山西某場區(qū)地面沉降的灰色理論分析

楊 帥，韓 靜，曹江濤，馬煜棟，王子垚

(自然資源陜西省衛(wèi)星應(yīng)用技術(shù)中心,陜西 西安 710128)

1 概述

我國最早的地面沉降問題出現(xiàn)于上海市和天津市，隨著地下水的不斷抽取，全國多個地區(qū)，包括長江三角洲地區(qū)、華北平原、關(guān)中平原等地區(qū)均存在不同范圍的沉降。目前關(guān)于地面沉降原因的研究眾多，概括起來主要包括開發(fā)利用地下流體資源、開采固體礦產(chǎn)、巖溶塌陷、軟土的固結(jié)沉降、新構(gòu)造運(yùn)動、動土融化等因素[1]。而隨著人口的增長和城市建設(shè)的飛速發(fā)展，地下水超采現(xiàn)象持續(xù)嚴(yán)重，沉降范圍和幅度逐年擴(kuò)大。

本次研究地點(diǎn)位于沉降較為突出的太原，該區(qū)是重要的人口聚集區(qū)，市區(qū)屬于典型的黃土分布區(qū)，20世紀(jì)50年代以來，為滿足居民生活的需求，市區(qū)內(nèi)進(jìn)行了一系列大規(guī)模抽取地下水、礦區(qū)開采及排水等活動，對區(qū)域工程地質(zhì)條件造成了極大改變。據(jù)研究，太原已形成了五個沉降漏斗區(qū)，是我國地面沉降較嚴(yán)重的城市之一，并且地面沉降仍處于持續(xù)發(fā)展?fàn)顟B(tài)[2]。眾多學(xué)者對太原市地面沉降原因做出了不同解釋，方鵬飛等[3]認(rèn)為太原市的地面沉降主要是由于集中開采深層承壓含水層引起的；現(xiàn)今研究認(rèn)為抽取地下流體時造成地面沉降的主要原因的解釋有兩種：1)有效應(yīng)力降低原理；2)水動力固結(jié)原理[4]。一方面說明抽水使土體的有效應(yīng)力下降造成含水層的壓實(shí)從而引發(fā)地面沉降；另一方面解釋了抽水以后的殘余應(yīng)變引發(fā)地面沉降，兩者結(jié)合使得黃土顆粒之間的有效應(yīng)力增加，土層產(chǎn)生固結(jié)壓縮，最終導(dǎo)致地面沉降。

以太原某場區(qū)地面沉降為研究對象，在為期10個月監(jiān)測的基礎(chǔ)上，對研究區(qū)場地的沉降量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，然后進(jìn)行灰色建模處理，預(yù)測未來兩個月內(nèi)沉降量并進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明灰色理論在短期地基沉降預(yù)測方面有良好的適應(yīng)性，對地面沉降預(yù)防和治理具有重要意義。

2 沉降模型的建立

通過長期監(jiān)測發(fā)現(xiàn)研究區(qū)地面高程位置處于持續(xù)下降的狀態(tài)，而且沉降規(guī)律不明顯，數(shù)據(jù)相對較少而且具有不確定性，這與灰色系統(tǒng)理論所處理的數(shù)據(jù)條件基本一致，而且同其他模型相比，該模型結(jié)構(gòu)簡單、適應(yīng)性強(qiáng)、可信度較高的特點(diǎn)。所以本文借助灰色系統(tǒng)理論對研究區(qū)地面沉降進(jìn)行預(yù)測與分析。

