一致收斂函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的反常積分性質(zhì)

費(fèi)時(shí)龍，任雅柔

（宿州學(xué)院，安徽 宿州 234000）

0 引言

常見的數(shù)學(xué)分析教材中討論了函數(shù)列一致收斂的極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性，獲得了極限與積分、求導(dǎo)交換次序的充分條件，并在此基礎(chǔ)上研究了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性，獲得了求和與極限、導(dǎo)數(shù)、積分交換次序的充分條件，但對(duì)一致收斂的函數(shù)列與一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的反常積分卻未見涉及。本文將在一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)的可積性與一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)可積性的基礎(chǔ)上，分別討論它們的反常積分性質(zhì)與斂散性。

1 一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)反常積分性質(zhì)

引理1.1［1］設(shè)函數(shù)列f n(x)在[a,b]上一致收斂于函數(shù)f(x)，且對(duì)任意n,f n(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且

注：引理1.1給出了定積分與極限號(hào)交換次序的條件,下面定理1.2研究無窮積分與極限號(hào)交換次序的條件,定理1.4研究一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)瑕積分的斂散性并討論瑕積分與極限號(hào)交換次序的條件。

定理1.2 設(shè)函數(shù)列f n(x)在[a,+∞)上一致收斂于函數(shù)f(x)，且滿足下列條件:

（1）對(duì)任意n,f n(x)在任何有限區(qū)間[a,u]上可積；

（3）對(duì)任意ε>0,?M>a,使得對(duì)任意n,有

證明由條件（2）及（3）知對(duì)任意ε>0,?M>a,使得對(duì)任意n,有

2 一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的反常積分性質(zhì)

注：引理2.1給出了無窮求和與定積分交換次序的條件,下面定理2.3與定理2.4分別研究無窮求和與無窮積分交換次序以及無窮求和與瑕積分交換次序的充分條件。

3 結(jié)語

常見的教材在一致收斂的基礎(chǔ)上討論了定積分與極限號(hào)交換次序及定積分與求和號(hào)（無窮求和）交換次序的條件，本研究在此基礎(chǔ)上分別獲得了反常積分與極限號(hào)交換次序及反常積分與求和號(hào)（無窮求和）交換次序的條件。本文的研究結(jié)論豐富了函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在積分學(xué)中的應(yīng)用范圍，后續(xù)工作中，還可以進(jìn)一步研究極限號(hào)、求和號(hào)與其他積分（如曲線積分、曲面積分等）交換次序的條件。