IRS輔助毫米波MIMO系統(tǒng)波束賦形優(yōu)化的低復雜度方案

王長江 傅友華

（1.南京郵電大學電子與光學工程學院、柔性電子（未來技術）學院，江蘇南京 210023；2.南京郵電大學射頻集成與微組裝技術國家地方聯(lián)合工程實驗室，江蘇南京 210023）

1 引言

第五代移動通信系統(tǒng)（5G）中大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技術通過分集增益所帶來的巨大陣列增益，能夠彌補毫米波技術所帶來的傳輸損耗。毫米波與大規(guī)模MIMO技術的結合，使系統(tǒng)的容量得到顯著的提升。雖然大規(guī)模MIMO 技術能有效解決毫米波的傳輸損耗問題，但是大量有源節(jié)點的部署導致了高硬件成本和高能耗，這給實際部署中帶來了很大的挑戰(zhàn)［1］。同時，基站、接入點或中繼中多天線的部署無疑增加了信號處理的復雜度。超密集組網（Ultra Dense Network，UDN）設置下大量部署基站或接入點，不僅會增加硬件成本，還會加劇信號干擾問題［2］。智能反射表面（Intelligent Reflecting Surface，IRS）被認為是無線通信網絡的前景技術之一，其通過智能重新配置無線傳播環(huán)境，增強無線網絡容量和覆蓋的潛力，因此受到極大關注［3］。

IRS 由大量無源反射單元陣列組成，每個反射單元都可以獨立地調整入射信號的幅值和相位。IRS 是無源器件，相對于傳統(tǒng)的中繼，IRS 的單元具有反射特性，不需要使用射頻鏈，具有功耗低的優(yōu)勢。另外，IRS 是由電磁（Electromagnetic，EM）超材料制成的低成本器件，容易部署［3］。IRS 作為新興的一種超材料，為了能夠在實際生活場景中得到合理有效的應用，如何根據(jù)移動用戶位置以及CSI 實時快速準確地調整入射信號的幅值和相位，也就是IRS 反射優(yōu)化，使系統(tǒng)容量得到顯著提升，是首要解決的問題。由于IRS是無源元件不具有接收和分析信號的能力，其反射優(yōu)化設計也稱為無源波束賦形（Passive Beamforming），常與有源設備聯(lián)合設計有源和無源波束賦形。

目前有許多工作基于IRS 輔助的MISO 無線系統(tǒng)中的波束賦形研究［4］，而更加普遍適用的毫米波MIMO 系統(tǒng)主要通過并行傳輸多路數(shù)據(jù)流來提高其信道容量，故目標函數(shù)通常為對數(shù)-行列式形式，更加難以處理。文獻［5］提出一種基于交替優(yōu)化（Alternating Optimization，AO）的算法，在其他變量固定的情況下，每次迭代優(yōu)化一個IRS 單元的相移或發(fā)射協(xié)方差矩陣，具體地，對于給定的發(fā)射協(xié)方差矩陣和任意N-1 個IRS 相移，剩余相移的最優(yōu)解以閉合形式得到。基于AO 的方法不能將發(fā)射協(xié)方差矩陣和IRS 相移矩陣解耦，而且必須保證每次迭代的子問題是凸問題，另外AO 算法只能收斂到局部最優(yōu)解，且復雜度較高。文獻［6］提出采用塊坐標下降（Block Coordinate Descent，BCD）算法進行交替優(yōu)化預編碼矩陣和相移矩陣，當固定相移矩陣時得到最優(yōu)發(fā)射預編碼矩陣的閉式解，而相移矩陣通過主最小化（Majorization-Minimization，MM）或復圓流形（Complex Circle Manifold，CCM）方法得到。雖然在解決子問題時提出了新的高效算法，總體算法本質上仍是交替優(yōu)化的思想，但依然存在上述不足。文獻［7］提出了一種基于遺傳算法（GA）的搜索方案來獲得IRS 相移矩陣，采用交替優(yōu)化算法對有源波束形成和無源相移矩陣進行集成設計。然而GA 算法在IRS 恒模的高度非凸約束下很難保證其收斂性，且該算法具有較高的計算復雜度。文獻［8］提出半正定松弛（Semi-Definite Relaxation，SDR）方法解決IRS 的反射系數(shù)的恒模約束，SDR 方法后跟足夠多次隨機化保證了最優(yōu)值的近似值。SDR算法同樣只能得到次優(yōu)解，次優(yōu)性能只能達到約78%，而且足夠多次的隨機化計算也增加了算法計算復雜度。在IRS 輔助的MIMO 系統(tǒng)研究中，現(xiàn)有工作沒有將有源與無源波束賦形矩陣進行解耦，現(xiàn)有算法在只能得到局部最優(yōu)解的情況下仍具有較高的計算復雜度，且在不能得到最優(yōu)解的情況下也無法衡量現(xiàn)有次優(yōu)算法的性能。

