周期切換可修系統(tǒng)最優(yōu)視情維修決策

羅元庚，張曉紅，馮 澤

(1.太原科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，太原 030024；2.太原科技大學(xué)工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所，太原 030024)

在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中，為保證生產(chǎn)的連續(xù)性和安全性，同時(shí)避免長(zhǎng)時(shí)間的維修停機(jī)造成的高昂生產(chǎn)損失[1]，諸如礦井通風(fēng)機(jī)、電廠火檢冷卻機(jī)等系統(tǒng)均設(shè)計(jì)為可切換式兩設(shè)備冗余結(jié)構(gòu)，采用離線切換式維修，在運(yùn)行設(shè)備使用一定周期后切換至備用設(shè)備，兩個(gè)設(shè)備交替使用，切換后在生產(chǎn)的同時(shí)再對(duì)切換下來(lái)的設(shè)備進(jìn)行離線檢修或保養(yǎng)后再使用。

由于此類可修系統(tǒng)中設(shè)備存在交替使用的特點(diǎn)，系統(tǒng)的故障特性由兩個(gè)冗余設(shè)備的性能及退化特性共同決定。如何為可修系統(tǒng)安排合理的切換及維修活動(dòng)，有效地提高系統(tǒng)可靠性，延長(zhǎng)系統(tǒng)的使用壽命是一個(gè)值得研究的問(wèn)題[2]。

已有許多學(xué)者針對(duì)可修系統(tǒng)開(kāi)展了維修決策研究。和不可修系統(tǒng)的維修決策研究相似，前期的可修系統(tǒng)維修決策也多采用基于時(shí)間的維修建模理論，提出了基于失效次數(shù)的更換策略N[3]、基于使用時(shí)間的周期性更換策略T[4]和綜合考慮失效次數(shù)和使用時(shí)間的(T，N)更換策略[5]。但基于時(shí)間的維修決策[6]易出現(xiàn)“過(guò)維修”或“欠維修”的情況。

視情維修通過(guò)對(duì)系統(tǒng)實(shí)際劣化程度的評(píng)估安排維修工作，減少不必要的維修。許多學(xué)者研究了可修系統(tǒng)的視情維修決策。如Zhu等[7]針對(duì)連續(xù)劣化的可修系統(tǒng)，引入聯(lián)合維修周期，研究了視情維修策略的決策問(wèn)題。Hossein Rahimi[8]制定了包含多種不同效果的多種維修方式的維修策略，建立了同時(shí)考慮劣化和沖擊的視情維修決策模型。Alaswa[9]對(duì)隨機(jī)劣化系統(tǒng)的視情維修優(yōu)化模型進(jìn)行了綜述，歸納了單部件可修系統(tǒng)和多部件可修系統(tǒng)的建模方法。

修理效果決定了系統(tǒng)在維修后再投入再生產(chǎn)的潛在價(jià)值，維修效果通常為非完美的。Pham等[10]歸納了基于系統(tǒng)年齡的8種非完美維修建模方法。視情維修策略中的非完美維修效果建模多是參考前期基于時(shí)間維修策略下的建模方式衍生改進(jìn)的。文獻(xiàn)[11-12]建立了可修系統(tǒng)的隨機(jī)非完美維修模型。徐立新[13]用確定的維修因子描述可修系統(tǒng)的視情非完美維修效果。李志強(qiáng)[14]針對(duì)馬爾科夫多狀態(tài)可修系統(tǒng)，建立了視情非完美維修決策模型。Mercier[15]針對(duì)可修系統(tǒng)比較了役齡遞減和狀態(tài)算術(shù)遞減的兩種非完美維修模型。

本文針對(duì)需周期切換且狀態(tài)可測(cè)的可修系統(tǒng)，制定了切換式離線視情維修策略，引入維修資源投入度的概念，分析了維修資源投入度對(duì)修理效果、修理時(shí)間和修理成本的影響關(guān)系模型，建立了有限時(shí)間范圍內(nèi)以平均費(fèi)用率最小為目標(biāo)的解析模型，并采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，得到了最優(yōu)切換周期、預(yù)防性維修閾值和維修資源投入度。

