具有3個(gè)時(shí)滯的環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

鮑芳霞，趙東霞，龐玉婷

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

0 引言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在信號處理、模式識別、人工智能和全局優(yōu)化等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，考慮到其動力學(xué)行為是應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，因此，國內(nèi)外專家學(xué)者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其動力學(xué)行為進(jìn)行了深入的研究，取得了一系列卓有成效的結(jié)果[1-6]。文獻(xiàn)[7]研究了帶有自反饋的多時(shí)滯N元環(huán)型非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，假設(shè)所有相鄰神經(jīng)元之間的連接權(quán)值均為a，通過構(gòu)造輔助函數(shù)等分析技巧，討論了特征方程的每個(gè)一階因式的零點(diǎn)的實(shí)部分布情況，以及系統(tǒng)得到穩(wěn)定所需滿足的條件。文獻(xiàn)[8]首先討論了無自反饋項(xiàng)的三元環(huán)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)特征方程的根的分布情況，明確了系統(tǒng)平凡解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的充分條件，其次討論了帶有自反饋的情形，仍得到相似的結(jié)論。文獻(xiàn)[9]考慮帶有自反饋的多時(shí)滯三元環(huán)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，假設(shè)每個(gè)神經(jīng)元之間的連接權(quán)值均為a，討論了當(dāng)a變動時(shí)系統(tǒng)平凡解與不平凡解的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10-11]建立了帶有2個(gè)小世界聯(lián)接的四神經(jīng)元時(shí)滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，通過對其進(jìn)行分析給出了與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，并討論了小世界聯(lián)接對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[12]研究了時(shí)滯為τ，連接權(quán)值為α、β的雙向環(huán)形網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，采用標(biāo)準(zhǔn)型法和中心流行理論對其進(jìn)行了線性穩(wěn)定性和Hopf分岔分析。文獻(xiàn)[13]針對具有4個(gè)神經(jīng)元的單向環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過對正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析，得到了參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)間，并刻畫了當(dāng)正平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性時(shí)的特點(diǎn)及所發(fā)生的Hopf分岔情況。 文獻(xiàn)[14]研究了具有雙時(shí)滯的單擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用特征根方法，討論了系統(tǒng)參數(shù)與穩(wěn)定性之間的關(guān)系，給出了2個(gè)時(shí)滯參數(shù)的臨界取值。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，研究如下具有3個(gè)時(shí)滯的四神經(jīng)元雙向環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(如圖1所示)：

(1)

圖1 具有3個(gè)時(shí)滯的四神經(jīng)元環(huán)形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖

主要貢獻(xiàn)是在具有雙時(shí)滯的雙向環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上(見文獻(xiàn)[15])，增加考慮了自反饋項(xiàng)的時(shí)滯因素，進(jìn)而研究具有3個(gè)時(shí)滯(σ,τ1,τ2)的四神經(jīng)元雙向環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與時(shí)滯相關(guān)及與時(shí)滯無關(guān)的穩(wěn)定性，并給出3個(gè)時(shí)滯參數(shù)的臨界值。

1 系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性分析

考慮到tanh(0)=0，tanh′(0)=1，則(0,0,0,0)是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，并且系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)處線性化可得：

(2)

通過計(jì)算可得系統(tǒng)(2)的特征方程為：

(λ+d-ke-λσ-ae-λτ2-be-λτ1)×

(λ+d-ke-λσ+ae-λτ2+be-λτ1)×

(λ+d-ke-λσ+i(ae-λτ2-be-λτ1))×

(λ+d-ke-λσ-i(ae-λτ2-be-λτ1))=0

(3)

式(3)等價(jià)于：

(4)

引理1[16]考慮指數(shù)型多項(xiàng)式：

P(λ,e-λτ1,…，e-λτm)=

(5)

注1 根據(jù)引理1可知，當(dāng)時(shí)滯參數(shù)(σ,τ1,τ2)由(0,0,0)一點(diǎn)點(diǎn)開始增大時(shí)，穩(wěn)定性發(fā)生切換當(dāng)且僅當(dāng)特征方程產(chǎn)生純虛根。

1.1 τ1=τ2=σ=0的情形

所考慮的特征方程(4)是具有3個(gè)時(shí)滯τ1、τ2和σ的4階指數(shù)型多項(xiàng)式。當(dāng)τ1=τ2=0時(shí)，特征方程(4)退化為：

(6)

