修正LBM對(duì)SiO2漿體在漿料直寫(xiě)中的流動(dòng)分析

姜 杰，顧 海，張 捷，李 彬

（1.南通理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226002；2.江蘇省3D打印裝備及應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南通 226002）

1 引言

陶瓷材料因其耐高溫，耐腐蝕以及穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于航空航天、火力發(fā)電、冶金、工程機(jī)械、醫(yī)學(xué)及藝術(shù)教育等重要領(lǐng)域[1]。近些年，3D打印技術(shù)為陶瓷材料成形提供了新的思路，其中漿料直寫(xiě)技術(shù)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，可有效縮短形狀不復(fù)雜的工件的成形時(shí)間，成形過(guò)程中不需要激光加工，與光固化成形或選擇性激光燒結(jié)相比，加工成本較低。在常見(jiàn)的漿料直寫(xiě)技術(shù)的成形裝置中[2]，漿體擠出是通過(guò)針筒結(jié)構(gòu)結(jié)合泵來(lái)實(shí)現(xiàn)的，除此常見(jiàn)方法外，高分子加工中常用的螺桿擠出結(jié)構(gòu)也是一種行之有效的方法，常被用于食品加工運(yùn)輸、建筑工程及機(jī)械工程等領(lǐng)域，因此將使用單螺桿擠出形式作為陶瓷漿體的出料形式[3-5]。

作為一種新的結(jié)構(gòu)形式，需要對(duì)漿體流動(dòng)過(guò)程進(jìn)行深入探究，常見(jiàn)的方法為有限元分析，考慮到陶瓷漿體流變形式較為復(fù)雜，使用Fluent等軟件時(shí)，極易出現(xiàn)發(fā)散的情況，且無(wú)法驗(yàn)證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。近些年發(fā)展起來(lái)的LBM具有計(jì)算簡(jiǎn)單，編程易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，已獲得廣泛應(yīng)用[6-7]。將采用LBM對(duì)漿體在螺桿中的流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬。根據(jù)前人的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于陶瓷漿體類(lèi)的非牛頓流體，LBM需要改進(jìn)以保持穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性[8]。這里將對(duì)LBM 進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)對(duì)陶瓷漿料在螺桿的螺槽內(nèi)流動(dòng)的情況進(jìn)行分析。

2 SiO2陶瓷漿體流變方程構(gòu)建

制備陶瓷漿料的原始材料包括季戊四醇三丙烯酸酯、苯偶酰、季戊四醇三丙烯酸酯以及甲基丙烯酸甲酯，上述四種材料作為有機(jī)溶劑，混合后均勻加入二氧化硅粉末，同時(shí)高速攪拌幫助粉末迅速溶解，最終獲得固相含量為70.2%的備用漿料。制備漿料后，利用粘度計(jì)進(jìn)行流變實(shí)驗(yàn)，采用冪律流體、Bingham流體以及Herschel-Bulkley 流體等三種常見(jiàn)流變模型進(jìn)行擬合，利用MATLAB對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理后相關(guān)系數(shù)，如表1所示。

表1 三種模型擬合相關(guān)系數(shù)R2對(duì)比Tab.1 Comparison of Correlation Coefficient R2 for Three Models

結(jié)果表明，SiO2陶瓷漿體呈現(xiàn)出典型的非牛頓特征，且在三種常見(jiàn)非牛頓流體中，流變特征與冪律流體更貼切，擬合后具體的方程為：

式中：τa—剪切應(yīng)力；—剪切率。

3 冪律流體的修正LBM

對(duì)于非牛頓流體，標(biāo)準(zhǔn)的LBM進(jìn)行仿真時(shí)，極易出現(xiàn)發(fā)散的情況，為了保證模擬過(guò)程的穩(wěn)定性，提出一種修正LBM，以含外力項(xiàng)的LBM為基礎(chǔ)，將冪律流體的非牛頓特性看成一種特殊的外力項(xiàng)。標(biāo)準(zhǔn)含外力項(xiàng)的LBM演化方程[9]，如式（2）所示。

其中，速度矢量ei的具體描述，如式（3）所示。在式（2）中，外力項(xiàng)的計(jì)算公式為：

宏觀(guān)物理量速度u，密度ρ可以根據(jù)平衡態(tài)分布函數(shù)以及格子聲速獲得，具體如下式所示：

這里選用LBM 中常見(jiàn)的D2Q9 模型，因此，聲速cs=權(quán)重參數(shù)ωi的具體形式，如式（7）所示。

根據(jù)各向同性約束條件，可以獲得：

式中：δxy—克羅內(nèi)克函數(shù)?；贑hapman-Enskog 的展開(kāi)形式，分布函數(shù)和動(dòng)量張量可以擴(kuò)展為[10]：

對(duì)于諸如Herschel-Bulkley流體之類(lèi)的非牛頓流體，應(yīng)變率張量Sxy的計(jì)算公式，如式（13）所示。

動(dòng)力粘度與松弛時(shí)間τ和密度ρ的關(guān)系如下。

那么，根據(jù)式（11）～式（14）可以將式（10）轉(zhuǎn)換為：

對(duì)于不可壓縮流體，動(dòng)量張量也可以通過(guò)下式計(jì)算獲得：

由式（10）～式（16），應(yīng)力張量σxy可以推導(dǎo)獲得：

根據(jù)式（13），應(yīng)變率張量的第二不變量DII可以由下式計(jì)算獲得：

式中：維度l=2。那么剪切率即可通過(guò)下式獲得：

綜上所述，對(duì)非牛頓流體的LBM數(shù)值模擬過(guò)程將受到松弛過(guò)程的影響，因此仿真計(jì)算的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性將受到粘度的影響，而粘度主要通過(guò)剪切率計(jì)算后獲得。當(dāng)剪切率接近于0時(shí)，剪切變稀型流體粘度趨向于無(wú)窮大，這將引起計(jì)算的發(fā)散，而剪切增稠型流體粘度將趨向于0[11-12]。為了解決上述問(wèn)題，將針對(duì)式（2）中的外力項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，用以描述冪律流體的非牛頓特性。結(jié)合式（13），式（17）可改進(jìn)為，如式（20）所示。