1 系統(tǒng)描述

本文關(guān)注的是由一用一備兩個(gè)設(shè)備組成的切換式可修系統(tǒng)，運(yùn)行設(shè)備的故障會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的故障，其劣化可近似表征系統(tǒng)的劣化特性。

1.1 系統(tǒng)劣化建模及假設(shè)

由于兩個(gè)設(shè)備通常相同或相似，可假設(shè)具有相同的劣化特性，其劣化過(guò)程定義如下：

(1)設(shè)備在運(yùn)行過(guò)程中發(fā)生單調(diào)累積劣化，其劣化水平是一個(gè)可檢測(cè)的隨機(jī)量，其劣化過(guò)程形成了一個(gè)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程{Z(t)，t≥0}；

(2)設(shè)t時(shí)刻設(shè)備的劣化狀態(tài)為Xt.t=0時(shí)刻，部件全新，X0=0，Xt隨時(shí)間不斷增大，當(dāng)Xt超過(guò)預(yù)先設(shè)定的故障閾值Df時(shí)，設(shè)備發(fā)生累積劣化故障，該故障不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)直接停機(jī)，僅可通過(guò)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，故障后設(shè)備可以繼續(xù)劣化運(yùn)行；

(3)設(shè)備任意第k個(gè)單位時(shí)間Δt的劣化增量ΔX(k)=XkΔt-X(k-1)Δt(k∈N)是服從概率密度函數(shù)為f(x)的非負(fù)穩(wěn)定且獨(dú)立的隨機(jī)變量。則t個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的劣化增量服從概率密度函數(shù)為f(t)(x)的分布，f(t)(x)是f(x)的t次卷積。

1.2 切換式離線視情維修策略

對(duì)系統(tǒng)采用切換式離線視情維修策略，該策略下，運(yùn)行設(shè)備與備用設(shè)備按照交替使用和修理，同一設(shè)備在相鄰周期內(nèi)被用作運(yùn)行設(shè)備和備用設(shè)備。

分別用A和B表示系統(tǒng)的運(yùn)行設(shè)備和備用設(shè)備，為設(shè)備定義了預(yù)防維修閾值Dp，一般認(rèn)為0

(1)系統(tǒng)每運(yùn)行T個(gè)單位時(shí)間，用備用設(shè)備對(duì)運(yùn)行設(shè)備進(jìn)行切換。單次切換成本為Cr，相比系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間，切換時(shí)間較短，故假設(shè)忽略；

(2)由檢測(cè)設(shè)備對(duì)切換后的設(shè)備B的劣化狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)，單次檢測(cè)成本為Cins，檢測(cè)為瞬間無(wú)損檢測(cè)，和切換時(shí)間類似，檢測(cè)時(shí)間假設(shè)忽略；

(4)因系統(tǒng)的修理時(shí)間和訂購(gòu)時(shí)間均具有隨機(jī)性，若修理時(shí)間或訂購(gòu)時(shí)間大于系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間T，則無(wú)法及時(shí)切換，為保證系統(tǒng)的安全生產(chǎn)，系統(tǒng)停機(jī)等待，單位時(shí)間產(chǎn)生停機(jī)損失Cd.

2 模型建立

選用系統(tǒng)的維修費(fèi)用率最小作為目標(biāo)，建立費(fèi)用率決策模型。用R表示建模的時(shí)間范圍，C(R)表示時(shí)間范圍內(nèi)的維修總成本，CR表示維修費(fèi)用率，設(shè)R包含N個(gè)運(yùn)行周期，由于系統(tǒng)可能停機(jī)，實(shí)際的周期長(zhǎng)度R≥NT，決策模型定義如下：

(1)

切換周期T、預(yù)防維修閾值Dp、維修資源投入度W的大小會(huì)對(duì)系統(tǒng)的費(fèi)用率目標(biāo)產(chǎn)生直接影響。故將其作為決策變量。模型表示如下：

s.tT=1，2，…；0

(2)

(3)

則第k個(gè)周期產(chǎn)生的期望總費(fèi)用為：

(4)

綜上，N個(gè)周期的總費(fèi)用為：

E(C(R))=N(Cr+Cins)+

(5)

任意第k個(gè)運(yùn)行周期實(shí)際周期長(zhǎng)度分析如下：

當(dāng)k=1時(shí)，由于備用設(shè)備處于全新，沒(méi)有停機(jī)可能性，故周期時(shí)間長(zhǎng)度僅包含系統(tǒng)的正常運(yùn)行時(shí)間T.

