filtering and constrained least square filtering restoration on Gaussian blur image respectively when the image degradation function is known, and compares the advantages and disadvantages of these two processing effects. On the basis of the above, the emphasis is to analyze the influence of the size of different Gaussian point spread functions and the parameters of standard deviation on the restoration effect of Gaussian blur image. Finally, combining the visual effect and PSNR value, it is found that the effect of Gaussian blur image restoration using constrained least square filter is better, and the parameter restoration effect near the parameters of the real Gaussian point spread function is better.

Gaussian blur; image restoration; constrained least squares filtering; Wiener filter; point spread function

TN911

A

1008-1151(2022)09-0010-04

2022-07-10

四川省教育廳項目（18ZA0538）；宜賓市科技局項目（2017ZSF009-9）；宜賓學(xué)院科研項目（2020YY02）；國家級大學(xué)生創(chuàng)新項目（202010641021、201910641016）；四川省大學(xué)生創(chuàng)新項目（S201910641096、S202010641126）；宜賓學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新項目（X106412020336）。

張艷紅（1999－），女，安徽阜陽人，宜賓學(xué)院學(xué)生，研究方向為數(shù)字圖像處理。

覃鳳清（1976－），女，四川南充人，宜賓學(xué)院研究員，博士，研究方向為數(shù)字圖像處理。