本文考慮一個單用戶IRS 輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)，其中多天線接入點（access point，AP）在IRS的輔助下服務多天線用戶設備（user equipment，UE）。通過優(yōu)化設計AP 端有源和IRS 無源波束賦形相移矩陣，以最大化頻譜效率。具體地，首先將有源和無源反射相移矩陣解耦，得到在IRS 相移矩陣給定情況下的最優(yōu)有源波束賦形解，將IRS 無源波束賦形設計問題推導為一個非凸二次約束二次規(guī)劃（quadratical constraint quadratic programming，QCQP）問題；為了求解該非凸的QCQP 問題的無源波束賦形解，提出低復雜度的連續(xù)閉式解（successive closed form，SCF）算法求解方案，使用凸等式約束的二次規(guī)劃（quadratical programming，QP）序列來解決非凸恒模約束；為衡量SCF 算法性能，對比了能得到最優(yōu)解的分支界定（branch and bound，BnB）算法，經過凸松弛后不斷劃分其搜索空間直到收斂；仿真結果驗證了SCF 算法在IRS 相移連續(xù)和離散時都具有低復雜度高頻譜效率性能，而且對于離散相移IRS 的頻譜效率接近最優(yōu)性能，對在6G 中IRS 的部署和應用更具有實際價值和意義。

本文中，RM×N表示M×N的實空間，CM×N表示M×N的復空間。X*，XT，XH，X-1，X[：，1：n]表示矩陣X的共軛，轉置，轉置共軛，逆，1～n列。E[·]表示數(shù)學期望。對于復數(shù)a，|a|和arg(a)分別表示a的模和相角，Re(a)和Im(a)分別表示a的實部和虛部。diag(a)表示對角元素為向量a的對角矩陣，Diag(X)表示矩陣X的對角元素組成的向量。1表示全為1 的列向量。z～CΝ(0，σ2)表示z服從均值為0方差為σ2的復高斯分布。?表示Kronecker積。

2 系統(tǒng)和信道模型

如圖1 所示，考慮一個單用戶IRS 輔助的毫米波MIMO 系統(tǒng)。其中，接入點（AP）配備Nt根的ULA（uniform linear array）發(fā)射天線，用戶設備（UE）配備Nr根接收天線。IRS由N個URA（uniform rectangular array）的無源反射元件組成。理想情況下，AP 可直接發(fā)送對準用戶的波束，而當AP-UE 視距鏈路不理想或者被阻擋的情況下，IRS 可提供AP-UE 之間的波束傳輸?shù)囊暰噫溌?，起到輔助作用。IRS 所有元件的反射系數(shù)由AP 根據(jù)實時CSI（channel state information）通過FPGA Controller 控制，以更好地輔助信號傳輸。本文中，假設AP 對于所有信道的CSI是完全已知的，另外，由于被IRS反射多次的信號功率存在較大損耗，因此可以忽略不計。

圖1 IRS輔助的毫米波MIMO無線系統(tǒng)Fig.1 IRS-assisted millimeter wave MIMO wireless system

根據(jù)毫米波信道常用的Saleh-Valenzuela 信道模型［9］，因此可將AP與IRS之間的信道G1表示為

其中，0≤x＜Nx，0≤y＜Ny，0≤z＜Nt，Nx和Ny分別為IRS 元件陣列在x 軸和y 軸的個數(shù)，IRS 反射元件個數(shù)N=Nx×Ny；λ為毫米波信號的波長，d為相鄰天線或IRS 反射元件的間隔距離，一般認為天線間距為波長的一半，即d=。

