漸開線少齒差行星齒輪傳動幾何設(shè)計

張躍明，杜海強，紀(jì)姝婷

（北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子學(xué)院，北京 100124）

1 引言

作為行星齒輪傳動減速器的核心，漸開線齒輪有其獨特的優(yōu)勢。行星傳動相對較定軸傳動來說，行星齒輪傳動結(jié)構(gòu)緊湊嚴(yán)密、體積較小、傳動效率高[1]；和外嚙合相比，由變位齒輪組成的內(nèi)嚙合齒輪副為凹凸齒面接觸，曲率半徑較大，接觸強度和彎曲強度較高.若采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪，由于齒數(shù)差較小，容易造成各種干涉，又因為幾乎所有的限制條件都與變位系數(shù)有關(guān)，因此對于漸開線少齒差行星齒輪傳動的來說，研究合適的變位系數(shù)具有重要的理論意義和使用價值。2003年，文獻(xiàn)[2]指出嚙合干涉的產(chǎn)生原因及防止方法。2013年，文獻(xiàn)[3]在傳統(tǒng)封閉圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化選取參數(shù)。文獻(xiàn)[4]編著的《漸開線少齒差行星齒輪傳動裝置》一書對我國對少齒差行星齒輪傳動具有重要的理論指導(dǎo)作用。文獻(xiàn)[5]采用嚙合角和加工內(nèi)齒輪時的嚙合角為自變量進(jìn)行迭代求解變位系數(shù)。2014年，文獻(xiàn)[6]從相對滑動速度方面著手，分析了滑動率的影響因素及變化趨勢。變位系數(shù)的選擇一般采用試算法、封閉圖法、查幾何參數(shù)表法，但是以上幾種方法盲目性大、工作量大、具有局限性[7-8]。在變位系數(shù)優(yōu)化方面以滑動率為目標(biāo)函數(shù)，忽略重合度在內(nèi)嚙合齒輪中的重要性，會導(dǎo)致整機的傳動平穩(wěn)性和連續(xù)性[9-10]。針對上述問題，建立漸開線齒輪變位系數(shù)優(yōu)化模型，借助Matlab遺傳算法對其進(jìn)行優(yōu)化，以重合度為目標(biāo)函數(shù)，編制GUI界面，程序簡潔易懂，適用范圍廣，能快速有效獲得齒輪的幾何尺寸。

2 變位齒輪基本參數(shù)

2.1 齒形角

雖然隨著齒形角的增大，齒輪的承載能力會有所提高，有利于避免齒廓重疊干涉的產(chǎn)生，但重合度會有所降低，傳動平穩(wěn)性變差，噪聲增大[3]；由于加工刀具大都是α=20°的標(biāo)準(zhǔn)刀具，為了加工方便，這里直接選用此齒形角。

2.2 嚙合角

圖1 重合度隨嚙合角及齒輪變位系數(shù)的變化趨勢Fig.1 The Change Degree of Coincidence Degree with the Meshing Angle and Gear Displacement Coefficient

2.3 齒頂高系數(shù)

對于短齒齒輪來說，從干涉方面來看，ha*越小，越容易避免齒廓重疊干涉，但會降低齒輪傳動的重合度。重合度會隨著齒頂高系數(shù)減小而降低。雖然較小的齒頂高系數(shù)可以避免齒廓干涉，提高傳動效率，但ha*過于小的時候就會降低重合度，導(dǎo)致傳動波動，如圖2所示。

圖2 重合度隨齒頂高系數(shù)及齒輪變位系數(shù)的變化趨勢Fig.2 The Change Degree of Coincidence Degree with the Height Coefficient of the Crown and the Gear Displacement Coefficient

3 變位系數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

3.1 目標(biāo)函數(shù)

一對連續(xù)傳動的齒輪，必須實現(xiàn)前一對齒在脫離嚙合之前，后一對齒進(jìn)入嚙合。為了保證齒輪傳動平穩(wěn)工作，通常要求ε≥1.1。多齒接觸并不等于多齒嚙合，從保證傳動的連續(xù)性和平穩(wěn)性出發(fā)，希望重合度越大越好，因此將重合度函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。

3.2 設(shè)計變量的選取

從前面分析可知，在齒數(shù)差確定的情況下，變位系數(shù)x1，齒頂高系數(shù)ha*，嚙合角α'對的取值影響最大，因此選取如下所示的3個設(shè)計變量。

3.3 約束條件

根據(jù)減速器實際的工作情況，以齒輪內(nèi)嚙合原理為理論，綜合確定優(yōu)化算法的約束條件。

（1）齒廓重疊干涉

齒廓重疊干涉是指：內(nèi)嚙合齒輪副在傳動過程中，外齒輪的齒頂在退出內(nèi)齒輪齒槽時，與內(nèi)齒輪的齒頂發(fā)生重疊干涉。

齒廓重疊干涉主要取決于齒數(shù)差，齒數(shù)差較小，越容易會產(chǎn)生齒廓重疊干涉，因此就需要增大內(nèi)齒輪的變位系數(shù)；選取適當(dāng)?shù)淖兾幌禂?shù)，有利于避免齒廓重疊干涉，通常要求Gs≥0.05。

