考慮剪力滯效應(yīng)及剪切變形的蝶形腹板箱梁撓度分析

張?jiān)骑w，陳建兵，周 晨

（1.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.中交一公局第二工程有限公司，江蘇 蘇州 215011）

蝶形腹板箱梁是一種全新的橋梁結(jié)構(gòu)形式，與傳統(tǒng)混凝土箱梁橋相比，其具有自重輕、養(yǎng)護(hù)費(fèi)用低、施工周期短、造型優(yōu)美等優(yōu)勢(shì)[1]。該結(jié)構(gòu)主要特點(diǎn)在于腹板呈蝴蝶形，傳力形式類(lèi)似于“X”形雙層沃倫桁架結(jié)構(gòu)[2]，荷載作用下，分為主壓應(yīng)力區(qū)域和主拉應(yīng)力區(qū)域。此外，在腹板材料的使用方面選用高強(qiáng)度鋼纖維混凝土，其目的是防止腹板主拉應(yīng)力區(qū)域產(chǎn)生裂縫，避免腹板失效。

世界上第一座蝶形腹板箱梁橋——田久保川橋由日本于2013年建成，如圖1所示。國(guó)外學(xué)者對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一系列研究，Akio Kasuga對(duì)蝶形腹板箱梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了風(fēng)洞試驗(yàn)，以研究其抗風(fēng)性能，研究表明蝶形腹板的開(kāi)孔結(jié)構(gòu)提高了箱梁整體結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和垂蕩振動(dòng)下的氣流穩(wěn)定性[3]；Yuki Kaminaga以芥川大橋?yàn)檠芯繉?duì)象介紹了蝶形腹板混凝土箱梁結(jié)構(gòu)的施工方式、腹板構(gòu)造及傳力方式，并通過(guò)有限元模型驗(yàn)證了腹板的傳力方式類(lèi)似于雙層沃倫桁架結(jié)構(gòu)[4]。蝶形腹板在傳力形式上雖然新穎，但在國(guó)內(nèi)尚未有相關(guān)實(shí)橋，對(duì)其力學(xué)性能方面的研究也較少。為研究蝶形腹板箱梁的力學(xué)性能，焦廣如等[5]通過(guò)制作蝶形腹板箱梁的試驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢?duì)模型三分點(diǎn)位置進(jìn)行了雙點(diǎn)對(duì)稱(chēng)加載，試驗(yàn)結(jié)果表明：在豎向荷載作用下，蝶形腹板接縫位置存在較大剪切變形，但箱梁整體仍具有良好的抗彎性能；朱子昊等[6]推導(dǎo)了蝶形腹板剪切變形計(jì)算公式，通過(guò)有限元驗(yàn)證了理論公式的準(zhǔn)確性，并在有限元模型的基礎(chǔ)上改變腹板厚度和主拉應(yīng)力方向上張拉應(yīng)力的大小，研究?jī)烧吲c腹板剪切變形的關(guān)系，研究表明增大腹板厚度及施加預(yù)應(yīng)力可有效提高腹板承載力。

圖1 田久保川橋形狀圖[1]

目前，在蝶形腹板箱梁的力學(xué)性能研究方面，關(guān)于結(jié)構(gòu)變形的研究還不夠全面，剪力滯效應(yīng)對(duì)蝶形腹板箱梁變形的影響尚不明確。此外，蝶形腹板箱梁作為一種空腹式薄壁型箱梁結(jié)構(gòu)，在受力過(guò)程中腹板將承受剪力作用，但腹板抗剪剛度較低，會(huì)導(dǎo)致腹板產(chǎn)生較大的剪切變形。因此，本文基于Timoshenko梁理論以及能量變分法原理，從剪力滯效應(yīng)及腹板剪切變形兩個(gè)角度考慮結(jié)構(gòu)撓度變形，并提出相關(guān)公式，結(jié)合試驗(yàn)及有限元對(duì)理論結(jié)果加以驗(yàn)證，為該類(lèi)橋梁的設(shè)計(jì)提供參考和理論依據(jù)。

1 基本方程的建立

1.1 控制微分方程的建立

為建立蝶形腹板箱梁剪力滯效應(yīng)的控制微分方程，需做出如下假定[7]：

（1）蝶形腹板箱梁在豎向荷載作用下，結(jié)構(gòu)橫截面沿梁高度方向應(yīng)變滿足平截面假定；

（2）箱梁頂?shù)装迮c蝶形腹板之間協(xié)同工作，性能良好；

（3）忽略蝶形腹板與混凝土頂?shù)装逯g的相對(duì)滑移。

1.2 基本原理

蝶形腹板混凝土箱梁外力荷載及橫斷面圖如圖2所示，在外力荷載q（z）的作用下，截面發(fā)生較大撓曲變形，為更好的描述箱梁截面任意一點(diǎn)的縱向位移，并考慮腹板剪切變形的影響，選取最大剪切轉(zhuǎn)角位移差作為剪力滯廣義位移[7]，則箱梁截面任意一點(diǎn)處的縱向位移u（x,y）、豎向位移ω可表示為