IRS 與UE 之間的信道G2和AP 與UE 之間的信道H與上述G1類似，分別可表示為

3 問題表述

通過優(yōu)化AP 端有源波束賦形F和IRS 反射波束賦形矩陣Θ，以最大化毫米波MIMO 系統(tǒng)的頻譜效率。最大化系統(tǒng)頻譜效率的優(yōu)化問題可表述為

該優(yōu)化問題是一個非凸問題，因為目標函數(shù)對于IRS 反射波束賦形矩陣Θ是非凸的，并且θn的恒模約束同樣是非凸的。而且F和Θ的耦合也使得問題難以求解。經過對矩陣(G2ΘG1+H)F奇異分解以及應用Jensen 不等式的性質［10］，可將問題P1近似轉化為

在優(yōu)化問題P2中，為了解決F和Θ的耦合問題，F(xiàn)采用最優(yōu)基帶波束賦形。因此，假設IRS 相移矩陣Θ給定的情況下，最優(yōu)波束賦形矩陣為［11］

其中，Vtot由總信道Htot=G2ΘG1+H奇異值分解之后的右奇異向量組成。也就是說，最優(yōu)有源波束賦形矩陣由Ns個最大奇異值對應的酉向量組成。在此基礎上，假設Ns=Nr≤Nt，因為Fopt為酉矩陣，由矩陣論的知識可知，因此可將F和Θ解耦，優(yōu)化變量只有Θ的問題重新表述為

考慮P3中的目標函數(shù)

其中(a)成立是因為存在基本等式vec(ABC)=(CT?A)vec(B)［12］；由于Θ是一個對角陣，vec(Θ)中只含有N個非零元素，所以定義θ=Diag(Θ)=[θ1，θ2，…，θN]T；定義j∈Snz為vec(Θ)中所有非零元素的位置索引，令D=，h=vec(H)，因此(b)成立。式(11)中最后一項hHh與優(yōu)化變量θ無關，因此可省略。因此優(yōu)化問題P3可寫為

以上將優(yōu)化問題P1轉化為P4，P4解決則整個問題解決。P4是一個非凸二次約束二次規(guī)劃（QCQP）問題，只有唯一的恒模約束造成優(yōu)化問題非凸。下面將提出低復雜度的連續(xù)閉式解（SCF）算法求解方案，并且對比分析基于BnB 的全局最優(yōu)搜索算法以驗證SCF算法性能。

4 低復雜度的連續(xù)閉式解求解方案

為了解決P4中高度非凸的恒模約束，提出低復雜度的連續(xù)閉式解（SCF）求解無源波束賦形方案。該算法使用凸等式約束的二次規(guī)劃（QP）序列來解決非凸恒模約束，每個二次規(guī)劃都有一個封閉形式的解，并且在收斂時得到恒模解。首先將P4中目標函數(shù)進行轉化，令P=-DHD，q=DHh，P4可寫為

由于θ的恒模約束，所以λθHθ=λN是一個常數(shù)，因此上述變化不影響最優(yōu)解。然后將問題進一步轉化為下面的實值問題

其中

問題(14)實際約束了θ中每個元素的實部與虛部的平方和等于1，與模1 約束等價。其中En是一個2N×2N的矩陣，定義為

下面構造等式約束的QP序列

其中μ(k)為拉格朗日乘子。因此求解上述KKT 條件可得問題(19)的最優(yōu)解為

雖然優(yōu)化問題(19)的最優(yōu)解并非恒模，但隨著序列QP(k)的求解保證了目標函數(shù)值的非遞增性，并且可以收斂到恒模解。問題QP(k)的可行域由問題QP(k-1)的最優(yōu)解θ(k-1)決定，具體地，的迭代規(guī)則保證了QP(k)的可行域為經過θ(k-1)的圓的切線。假設s(k-1)為QP(k-1)的最優(yōu)解，有B(k)s(k-1)=1，利用三角代換關系可證明B(k)s(k-1)=1，即問題序列QP(k)的可行域包含θ(k-1)，另外QP(k)的目標函數(shù)值隨k不遞增，即f(θ(k-1))≥f(θ(k))，具體證明見文獻［13］。序列QP(k)的迭代求解和收斂過程如圖2（a）所示，在算法1中總結了SCF算法的完整步驟。