2.1 工程概況

太原市位于山西省中部，整體地勢為北，境內(nèi)地貌類型主要有山地、丘陵、平原、盆地等，具有典型的黃土高原地貌特征。在地質(zhì)構(gòu)造上地處山西斷隆的中部，為新生代斷陷盆地，是多個隆起和洼陷地層的交界處，區(qū)內(nèi)構(gòu)造較為簡單，構(gòu)造大體呈北東—南西向，被巨厚的松散沉積物所覆蓋。研究區(qū)涉及沉降的地層以第三系黃棕色粉砂質(zhì)黏土、紅黏土以及第四系粉質(zhì)黏土、沖洪積層為主，綜合厚度超過50 m。該區(qū)地處大陸內(nèi)部，屬于溫帶大陸性氣候。因其位于北半球中緯度地區(qū)且為高原地形，所受光照充足，晝夜溫差較大。太原市水資源相對匱乏，大氣降水是水資源的主要補(bǔ)給源，但降水和徑流變化大，分配不均勻水資源緊缺問題嚴(yán)重。境內(nèi)地下水主體可分為基巖裂隙水、碳酸鹽巖類巖溶裂隙水、碎屑巖類裂隙孔隙水和松散巖類孔隙水[5]。太原市礦產(chǎn)資源豐富，以煤、鐵、石膏含量最為豐富。截止到2020年，太原市常駐人口超過500萬人，人口的不斷增長加劇了對地下水以及其他礦產(chǎn)資源的需求，進(jìn)而影響到地下水系統(tǒng)的平衡以及造成區(qū)域生態(tài)環(huán)境的破壞，對地層的沉降造成巨大影響。

2.2 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍教授于1982年首次提出的，該理論主要用于解決數(shù)據(jù)信息不完整，結(jié)果不確定性一類問題[6]?；疑到y(tǒng)指系統(tǒng)內(nèi)部一部分信息已知而另一部分信息是未知的，這種系統(tǒng)是介于系統(tǒng)內(nèi)部信息完全已知的白色系統(tǒng)和系統(tǒng)內(nèi)部信息完全未知的黑色系統(tǒng)之間的。而灰色理論模型的主要任務(wù)是充分開發(fā)和利用為數(shù)不多的顯信息和隱信息，進(jìn)而尋找數(shù)據(jù)之間存在的數(shù)學(xué)邏輯和關(guān)系[7]。一般情況下，小樣本預(yù)測的回歸分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析效果都不太理想，而灰色預(yù)測理論具有適應(yīng)于數(shù)據(jù)量較少，數(shù)據(jù)持續(xù)時間相對較短，數(shù)據(jù)分析過程簡單等特點(diǎn)，完美適合地基沉降分析。所以文中利用灰色系統(tǒng)理論中的一階微分方程GM(1,1)模型進(jìn)行地面沉降的預(yù)測。

設(shè)地基沉降監(jiān)測的歷史數(shù)據(jù)組成的時間序列為：

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}。

實(shí)際上該序列應(yīng)為一組無規(guī)律序列，為了更深一步探討數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，需對數(shù)據(jù)進(jìn)行灰處理，以便產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)列，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。常見的數(shù)據(jù)生成方法有累加生成、累減生成和均值生成等方法[8]，本次研究中根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇累加生成灰色數(shù)據(jù)的方式。

x(1)(k)={x(0)(1),x(0)(1)+x(0)(2),…,

x(0)(1)+x(0)(2)+…+x(0)(n)}。

即:

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(1)+x(0)(2),…,

x(1)(n-1)+…+x(0)(n)}。

則x(1)(k)為x(0)的一次累加數(shù)列，通過該方法可使任意正向無規(guī)律的數(shù)列轉(zhuǎn)化為遞增數(shù)列以削弱數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

對于一階微分方程:

其中,a,b均為系數(shù)，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B以及數(shù)據(jù)向量YN，根據(jù)最小二乘法可得：

其中：

YN=[x(0)(2)x(0)(3) …x(0)(n)]T。

將現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果代入對應(yīng)矩陣及微分方程式中即可求系數(shù)a,b的值，然后便得到與沉降相關(guān)的微分方程如下：

其預(yù)測沉降值為：

模型的預(yù)測結(jié)果可與實(shí)際情況進(jìn)行直接對比，并可以通過殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)來確定模型精度。在檢驗(yàn)分析過程中主要以前八個月的預(yù)測和實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，并以最后兩個月的數(shù)據(jù)來分析模型的預(yù)測情況以及適用性。

2.2.1 殘差檢驗(yàn)

殘差是指觀測值與預(yù)測值之間的差，因此對于每個監(jiān)測點(diǎn)在不同時刻的預(yù)測沉降與實(shí)測沉降之間的殘差應(yīng)是一個殘差序列，而殘差檢驗(yàn)則是通過數(shù)據(jù)殘差序列所提供的信息分析數(shù)據(jù)之間的精確程度和關(guān)聯(lián)性。