圖2 外力荷載及蝶形腹板箱梁橫截面示意簡(jiǎn)圖

其中，φ（x）=ω'（x）-γ（x），ω（x）為組合梁豎向撓度；γ（x）為組合梁剪切變形值，γ（x）=αQ（x）/（GA），α=A/Aw，A為箱梁截面面積，Aw為箱梁截面腹板面積，G為剪切模量；ωζ（y）為剪力滯縱向翹曲位移差函數(shù)；U（x）為剪力滯廣義位移函數(shù)。

蝶形腹板組合箱梁的剪力滯翹曲位移函數(shù)ωζ（y）選取三次拋物線型[8]，可以表示為

式中，D為使箱梁橫截面滿足軸向剪力滯翹曲應(yīng)力平衡條件而考慮的常數(shù)位移值。根據(jù)箱梁截面軸力為零的平衡條件可知

箱梁截面分別由頂板、底板、翼緣板及腹板四部分組成，將各截面的剪力滯翹曲位移函數(shù)定義為ωζi（y）（i=1，2，3，4），式（4）可表示為

將式（3）代入式（5）可得

式中，A為箱梁橫截面面積；At為頂板截面積，At=b1ts；Ac為翼板截面積，Ac=b2ts；Ab為底板截面積，Ab=b3tx；Aw為腹板截面積，Aw=（hs+hx-ts-tx）×2tw；A=At+Ac+Ab+Aw。

1.3 剪力滯控制微分方程

根據(jù)最小勢(shì)能原理可知，處于平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系總勢(shì)能的一階變分為零，即

式中，Vs為翼板的應(yīng)變能；Vw為腹板應(yīng)變能；W為外力勢(shì)能。寫(xiě)出蝶形腹板箱梁總勢(shì)能表達(dá)式為

式中，Iζi（i=1,2,3,4）分別為蝶形腹板箱梁截面的幾何特性值，具體表達(dá)式如下：

得到微分方程和邊界條件為

整理可得

式中，n=Iζ2Iζ3/（Iζ1Iζ2-Iζ3）；k2=GIζ2Iζ4/[E（Iζ1Iζ2-I2ζ3）]

1.4 等效截面

蝶形腹板箱梁為空腹式結(jié)構(gòu)，截面剛度沿梁長(zhǎng)方向并非連續(xù)分布，因此需對(duì)空腹處截面進(jìn)行等效處理。基于截面等效前后面積與慣性矩相等原則，將蝶形腹板的空腹部分等效成矩形，如圖3所示。腹板高度為hw,腹板厚度為tw，開(kāi)孔高度為d，開(kāi)孔間距為d1,空腹部分面積為A1，慣性矩為I1面積等效后的空腹處矩形高度為hk，寬度為bk。按等效前后面積與慣性矩相等的原則[9]，即則有等效后空腹處截面如圖4所示。將hk、bk代入箱梁橫截面空腹處進(jìn)行計(jì)算可得蝶形腹板箱梁截面空腹處慣性矩Ik為

圖3 蝶形腹板箱梁等效尺寸

圖4 空腹處等效截面

式中，y為各截面到形心距離；s為肋處矩形面積，I0為慣性矩為。

2 撓度方程的建立

蝶形腹板箱梁在剪力滯效應(yīng)以及剪切變形下的撓度變形分為三部分，分別為初等梁理論下的撓度變形ω1，剪切變形引起的撓度變形ω2，以及剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度ω3。因此，剪力滯效應(yīng)及剪切變形下蝶形腹板箱梁的撓度變形表達(dá)式為

測(cè)量不確定度是測(cè)量結(jié)果的科學(xué)表達(dá)，也是測(cè)量結(jié)果可靠性、可比性和可接受性的基礎(chǔ)［1］。目前，中國(guó)各行業(yè)實(shí)驗(yàn)室為實(shí)現(xiàn)與國(guó)際接軌，開(kāi)始進(jìn)行國(guó)家實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可評(píng)審，目的是評(píng)價(jià)測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確性，需對(duì)檢測(cè)過(guò)程進(jìn)行不確定度評(píng)定。根據(jù)實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可準(zhǔn)則要求，在分析檢測(cè)過(guò)程中，需要建立并應(yīng)用評(píng)定結(jié)果的不確定度程序［2］。目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)報(bào)道關(guān)于分析方法測(cè)量不確定度的評(píng)定多見(jiàn)于食品分析［3，4］、環(huán)境分析［5，6］等領(lǐng)域，且在藥物分析領(lǐng)域也得到了一定的應(yīng)用［7，8］，并將得到越來(lái)越多分析工作者的重視。測(cè)量不確定度是對(duì)測(cè)量結(jié)果的定量表征，不確定度越小，測(cè)量結(jié)果越準(zhǔn)，使用價(jià)值越大［2］。