為了衡量所提低復雜度的SCF 算法的性能，下面應用分支界定（BnB）算法求解無源波束賦形矩陣的全局最優(yōu)解來對比分析。BnB算法是一種系統(tǒng)的搜索算法，通過規(guī)律地枚舉求解多個子問題，進而找到最優(yōu)解［14］。因此BnB 算法的前提是子問題可解，所以P4中的恒模約束必須進行凸松弛。為了表述清楚下面用vn表示單位圓上的點，而cn表示圓內的點，其中n=1，2，…，N。如圖2（b），假設arg(vn)∈[ln，un]，那么vn的范圍可表示為紫色圓弧An。P4可重新表示為

圖2 （a）SCF算法QP序列的求解和收斂，（b）BnB算法凸集和分支表示Fig.2 （a）Solving and convergence of SCF algorithm QP sequence，（b）BnB algorithm convex set and branch representation

先將(23)中|vn|=1 的約束松弛為|cn|≤1，在圖2（b）中為圓弧An和兩個半徑圍成的區(qū)域，顯然已經是一個凸集。然后去掉中的三角區(qū)域，只考慮vn∈An的最緊的凸集是由紫色圓弧An與An的兩個端點連成的弦之間的區(qū)域。優(yōu)化問題P4經過凸松弛之后的優(yōu)化問題為

優(yōu)化問題(23)中cn∈的約束等價于

其中arg(cn)∈[ln，un]，an=，具體證明過程見引理。上述經凸松弛后轉化為凸問題，可通過內點法求解。問題(24)得到的解顯然也不能保證恒模解，下面通過BnB算法的搜索策略將搜索空間不斷縮小以逼近單元圓，使之收斂到全局最優(yōu)解。

優(yōu)化問題(23)的搜索空間可以看成N個單位圓的乘積，即A=A1×A2×…×AN=[0，2π]N。為了使BnB 算法能夠盡可能快速收斂，需要仔細設計算法中確定上下界、節(jié)點選擇規(guī)則和分支規(guī)則三個重要因素，分別具體說明［14］：

（1）確定上下界。對于要求解的每個子問題，求解其對應的凸問題，得到最優(yōu)解c，最優(yōu)值作為該子問題的下界，即Lb=fL(c)?？尚杏蛑腥我庖粋€點都可以確定上界，因此令v=，如同圖2（b）中的點cn投影到圓弧上的點vn，即上界Ub=fU(v)。

（2）節(jié)點選擇規(guī)則。每次迭代應當選擇一個葉子節(jié)點，然后進行分支操作和求解其上下界。節(jié)點選擇通常與優(yōu)化目標有關，對于(23)最小化問題，選擇所有葉子節(jié)點中下界最小的節(jié)點。

（3）分支規(guī)則。對上一步選擇出來的子問題（節(jié)點），假設其最優(yōu)解為c，v=，找到c與v距離最遠的元素索引n，即n=。然后將An進行均勻劃分，設An=[ln，un]，令z=，將搜索空間A在An的區(qū)間中間點z處均勻劃分為Al和Ar，其中

根據(jù)SCF 算法迭代求解QP(k)的次數(shù)，其計算復雜度為O(KN2.373)，K為總迭代次數(shù)［15］。BnB 算法搜索樹的大小隨N呈指數(shù)增長，對于給定的收斂容限ε，其達到ε最優(yōu)解的所需要的迭代次數(shù)最多為，其中δ=?；贐nB的搜索算法固然可以得到全局最優(yōu)解，然而代價卻是極高的指數(shù)復雜度。還有，交替優(yōu)化（AO）算法的計算復雜度為O(NrNt(N+Nr)r+)，其中，Nr≤Nt，K為迭代次數(shù)，r為隨機數(shù)［6］。采用隨機化的半定松弛（SDR）算法的計算復雜度為O(N3.5)+O(TN2)，其中T?N為隨機化的次數(shù)［17］。因此，相對于BnB、AO 和SDR算法，SCF算法具有更低的計算復雜度。