因此，N個(gè)運(yùn)行周期總時(shí)間為：

(6)

則費(fèi)用率模型可表示為：

minCR(t)=

s.t.T=1，2，…；0

(7)

3 系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率模型

系統(tǒng)的劣化由兩個(gè)設(shè)備的交替退化共同確定，且受到修理過(guò)程的影響。系統(tǒng)中的設(shè)備的交替劣化示意過(guò)程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)劣化狀態(tài)轉(zhuǎn)移及維修示意圖Fig.1 system deterioration state transition and maintenance diagram

在系統(tǒng)第一個(gè)周期(k=1)和第二個(gè)周期(k=2)均使用全新的設(shè)備，故周期結(jié)束時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)分布為初始分布Ω1(X)=Ω2(X)=f(T)(x).

第k(3≤k≤N)個(gè)運(yùn)行周期開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)是由第k-2個(gè)運(yùn)行周期結(jié)束后切換后設(shè)備經(jīng)過(guò)維修后再使用。因此，第k個(gè)運(yùn)行周期結(jié)束時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布可由第k-2個(gè)運(yùn)行周期結(jié)束時(shí)設(shè)備的所有狀態(tài)分析得到。第k-2個(gè)運(yùn)行周期中對(duì)備用設(shè)備的處理方式有不維修、預(yù)防性維修以及報(bào)廢處理三種。

(8)

(9)

利用式(10)正交近似數(shù)值求解規(guī)則對(duì)穩(wěn)態(tài)密度函數(shù)計(jì)算。

(10)

令s(x)=f(T)(x)，采用Dmax對(duì)∞進(jìn)行截尾，每一個(gè)正交點(diǎn)的近似方程可表示為：

(11)

其中，x/h=i，y/h=j，Dp/h=aDf/h=b，Dmax/h=c.用向量形式表示穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的解Ωk=[Ωk(h)，Ωk(2h)，…，Ωk(ch)]T，則有:

Ωk=hK1Ωk-2+hK2Ωk-2+hK3Ωk-2

(12)

其中，

K1=

(13)

(14)

(15)

可通過(guò)遞推方式求得Ωk的數(shù)值近似解。

4 維修資源投入度影響分析

系統(tǒng)的維修資源投入度直接影響修理任務(wù)完成所需的修理時(shí)間和修理成本，同時(shí)決定修理效果的好壞。

4.1 維修資源投入度與修理效果

通常，隨維修資源投入度的增大系統(tǒng)的修理效果更佳，二者呈現(xiàn)單調(diào)遞增的關(guān)系。本文的模型中，修理效果越好，修復(fù)后的狀態(tài)值越小，即Q越趨近0，而修理效果越差，Q越趨近1.

若維修初期的資源投入對(duì)改善效果較為明顯，而當(dāng)修理效果達(dá)到一定程度，更多資源投入對(duì)效果的改善不明顯時(shí)。如鋰電池的充電過(guò)程和軋輥的修磨過(guò)程。因此，維修資源投入度與Q的關(guān)系可表征為圖2中的曲線a.若維修初期受修理設(shè)備磨合和修理工技術(shù)熟練程度影響，修理效果改善不明顯，而后期效果較好，則其關(guān)系可表示為圖2中的曲線b.若Q隨維修資源投入度勻速變化時(shí)，二者呈線性關(guān)系，如圖2中的c.