2.1 蝶形腹板箱梁彎曲

為分析初等梁理論下，蝶形腹板箱梁的彎曲變形，提出如下假定[10]：

（1）忽略蝶形腹板對(duì)抗彎承載力的貢獻(xiàn)；

（2）忽略混凝土頂?shù)装宓募羟凶冃危?/p>

（3）蝶形腹板與混凝土頂?shù)装寰鶠槔硐氲膹椥圆牧希豁數(shù)装迮c腹板之間協(xié)同受力，工作良好。

當(dāng)簡(jiǎn)支梁受豎向荷載作用，其加載示意圖如圖5所示。

圖5 集中荷載下簡(jiǎn)支梁加載圖

當(dāng)0≤x≤a時(shí)，簡(jiǎn)支梁內(nèi)力和撓度表達(dá)式

當(dāng)a≤x≤l時(shí)，簡(jiǎn)支梁內(nèi)力和撓度表達(dá)式

式中，E為混凝土的彈性模量。

2.2 蝶形腹板箱梁的剪切變形

蝶形腹板箱梁結(jié)構(gòu)是一種弱腹式薄壁結(jié)構(gòu)。荷載作用時(shí)，其剪力大部分由蝶形腹板承擔(dān)，并且由于腹板沿梁長(zhǎng)方向不連續(xù)的原因，在蝶形腹板接縫處易產(chǎn)生較大的剪切變形。因此在計(jì)算剪力滯下結(jié)構(gòu)的撓度變形時(shí)，剪切變形是一項(xiàng)不可忽略的因素。

在計(jì)算蝶形腹板的剪切變形之前，先引入如下假定[11]：

（1）忽略蝶形腹板的縱向抗彎剛度；

（2）忽略混凝土頂、底板的剪切變形，僅考慮腹板的剪切變形；

（3）蝶形腹板與混凝土板均為理想的彈性體，混凝土頂、底板的撓曲變形一致。

剪力單獨(dú)作用時(shí)，組合梁撓度曲線上任意點(diǎn)的斜率等于該處截面的剪應(yīng)變，則

式中，k0為剪力不均勻系數(shù)，與截面形狀有關(guān)，本文取1。Gw為蝶形腹板的剪切模量，Aw為蝶形腹板等效后的橫截面面積。

將以上幾式代入式（17）可得

2.3 剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度

蝶形腹板箱梁的變形分為彎曲作用下的撓度變形，以及剪力滯效應(yīng)下的附加撓度兩部分。由前文U(x)的微分方程，并考慮U（x）的連續(xù)條件及邊界條件如下[12]：

解得剪力滯效應(yīng)引起的撓度方程為

因此，考慮剪切變形與剪力滯效應(yīng)引起的撓度方程可表達(dá)為

當(dāng)?shù)胃拱逑淞菏芫己奢d作用時(shí)，其加載示意圖如圖6所示。

圖6 均布荷載下簡(jiǎn)支梁加載圖

其彎矩和剪力表達(dá)式為

同理，可得撓曲線方程為

3 有限元模型的建立

3.1 有限元模型建立

運(yùn)用Abaqus有限元軟件建立蝶形腹板箱梁有限元模型，模型采用兩種不同類(lèi)型單元進(jìn)行模擬，其中混凝土頂?shù)装?、腹板均采用?shí)體單元（C3D4R），鋼筋骨架采用線單元（T3D2）。鋼筋網(wǎng)使用內(nèi)置（Embedded region）約束,腹板與頂?shù)装宓倪B接采用綁定（Tie）約束，加載墊塊和支座采用綁定約束，邊界條件為簡(jiǎn)支，有限元模型如圖7所示。

圖7 蝶形腹板箱梁有限元模型

3.2 有限元模型的試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證公式的正確性，制作了蝶形腹板箱梁試驗(yàn)梁模型。該梁結(jié)構(gòu)形式為簡(jiǎn)支梁，梁全長(zhǎng)3 570 mm，計(jì)算跨徑為3 400 mm，箱梁橫截面具體參數(shù)如圖8所示。箱梁頂?shù)装宀捎肅30普通混凝土，蝶形腹板為C60鋼纖維混凝土，具體尺寸如圖9所示。蝶形腹板與頂?shù)装逯g由銷(xiāo)釘和頂?shù)装逯械墓拷钕噙B，起到剪力連接件的作用，能夠有效地傳遞豎向剪力。為方便箱梁變形計(jì)算，在箱梁底部布置了7個(gè)位移計(jì)，測(cè)量其撓度，如圖10所示；試驗(yàn)梁加載模型如圖11所示。