根據(jù)Navier-Stokes方程在不可壓縮極限下的Chapman-Enskog展開(kāi)，可獲得式（21）：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以得到：

將上式代入式（4）可得：

4 SiO2陶瓷漿體在螺桿中的流動(dòng)分析

4.1 螺桿的結(jié)構(gòu)形式

單螺桿的基本結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。它的關(guān)鍵尺寸，如表2所示。將其充分展開(kāi)后呈現(xiàn)出腔體結(jié)構(gòu)，如圖2所示。SiO2陶瓷漿體在原螺道內(nèi)的流動(dòng)即可轉(zhuǎn)換成其在腔體內(nèi)的流動(dòng)。

圖1 螺桿結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Screw Extruder

表2 螺桿的關(guān)鍵幾何參數(shù)Tab.2 Key Geometrical Factors of Screw Extruder

圖2 螺桿展開(kāi)結(jié)構(gòu)Fig.2 Expanded Structure of Screw Extruder

4.2 流動(dòng)分析

取圖2中的Y-Z組成的截面，根據(jù)螺桿擠出的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，將速度僅設(shè)定在與Z方向一致的上表面，根據(jù)表1中列出的螺槽的幾何尺寸，設(shè)置模擬時(shí)的格子數(shù)為（200×100），螺桿的轉(zhuǎn)速設(shè)定為N=40r/min，通過(guò)模擬分析可以獲得的流線(xiàn)圖，如圖3所示。

圖3 漿體在Y-Z截面的流線(xiàn)圖Fig.3 Streamlines Figure of Paste in Section Y-Z

橫截面流動(dòng)區(qū)域的上側(cè)為螺桿外筒的內(nèi)壁，左右兩側(cè)分別為螺桿螺槽的兩個(gè)壁面，下側(cè)則對(duì)應(yīng)螺桿桿芯的外壁，流場(chǎng)圖，如圖3所示。流場(chǎng)的中心在（5mm，3.6mm）附近，流動(dòng)中心在兩螺棱中間貼近外筒內(nèi)壁面處，除了沿螺道方向前進(jìn)外，漿體在相鄰兩個(gè)螺棱內(nèi)壁之間存在環(huán)流。在螺棱與螺桿外壁形成的角落里則沒(méi)有明顯流動(dòng)存在。

水平速度方向u沿螺槽兩向的分布的情況，如圖4、圖5 所示。其中圖4為速度分量u沿螺槽寬度方向的分布情況，速度分量u沿螺槽深度方向的分布情況，如圖5所示。由圖可知，在不同螺槽深度時(shí)，速度差異較大，靠近外筒內(nèi)壁面的速度較大，而貼近螺桿表面的速度則相對(duì)較小且趨近于0，且在兩螺棱相對(duì)中間的位置將保持相對(duì)平穩(wěn)的速度流動(dòng)。

圖4 速度分量u沿螺槽寬度的分布Fig.4 Distribution of Velocity u Along Screw Width

圖5 速度分量u沿螺槽深度的分布Fig.5 Distribution of Velocity u Along Screw Depth

垂直速度方向v沿螺槽兩向的分布的情況，如圖6、圖7所示。

其中速度分量v沿螺槽寬度方向的分布情況，如圖6 所示。速度分量v沿螺槽深度方向的分布情況，如圖7所示。由圖可知，在不同螺槽深度時(shí)，垂直速度分量差異明顯，靠近外筒內(nèi)壁面的速度較大，而貼近螺桿表面的速度則相對(duì)較小且趨近于0，從螺槽寬度看，兩螺棱中間位置垂直速度為0。

圖6 速度分量v沿螺槽寬度的分布Fig.6 Distribution of Velocity v Along Screw Width

圖7 速度分量v沿螺槽深度的分布Fig.7 Distribution of Velocity v Along Screw Depth

5 結(jié)論

為了理解SiO2陶瓷漿體在漿料直寫(xiě)技術(shù)中螺桿擠出的流動(dòng)情況，基于傳統(tǒng)含外力項(xiàng)的LBM，提出一種適應(yīng)SiO2陶瓷漿體的非牛頓特性的修正方法，進(jìn)行數(shù)值模擬后可以得出以下結(jié)論：

（1）根據(jù)流變實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，SiO2陶瓷漿體的流變特征與冪律流體更貼近，并呈現(xiàn)出剪切變稀的特征；

（2）提出的修正LBM可有效應(yīng)用于冪律流體中，改善數(shù)值模擬的穩(wěn)定性；

（3）從數(shù)值模擬的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不同位置處的速度分量差異比較明顯，特殊位置一般為貼近外筒內(nèi)壁面、螺桿外壁面以及兩螺棱中間位置，流動(dòng)的中心主要集中在（0.5W，0.72h）位置處，在貼近螺棱與螺桿外壁面的角落處的流動(dòng)并不明顯。