殘差檢驗(yàn)的重點(diǎn)在于比較預(yù)測值與實(shí)測值之間差值的大小，其主要由實(shí)測值方差以及殘差序列的方差可求得方差比值，此外借助小概率誤差來綜合分析，最后便可根據(jù)表1來確定模型精度等級。

表1 灰色模型預(yù)測精度表

2.2.2 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

關(guān)聯(lián)度是指系統(tǒng)或兩個因素之間的關(guān)聯(lián)性大小，它反映了系統(tǒng)中因素間相對變化的情況。如果實(shí)測值與預(yù)測值兩者變化基本一致，則認(rèn)為兩者關(guān)聯(lián)度較大；反之。在本次研究的GM(1,1)模型中采用無量綱的關(guān)聯(lián)度進(jìn)行精度檢驗(yàn)，所用的關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式如下：

ξ(k)=

其中，ξ(k)為第k個元素的關(guān)聯(lián)度，ρ∈[0,1]為分辨系數(shù)，一般取ρ=0.5，r為所有元素關(guān)聯(lián)度的平均值，代表整個序列的關(guān)聯(lián)度大小。多個關(guān)聯(lián)度實(shí)例表明實(shí)測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)度越大，模型越好，一般當(dāng)關(guān)聯(lián)度大于60%時便可認(rèn)為兩者的關(guān)聯(lián)度較高。

3 沉降模型應(yīng)用

3.1 模型預(yù)測

本節(jié)根據(jù)四個原位監(jiān)測點(diǎn)在2020年與2021年期間的8個月的沉降統(tǒng)計(jì)結(jié)果為基礎(chǔ)信息，利用GM(1,1)模型對沉降量進(jìn)行模擬和預(yù)測，然后與2021年3月～4月的實(shí)測沉降值進(jìn)行對比，以便確定模型的適應(yīng)情況和精確程度。通過監(jiān)測獲得研究區(qū)沉降數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 監(jiān)測點(diǎn)實(shí)測沉降量

為了清楚展示灰色模型建立以及預(yù)測中的計(jì)算和分析過程，本節(jié)以監(jiān)測點(diǎn)1前八個月的實(shí)測數(shù)據(jù)在地面沉降預(yù)測中的應(yīng)用為例，首先對實(shí)測結(jié)果做累加生成對應(yīng)x(1)(k)序列見表3。

表3 監(jiān)測點(diǎn)1累加生成序列

確定矩陣B和YN：

YN=[1.73,2.63,3.65,4.76,5.98,7.51,9.09]T。

那么：

則:

所以監(jiān)測點(diǎn)1的灰色理論預(yù)測模型為：

同理可求出其他3個監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測模型如下：

監(jiān)測點(diǎn)2預(yù)測模型：

監(jiān)測點(diǎn)3預(yù)測模型：

監(jiān)測點(diǎn)4預(yù)測模型：

從預(yù)測模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，該區(qū)域的累計(jì)沉降量在一定時間范圍內(nèi)以近似指數(shù)遞增的方式變化，并且4個監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測模型數(shù)學(xué)表達(dá)式極為相似，其表達(dá)式系數(shù)值的差值很小，這也說明在監(jiān)測點(diǎn)所圍成的區(qū)域內(nèi)部沉降應(yīng)是同步且均勻發(fā)生的。

根據(jù)監(jiān)測點(diǎn)的沉降模型預(yù)測公式，給定不同k的值，便可得到不同時間對應(yīng)的地面沉降值，見表4。

表4 監(jiān)測點(diǎn)沉降預(yù)測值

3.2 模型檢驗(yàn)

結(jié)合實(shí)測結(jié)果與預(yù)測模型，對預(yù)測模型的精度等級分別利用殘差檢驗(yàn)以及關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)進(jìn)行精度分析，在本節(jié)以監(jiān)測點(diǎn)1精度分析為例。

監(jiān)測點(diǎn)1的殘差序列為ε(0)=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]；