圖2 維修資源投入度與修理效果關(guān)系示意圖Fig.2 The relationship between maintenance resource input degree and repair effect

4.2 維修資源投入度與修理成本、時(shí)間

維修資源投入度是維修資源投入的量化，維修資源使用越多，所付出的成本也越大。因此維修資源投入度與修理成本呈現(xiàn)單調(diào)遞增關(guān)系。

由于維修時(shí)間具有隨機(jī)性，故本文選擇對(duì)修理時(shí)間期望與維修資源投入度之間的關(guān)系進(jìn)行建模。維修資源投入度越高，在給定資源條件下耗時(shí)越長(zhǎng)，故維修資源投入度與平均修理時(shí)間呈現(xiàn)一種單調(diào)遞增關(guān)系。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通風(fēng)設(shè)備是保證煤礦安全生產(chǎn)的主要設(shè)備之一，礦井地面的通風(fēng)機(jī)按規(guī)定一般均為兩臺(tái)，其中一臺(tái)運(yùn)行，一臺(tái)備用，定期輪流倒換運(yùn)行。通風(fēng)機(jī)實(shí)際的性能隨使用而逐漸改變。并且其性能指標(biāo)可以通過(guò)傳感器定期檢測(cè)獲得。隨著設(shè)備的使用，通風(fēng)裝置不斷耗損，導(dǎo)致風(fēng)量減小，需要進(jìn)行維修干預(yù)才能保證系統(tǒng)的風(fēng)量。由此可見(jiàn)，礦井通風(fēng)機(jī)的劣化是一個(gè)連續(xù)累積的退化過(guò)程，并且其劣化狀態(tài)具有可檢測(cè)性。本文以礦井通風(fēng)機(jī)為對(duì)象，驗(yàn)證提出的維修決策和建立的模型的正確性及有效性。

5.1 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的數(shù)值求解

設(shè)單臺(tái)設(shè)備在單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)劣化增量服從Γ(α，β)，則t個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的累積增量服從分布Γ(tα，β).選取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)α=1.2，β=2，T=10，Dp=15，W=0.6，N=20，Df=35，以非更換手段很難將設(shè)備恢復(fù)全新，故定義維修因子Q=v(W)=1-W2.

圖4顯示了不同運(yùn)行次數(shù)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ωk(x)的近似數(shù)值解，其中用4Df對(duì)積分上限∞作截尾處理。由圖可知隨著系統(tǒng)運(yùn)行次數(shù)k的增加，Ωk(x)均值明顯右移，峰值在逐漸減小，系統(tǒng)單位時(shí)間內(nèi)劣化增量的均值不斷增大。

圖4 不同運(yùn)行次數(shù)的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.4 The approximate solution of stable probability density under different running times

(1)正確性分析

圖5-圖6顯示了不同系統(tǒng)的劣化參數(shù)的Ωk(x)的近似數(shù)值解。隨著形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β的增大，系統(tǒng)單位時(shí)間的劣化增量均值增大。且由于β對(duì)單位時(shí)間劣化增量的方差是以平方級(jí)影響，故圖形變化更為明顯。

圖5 β=2的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.5 The approximate solution of stable probability density when β=2

圖6 α=1.2的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.6 The approximate solution of stable probability density when α=1.2

(2)有效性分析

基于制定的維修策略，每次僅改變某一個(gè)參數(shù)分析T、Dp、W對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響。

圖7、圖8顯示了Ωk(x)闥鎀和Dp的變化情況。不難發(fā)現(xiàn)，隨著T和Dp增大，系統(tǒng)的故障概率增大，且T對(duì)故障概率的影響較大。

圖7 不同切換周期對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.7 The approximate solution of stable probability density under different switching periods

圖8 不同預(yù)防維修閾值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.8 The approximate solution of stable probability density under different preventive maintenance thresholds

圖9顯示Ωk(x)隨W的變化情況。隨著W的增大，系統(tǒng)的修理效果提升，故障概率降低。

圖9 不同維修資源投入度對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.9 The approximate solution of stable probability density under different maintenance input degrees

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改變系統(tǒng)的T、Dp、W均會(huì)改變?chǔ)竗(x)的數(shù)值解，進(jìn)而改變維修需求概率和修理效果等。

5.2 優(yōu)化模型的近似解

假設(shè)Cp與W之間符合圖3(a)中的曲線b的變化趨勢(shì)，參考文獻(xiàn)[16]定義修理成本Cp=ηe2W-1，其中η為成本基數(shù)。假設(shè)Cins=3，Cr=5，Cd=50，Cc=100，η=12，τo服從參數(shù)為30的指數(shù)分布。假設(shè)E(τm)與W之間符合圖3(b)中的曲線c的變化趨勢(shì)，參照文獻(xiàn)[17]定義τm服從參數(shù)為(8，2-W)的威布爾分布，實(shí)驗(yàn)費(fèi)用參數(shù)單位均為千元。