5 仿真結果分析

下面給出在所考慮無線通信系統(tǒng)中的仿真結果。AP 端配備Nt=32 根發(fā)射天線，UE 端配備Nr=4 根接收天線，發(fā)送數(shù)據(jù)流數(shù)Ns=4。AP 的位置設置在坐標軸的原點(0，0)處，UE 的位置在一個圓心在(40，0)半徑為10 m 的圓形區(qū)域內隨機產生，IRS的位置固定在坐標(40，10)處?？偘l(fā)射功率P=30 dBm（若不另外說明），噪聲功率σ2=-85 dBm。復信道增益～CN(0，10-0.1κ(d))，其中κ(d)=ρa+10ρblg(d)+γ，其中γ～，ρa=61.4 dB，ρb=2 dB，ρc=5.8 dB，d為收發(fā)設備之間的距離［18］。和的定義與類似。

圖3 研究了SCF 算法在IRS 的反射元件數(shù)N=15和N=25時的收斂性，收斂容差設置為ε=10-5?？梢钥吹皆诘_始時目標值快速下降，后面則下降緩慢，直到相鄰兩次的目標值不超過ε停止迭代。圖4 研究了BnB 算法同樣在N=15和N=25 時的收斂性，收斂容差同樣設置為ε=10-5。圖中可以看到隨著迭代次數(shù)的增加，上界和下界的距離越來越近，直到小于ε迭代結束。因為搜索樹的大小隨N呈指數(shù)型增加，也就意味著為了得到全局最優(yōu)解，隨著N的增加其復雜度也大大增加。由于每次迭代的次數(shù)不一，為了說明問題，圖3 和圖4 是經過多次測試取平均的結果。SCF算法的迭代次數(shù)不僅小于在相同設置下的BnB 算法，而且每一次迭代所需時間也遠小于BnB算法。

圖3 SCF算法的迭代和收斂過程Fig.3 Iteration and convergence process of SCF algorithm

圖4 BnB算法的迭代和收斂過程Fig.4 Iteration and convergence process of BnB algorithm

圖5 研究了系統(tǒng)頻譜效率與IRS 反射元件數(shù)N的關系。圖中可以看到BnB 算法在不同的N都具有最高的頻譜效率，SCF 算法則低于BnB 算法的性能，但明顯高于SDR 算法所具有的頻譜效率，最低的曲線則是當IRS相移矩陣隨機設置，而AP端采用最優(yōu)有源波束賦形矩陣Fopt時的性能曲線，可作為基準性能。還可以看到，隨著N的增大不同算法之間的性能差距越大，這也間接說明了研究高質量低復雜度次優(yōu)算法和最優(yōu)算法的價值所在。

圖5 系統(tǒng)頻譜效率與IRS反射元件數(shù)N的關系Fig.5 The relationship between the system spectrum efficiency and the number N of IRS reflection elements

圖6 研究了SCF 和BnB 算法分別在連續(xù)相移、1 bit、2 bit 量化相移時N與系統(tǒng)頻譜效率的關系。考慮bbit 量化時，離散相移角度集合Dset={2π·(0：2b-1)/2b}，那么離散相移角

圖6 不同反射元件數(shù)N時IRS連續(xù)和離散相移的頻譜效率Fig.6 Spectral efficiency of IRS continuous and discrete phase shifts with different numbers of reflective elements N