相對誤差序列為：Δk1=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]；

方差比值c1=0.086 5；

小概率誤差：p=1.00；

查表2可以確定出該模型的精度等級為好。

該模型每個元素的關(guān)聯(lián)度序列為：

ξ(k)=[1,0.333,0.559,-0.81,-0.568,-0.612,-0.725,0.406]。

則關(guān)聯(lián)度:

r1=0.627。

由此可認(rèn)為監(jiān)測點(diǎn)1處的預(yù)測沉降值與實(shí)測沉降值之間的關(guān)聯(lián)度較高。

同理可以得出其他3個監(jiān)測點(diǎn)的精度以及關(guān)聯(lián)度，4個監(jiān)測點(diǎn)的精度以及關(guān)聯(lián)度分析結(jié)果如表5所示。

表5 模型精度與關(guān)聯(lián)度匯總表

表5說明了研究區(qū)的預(yù)測模型精度和關(guān)聯(lián)度均達(dá)到理想標(biāo)準(zhǔn)，模型對該地區(qū)地面沉降的擬合程度較高。結(jié)合表4可以發(fā)現(xiàn)，由前8個月的實(shí)測數(shù)據(jù)求得的預(yù)測模型與實(shí)測結(jié)果之間的殘差較小，模型對已知沉降的模擬精確程度較高。通過比較第9個月的沉降值發(fā)現(xiàn)，模型對沉降的預(yù)測較為準(zhǔn)確，其誤差不足10%，但對第10個月的預(yù)測誤差逐漸增大，已經(jīng)接近25%。由此不難推測當(dāng)時間不斷增加時，模型的預(yù)測精度會逐漸降低，這也符合指數(shù)函數(shù)隨著因變量的增加，其函數(shù)值增加的速度越來越快的特點(diǎn)。這也表明灰色理論預(yù)測模型的適應(yīng)時間段有限，但在有限的時間段內(nèi)其預(yù)測結(jié)果精度較高。

3.3 殘差修正

為了進(jìn)一步提升灰色理論預(yù)測模型的精確程度，并降低預(yù)測過程中出現(xiàn)的較大誤差的可能性，對預(yù)測模型進(jìn)行殘差修正。本節(jié)仍以監(jiān)測點(diǎn)1的數(shù)據(jù)為例。通過前面分析，已知監(jiān)測點(diǎn)1的殘差序列為：

ε(0)=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]。

其中殘差序列中最小值小于0，因此對殘差數(shù)列進(jìn)行正向平移變化，本節(jié)中對殘差數(shù)列所有數(shù)據(jù)加1，使得序列中每一項(xiàng)均為正數(shù)，并得到新的數(shù)列:

ε(1)=[1,1.486,1.192,0.943,0.815,0.846,0.908,1.355]。

對該數(shù)列進(jìn)行灰色理論預(yù)測可得：

對模型1進(jìn)行修正得：

同理可得其他3個監(jiān)測點(diǎn)的修正模型為：

通過對比殘差修正模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)時監(jiān)測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)殘差修正模型在一定程度上提高了預(yù)測模型的精度，但仍然存在著當(dāng)時間序列增加，其預(yù)測結(jié)果偏移量增加的情況，所以灰色理論預(yù)測模型只適用于短期且已知信息量較少的數(shù)據(jù)變化趨勢預(yù)測。

3.4 沉降改善措施

受地表水資源匱乏的制約因素，太原地區(qū)需要大量地下水開采來保證社會經(jīng)濟(jì)正常發(fā)展，且無法像長三角平原、江漢平原等地區(qū)由于地表水資源豐富，而采用地下水禁采措施減少沉降。目前太原地區(qū)沉降改善措施主要有以下幾個方面：

1)減少在同一地方大量進(jìn)行地下水開采而導(dǎo)致地下水位下降過大，應(yīng)采用分布式開采，減輕局部地區(qū)開采壓力，有助于減少區(qū)域性的地面沉降。

2)由于深層地下水不易得到補(bǔ)給，恢復(fù)較慢。因而考慮開采恢復(fù)能力較強(qiáng)的淺層地下水(潛水含水層與微承壓水)，降低潛水位有利于減少地下水蒸發(fā)量，增大地表水向下入滲并可加速淺層水循環(huán)，有利于污染淺水層的修復(fù)。太原地區(qū)開采水資源應(yīng)注重大氣降水與地表水的獲取，從而減少地下水開采壓力。