圖3 維修資源投入度與修理成本、時(shí)間關(guān)系示意圖Fig.3 The relationship between maintenance resource input degree，repair effect and time

(1)模型比較分析

為了驗(yàn)證維修資源投入度及切換式離線視情維修策略對(duì)維修成本的影響，將本文模型與傳統(tǒng)在線視情維修模型和未考慮維修資源投入度的離線視情維修模型進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，依據(jù)本文維修策略建立的解析模型能有效的降低系統(tǒng)維修費(fèi)用率。

表1 不同模型最優(yōu)維修策略及費(fèi)用率Tab.1 The optimalmaintenance strategy and expense rate

(2)靈敏度分析

分別對(duì)成本參數(shù)Cr、Cins、Cd、Cc、Cp計(jì)算基數(shù)η進(jìn)行增大或者縮小適當(dāng)倍數(shù)的處理，分析該參數(shù)對(duì)最優(yōu)維修策略參數(shù)的影響，其優(yōu)化結(jié)果分別如表2至表6所示。

由表2可知，隨著Cr增大，T隨之增大，系統(tǒng)檢測(cè)頻率降低。Dp隨之增大，減少預(yù)防性維修概率，降低修理費(fèi)用，但由于檢測(cè)周期和Dp的增大，系統(tǒng)故障風(fēng)險(xiǎn)增大，W提高，增強(qiáng)修理效果抵御風(fēng)險(xiǎn)。

表2 切換成本Cr對(duì)最優(yōu)維修策略的影響Tab.2 The influence of switching cost Cron optimal maintenance strategy

由表3可知，隨著Cins的增大，W隨之減小，Dp隨之增大，通過(guò)降低系統(tǒng)預(yù)防維修費(fèi)用控制系統(tǒng)總費(fèi)用率。同時(shí)，T對(duì)Cins變化不敏感。

表3 檢測(cè)成本Cins對(duì)最優(yōu)維修策略的影響Tab.3 The influence of inspection cost Cins on optimal maintenance strategy

由表4可知，隨Cd的增加，T隨之減小，系統(tǒng)檢測(cè)頻率增加，系統(tǒng)的劣化狀態(tài)捕捉更及時(shí)，停機(jī)風(fēng)險(xiǎn)降低。W隨之增大，預(yù)防維修的修理效果提升，以降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。Dp降低，提高系統(tǒng)預(yù)防性維修的概率，降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。

表4 停機(jī)成本Cd對(duì)最優(yōu)維修策略的影響Tab.4 The influence of downtime cost Cdon optimal maintenance strategy

由表5可知，隨著Cc的增加，T隨之減小，系統(tǒng)檢測(cè)頻率增加，降低系統(tǒng)故障概率。Dp隨之減小，提高預(yù)防性維修概率，減少系統(tǒng)故障概率，由于適當(dāng)降低W，降低修理成本。

表5 報(bào)廢處理成本Cc對(duì)最優(yōu)維修策略的影響Tab.5 The influence of discard treatment cost Ccon optimal maintenance strategy

由表6可知，隨著η的增加，W隨之減小，降低系統(tǒng)的修理成本。Dp隨之增大，減小預(yù)防性維修的概率。但由于修理效果和預(yù)防維修概率降低，T隨之降低，系統(tǒng)檢測(cè)頻率增加，降低發(fā)生故障概率。

6 總結(jié)

本文針對(duì)需周期切換的可修系統(tǒng)，制定了切換式離線視情維修策略，考慮了維修資源投入度對(duì)修理效果、時(shí)間及成本的影響，推導(dǎo)了有限時(shí)間范圍內(nèi)各周期的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的計(jì)算模型，建立了以最小費(fèi)用率為目標(biāo)的決策模型。通過(guò)遺傳算法優(yōu)化，得到了系統(tǒng)全局最優(yōu)的維修決策變量值。并以礦井通風(fēng)機(jī)為案例進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的離線視情維修策略能有效的降低系統(tǒng)的維修成本。