圖8 截面基本尺寸

圖9 蝶形腹板構(gòu)造圖

圖10 位移計(jì)布置圖

圖11 蝶形腹板箱梁加載圖

3.3 對(duì)比分析

蝶形腹板箱梁是一種弱腹式箱梁結(jié)構(gòu)。在豎向荷載作用下，引起結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形的因素有很多，其中剪切變形與剪力滯效應(yīng)是引發(fā)撓度變形的兩個(gè)重要因素，根據(jù)試驗(yàn)梁模型的相關(guān)參數(shù)，代入前文公式得到理論值，與文獻(xiàn)[5]中不考慮剪切變形及剪力滯效應(yīng)下的結(jié)構(gòu)撓度變形進(jìn)行對(duì)比，并結(jié)合試驗(yàn)值與有限元值分析，驗(yàn)證文中理論公式的準(zhǔn)確性。

取P=85 kN下的試驗(yàn)值、有限元值、文獻(xiàn)值及本文值進(jìn)行分析，整理結(jié)果如圖12所示，以及表1所列。

圖12 集中荷載下蝶形腹板箱梁撓度變形對(duì)比圖

表1 集中荷載下蝶形腹板箱梁撓度對(duì)比

由圖12和表1可知，考慮剪力滯效應(yīng)及剪切變形下的撓度值與文獻(xiàn)值相比更加接近試驗(yàn)值，其中彎剪段的撓度值較文獻(xiàn)值相比精度更高，跨中及支座位置的撓度值差距較小，說(shuō)明集中荷載作用下剪力滯效應(yīng)及剪切變形對(duì)蝶形腹板箱梁的撓度變形影響主要集中在彎剪段。在測(cè)點(diǎn)位置N2處，本文方法與文獻(xiàn)方法所計(jì)算的誤差較大，這是由于箱梁彎剪段受到剪力滯效應(yīng)與剪切變形引起的撓度變形較大，并且空腹處截面進(jìn)行截面等效時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。

為研究均布荷載作用下，蝶形腹板箱梁撓度變形情況，取均布荷載q=10 kN/m，將截面特征值、荷載及相關(guān)截面參數(shù)代入式（22）中將理論值與有限元值以及文獻(xiàn)值相比較得出結(jié)果如表2及圖13所示。

由表2及圖13可知，考慮剪力滯效應(yīng)及剪切變形下的撓度值與文獻(xiàn)值相比更加接近有限元值，全梁段精度與文獻(xiàn)值相比均有提高。因此在均布荷載作用下，考慮剪力滯效應(yīng)及剪切變形下的撓度計(jì)算更為精確。此外，在均布荷載作用下，剪力滯效應(yīng)及剪切變形對(duì)蝶形腹板箱梁撓度的影響主要集中在箱梁的彎剪段。在測(cè)點(diǎn)N1、N2處的本文值與有限元值誤差較大，這是由于有限元的數(shù)值計(jì)算無(wú)法精確模擬出試驗(yàn)梁的真實(shí)撓度情況，并且N2處于彎剪段受到剪力滯與剪切變形影響的因素較多，因此計(jì)算結(jié)果存在一定的誤差。

圖13 均布荷載下蝶形腹板箱梁撓度變形對(duì)比圖

表2 均布荷載下蝶形腹板箱梁撓度對(duì)比

4 結(jié)論

通過(guò)理論分析、模型試驗(yàn)以及有限元三個(gè)方面研究了考慮剪切變形的蝶形腹板箱梁剪力滯效應(yīng)。得出以下結(jié)論：

（1）基于Timoshenko梁理論以及能量變分法原理，并根據(jù)蝶形腹板箱梁的截面特性，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)在考慮剪力滯效應(yīng)及剪切變形下的撓度方程，由計(jì)算結(jié)果可知，本文值與文獻(xiàn)值相比更接近試驗(yàn)值，說(shuō)明本文方法更為精確。

（2）在集中荷載作用下，本文方法所得撓度值與文獻(xiàn)值誤差在9.1%以內(nèi)；在均布荷載作用下，本文方法所得撓度值與文獻(xiàn)值誤差在7.2%以內(nèi)。因此，剪力滯效應(yīng)與剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)撓度變形的影響較小，且主要集中在箱梁彎剪段。

（3）剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響不僅僅反映在剪力自身引起的撓度變形且反映在對(duì)翹曲位移函數(shù)的影響。因此，在計(jì)算撓度變形時(shí)，與實(shí)際值相比有所增加。