3)對于水源地的規(guī)劃應(yīng)采取多且分散的規(guī)劃策略，按照各個水源地的具體情況可以適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行輪流開采，將水位情況作為可開采資源的必要約束條件。將主要的湖泊、河流附近進(jìn)行水源地的規(guī)劃開發(fā)作為地下水開采的合理補(bǔ)充。并對其做好保護(hù)工作，防止其受到污染影響。

4)加強(qiáng)地下水水位的動態(tài)監(jiān)測，地面沉降一般滯后于水頭的下降,前期變形緩慢很難察覺，一旦發(fā)生很難恢復(fù)，對于其動態(tài)實(shí)時監(jiān)測尤為重要，地下水水位與地面沉降觀測網(wǎng)絡(luò)包括地下水觀測井和基巖標(biāo)以及分層沉降標(biāo)的合理規(guī)劃與統(tǒng)一管理尤為重要。其為最大限度獲取實(shí)時地下水與地面沉降的動態(tài)資料扮演著關(guān)鍵性角色。

5)星載合成孔徑雷達(dá)干涉測量(InSAR)技術(shù)由于空間覆蓋范圍廣、空間分辨率高、全天時、全天候、形變探測精度高等特點(diǎn)，成為常用大地測量技術(shù)之一，通過計(jì)算兩次過境時SAR影像的相位差來獲取數(shù)字高程模型。相比GPS測量、常規(guī)大地測量法和近景攝影測量等傳統(tǒng)方法,具有毫米級的監(jiān)測精度，作業(yè)效率高、數(shù)據(jù)處理流程化等優(yōu)勢。對于城市地面沉降，礦山沉降形變監(jiān)測，基礎(chǔ)設(shè)施沉降監(jiān)測在近年來廣受追捧，并且隨著SAR衛(wèi)星的成像質(zhì)量和時空分辨率等越來越高，其監(jiān)測效果也愈加增強(qiáng)，對于地面沉降毫米級形變的實(shí)時監(jiān)測預(yù)警，可以幫助第一時間發(fā)現(xiàn)沉降區(qū)域，在沉降初期進(jìn)行治理工作，降低沉降對城市帶來的威脅，目前InSAR技術(shù)對于沉降發(fā)生的預(yù)警作用已在各地廣泛開展應(yīng)用。

4 結(jié)論與討論

地面沉降是多種外部因素和內(nèi)部因素綜合作用的結(jié)果，現(xiàn)有理論很難解釋地面沉降的過程。而地面沉降量的統(tǒng)計(jì)、計(jì)算和預(yù)測在某種程度上是一種信息相對模糊，既存在部分已知信息又具備部分未知信息的一種系統(tǒng)。所以可利用灰色系統(tǒng)理論對地面沉降量進(jìn)行短期預(yù)測以便應(yīng)用于實(shí)際工程。本文為對四個監(jiān)測點(diǎn)的沉降量進(jìn)行灰色理論模型分析，推導(dǎo)出了研究區(qū)的地面沉降在短期內(nèi)的預(yù)測公式，得到主要結(jié)論如下：

此次研究只是GM(1,1)模型的一種應(yīng)用，對于類似問題也可以采用GM(1,n)模型來解決。模型在預(yù)測短期地基沉降方面具有較高的精確性，研究在區(qū)及其附近范圍內(nèi)適用性較強(qiáng)，對于今后區(qū)域內(nèi)沉降的監(jiān)測和指導(dǎo)工程施工具有積極的意義。

通過對比四個監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測模型公式，可知該區(qū)域的預(yù)測模型相似度較高，可初步推測在監(jiān)測點(diǎn)所圍成研究區(qū)內(nèi)發(fā)生的是一個整體上的均勻沉降，在該區(qū)域內(nèi)各處的沉降趨勢基本上是一致的。

從極限分析的角度來看，地面沉降在時間間隔發(fā)展到一定階段后終會停止，甚至出現(xiàn)回升，而模型預(yù)測的沉降量是一個持續(xù)增加的數(shù)值，這造成模型在短期內(nèi)的預(yù)測精度較高，而長期預(yù)測的地面沉降值精度有所下降。因此對于時間間隔較長的地面沉降，還需重新統(tǒng)計(jì)沉降發(fā)生的近期數(shù)據(jù)并開展新的預(yù)測。