即在離散相移角度集合中選擇一個與最優(yōu)連續(xù)相移解距離最近的離散角。圖6 中可以看到，連續(xù)相移時二者性能則同圖5 所表示的一致，而當1 bit 和2 bit 量化相移時，低復雜度的SCF 算法所具有的頻譜效率已經十分接近最優(yōu)的BnB 算法的性能曲線。這說明在很多情況下SCF 算法的離散量化相移與最優(yōu)的BnB 算法所得到的是一致的，盡管在相移連續(xù)時二者存在差距。與圖5結果相似，圖6中隨著N的增大，SCF 算法的頻譜效率與BnB 的差距有所增加，但可看到當N=30 時二者在連續(xù)相移時只有，而在離散相移時差距更小。BnB 算法在較大的N時雖然能夠取得全局最優(yōu)解，但同時其代價是承擔了隨N增加的指數(shù)級的計算復雜度；SCF算法則在與最優(yōu)性能差距不大的情況下大大降低了計算復雜度。

圖7 研究了系統(tǒng)頻譜效率與總發(fā)射功率P的關系。其中，IRS 反射元件數(shù)N=20，其余參數(shù)與上述相同。與圖5 中具有相似的結果，BnB 算法在不同的發(fā)射功率P都具有最高的頻譜效率，SCF 算法略低于BnB 算法的性能且十分接近，且明顯高于SDR算法在不同發(fā)射功率P所具有的頻譜效率，最下面的曲線依然是IRS相移矩陣隨機和最優(yōu)有源波束賦形矩陣Fopt組合時的基準曲線。

圖7 系統(tǒng)頻譜效率與總發(fā)射功率P的關系Fig.7 The relationship between system spectrum efficiency and total transmit power P

圖8 研究了SCF 和BnB 算法分別在連續(xù)相移、1 bit、2 bit 量化相移時總發(fā)射功率P與系統(tǒng)頻譜效率的關系。在連續(xù)相移時則同圖7 所表示的一致，而在當1 bit 和2 bit 量化相移時，在不同的發(fā)射功率下，SCF 算法所具有的頻譜效率略低于BnB 算法的性能曲線，可以得到與圖6相同的結論，雖然SCF 算法在連續(xù)時與最優(yōu)BnB 算法存在一定差距，但在相移離散時二者的性能差距非常之小，由此可見，低復雜度的SCF在相移離散時具有十分優(yōu)異的性能。

圖8 不同總發(fā)射功率P時IRS連續(xù)和離散相移的頻譜效率Fig.8 Spectral efficiency of IRS continuous and discrete phase shifts at different total transmit power

盡管在理論研究中通常認為IRS 相移連續(xù)，但是在實際應用中IRS每個反射單元均是由開關元件（比如PIN二極管、場效應晶體管）組成，因此具有的相移比特數(shù)越多，則需要的開關元件越多從而成本越高。因此從上述仿真驗證結果可知，本文提出的SCF 算法不僅具有較低的復雜度，而且對于離散相移的IRS 無源波束賦形的頻譜效率接近最優(yōu)性能，對在6G 中IRS 的部署和應用更具有實際價值和意義。

6 結論

本文考慮一個單用戶IRS 輔助的毫米波MIMO系統(tǒng)。通過優(yōu)化設計AP 端有源和IRS 無源波束賦形相移矩陣，以最大化頻譜效率。具體地，首先將有源和無源波束賦形矩陣解耦，得到在IRS 相移矩陣給定情況下的最優(yōu)有源波束賦形解，將IRS 無源波束賦形設計問題推導為一個非凸QCQP 問題；提出了低復雜度的SCF 算法求解方案，使用凸等式約束的二次規(guī)劃（QP）序列來解決非凸恒模約束；為衡量SCF 算法性能，對比能得到最優(yōu)解的分支界定（BnB）算法來解決恒模約束，經過凸松弛后不斷劃分其搜索空間直到收斂；仿真結果驗證了SCF 算法在IRS相移連續(xù)和離散時都具有低復雜度高頻譜效率性能，而且對于離散相移IRS 的頻譜效率接近最優(yōu)性能，對在6G 中IRS的部署和應用更具有實際價值和意義。SCF算法對解決帶有恒模約束的高度非凸問題提供了重要解決思路和方案，后續(xù)將考慮應用于多用戶場景中深入展開分析和研究。

附錄

圖9 凸集中任一點c所滿足的等價條件Fig.9 The equivalent condition satisfied by any point c in the convex set

當u-l∈[0,2π]時，上述結論在數(shù)學上依然成立。