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（2）齒頂厚

齒頂厚隨著正變位系數(shù)的增大而減小，從而導(dǎo)致使用壽命和接觸強度降低，因此對于變位齒輪來說，驗算齒頂厚值得關(guān)注。當(dāng)齒輪為淬火鋼時，齒頂厚sa≥0.4m。

（3）過渡曲線干涉

如果一對相嚙合齒輪的齒頂與齒根的非漸開線部分接觸，就會產(chǎn)生過渡曲線干涉。

防止內(nèi)齒輪過渡曲線干涉的約束條件：

防止外齒輪采用滾齒方式時的過渡曲線干涉的約束條件：

3.4 遺傳算法求解

由于初始種群的數(shù)目對優(yōu)化結(jié)果有著重要影響，在此取種群數(shù)目為100，最大迭代次數(shù)為500，交叉運算中采用常見的單點交叉方式，設(shè)置交叉概率為0.95，變異概率設(shè)置為0.05，采用離散變異算子實現(xiàn)變異運算。基于MATLAB 中GUI界面，利用各種空間，設(shè)計的計算界面，使計算過程更加簡潔，如圖3所示。

圖3 優(yōu)化算法界面Fig.3 Optimization Algorithm Interface

如圖所示，在GUI界面中輸入齒輪的基本參數(shù)，輸入變量的取值范圍，設(shè)定遺傳算法基本參數(shù)，計算優(yōu)化結(jié)果，計算結(jié)果，如表1所示。

表1 漸開線少齒差行星齒輪幾何尺寸Tab.1 Involute Less Tooth Difference Planetary Gear Geometry

4 滑動率

漸開線齒輪傳動無法避免齒面間的相對滑動，齒輪副的相對滑動越大，其齒面的磨損也會越嚴(yán)重，隨著兩齒輪表面溫度升高，容易產(chǎn)生膠合失效。最終導(dǎo)致齒輪的傳動效率降低，縮短機構(gòu)的使用壽命?；瑒勇时硎君X面間相對滑動的程度，指兩齒廓在接觸點處的相對切向速度與該點切向速度的比值。

由于輪齒在嚙合過程中，齒廓上的接觸點的位置不斷變化，該點的壓力角、曲率半徑都是變化的，所以滑動率的數(shù)值是變化的。我們在這里只討論整個嚙合線的最大滑動率，如圖4所示。滑動率隨著嚙合點的位置而變化，齒輪副只有在節(jié)點處的滑動率為0，嚙合點離節(jié)點越遠(yuǎn)，滑動率越大。

圖4 滑動率變化趨勢Fig.4 Variation Tendency of Sliding Rate

理論分析：若想減小滑動率，可以通過增大內(nèi)齒輪的變位系數(shù)來增大內(nèi)齒輪齒頂圓半徑使B2點向節(jié)點處移動。

內(nèi)外齒輪分別在齒頂、齒根處取得最大值；并且最大滑動率的絕對值隨變位系數(shù)的增大而減小。由于重合度隨著變位系數(shù)的增大而減小，所以對于變位系數(shù)的選擇我們視情況而定，如圖5所示。

圖5 滑動率隨變位系數(shù)的變化趨勢Fig.5 The Trend of Sliding Rate with the Coefficient of Displacement

5 結(jié)論

由于標(biāo)準(zhǔn)齒輪組成的行星傳動齒數(shù)差太小，導(dǎo)致漸開線產(chǎn)生各類干涉，因此必須通過合理分配變位系數(shù)來避免各種干涉，提高重合度，降低滑動率的大小，提高齒輪的接觸強度和彎曲強度，提高機構(gòu)的使用壽命。

（1）設(shè)計重點主要是合理分配齒輪的基本參數(shù)的，如：嚙合角、齒頂高系數(shù)、壓力角、變位系數(shù)、刀具參數(shù)的選擇等；避免各類干涉，如：齒廓重疊干涉、過渡曲線干涉、滿足重合度要求等。

（2）基于遺傳算法，求解重合度的主要影響因素，如：變位系數(shù)x1，齒頂高系數(shù)ha*，嚙合角α'，由于遺傳算法自身特點，結(jié)果并不一定最優(yōu)，應(yīng)多次計算，并逐漸完善數(shù)學(xué)模型。

（3）增大嚙合角，以便增大齒廓的曲率半徑，提高齒面接觸疲勞強度，內(nèi)齒輪通過正變位來增加齒根的彎曲強度。

（4）滑動率在只有嚙合節(jié)點處為零，離節(jié)點越遠(yuǎn)滑動率越大，齒面磨損越嚴(yán)重。

（5）隨著變位系數(shù)增大，會導(dǎo)致齒頂圓直徑的變大，縮短N2與B2的距離，從而減小最大滑動率。