定理1若d>0，則當(dāng)τ1=τ2=0，且σ=0時(shí)，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件為d-k>|a+b|。

證明當(dāng)τ1=τ2=0，且σ=0時(shí)，特征方程(3)的根表示成如下形式：

(7)

化簡得：

(8)

容易看出，當(dāng)d-k>|a+b|時(shí)，λ1,2<0，Reλ3,4=-(d-k)<0。所以，τ1=τ2=0且σ=0時(shí)，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部，定理得證。

1.2 τ1=τ2=0，σ>0的情形

接著進(jìn)行討論τ1=τ2=0時(shí)，系統(tǒng)(1)穩(wěn)定時(shí)，時(shí)滯σ的取值范圍。

首先將給出如下的5個(gè)條件：

(P1)a+b≥0,k2-[d-(a+b)]2≤0

且k2-d2<0;

(P2)a+b<0,k2-[d+(a+b)]2≤0

且k2-d2<0;

(P3)k2-[d-(a+b)]2>0;

(P4)k2-[d+(a+b)]2>0;

(P5)k2-d2>0。

定理2假設(shè)d>0，d-k>|a+b|且τ1=τ2=0，則：

1) 如果系統(tǒng)參數(shù)滿足條件(P1)或(P2)，則對于任意的σ∈[0,+∞)，特征方程(3)的所有根均具有負(fù)實(shí)部。

2) 如果系統(tǒng)參數(shù)a、b、k、d滿足條件(P3)—(P5)中任意一條，則必存在某正數(shù)σ0>0，使得對任意的σ∈[0,σ0)，特征方程(3)的所有根均具有負(fù)實(shí)部。

證明假設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程(6)的純虛根，此時(shí)，代入方程(6)中的4個(gè)等式，且分離實(shí)部和虛部，分別可得：

(9)

對上面4個(gè)方程組左右兩邊平方和再相加得：

(10)

移項(xiàng)整理得關(guān)于σ的如下4個(gè)方程：

(11)

顯然，如果條件(P1)或(P2)成立，則式(11)的4個(gè)式子均無正根，即特征方程(3)不會發(fā)生有純虛根的情況。結(jié)合引理1可得結(jié)論1)成立。

接著進(jìn)一步分析特征方程(6)產(chǎn)生純虛根時(shí)的時(shí)滯值σ的臨界情況。

當(dāng)條件(P3)—(P5)其中之一成立時(shí)，方程(11)至少有一個(gè)正根。現(xiàn)將所有可能的正根列出，不妨設(shè)：

(12)

由式(9)可解出：

(13)

故可設(shè)：

h=3,5,v=4,6

(14)

于是，當(dāng)τ1=τ2=0，且σ≥0時(shí)，如果系統(tǒng)參數(shù)a、b、k、d滿足條件(P3)—(P5)中任意一條，則必存在臨界值σ0>0，使得當(dāng)對σ∈[0,σ0)時(shí)，特征方程(3)的所有根都具有負(fù)實(shí)部，即結(jié)論2)得證。

1.3 τ1=0，σ∈[0,σ0)，τ2>0的情形

下面分析當(dāng)τ1=0，σ∈[0,σ0)時(shí)，特征方程(3)產(chǎn)生純虛根時(shí)的時(shí)滯值τ2的臨界情況。特征方程(4)可變?yōu)椋?/p>

(15)

假設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程(15)的純虛根，則代入方程(15)中，且分離實(shí)部和虛部，得：

(16)

對上面4個(gè)方程組左右兩邊平方和再相加得：

(17)

(18)

(19)

(20)

由方程(17)，變形得：

ω2+k2-a2+(d-b)2=

2k(d-b)cos(ωσ)-2kωsin(ωσ)=

(21)

即：

(22)

(23)

同理，由方程(18)和方程(16)的第二個(gè)方程組第一個(gè)式子可得：

(24)

由方程(19)，變形得：

d2+k2-a2+(ω-b)2=

2kdcos(ωσ)-2k(ω-b)sin(ωσ)=

(25)

即：

(26)

(27)

同理，結(jié)合方程(20)和方程(16)第四個(gè)方程組第二個(gè)式子可得：

(28)

故可設(shè)：

(29)

因此，綜上分析并結(jié)合引理1、定理1和定理2，易得如下結(jié)論。

定理3假設(shè)d>0，d-k>|a+b|且τ1=τ2=0，則：

2) 如果系統(tǒng)參數(shù)滿足條件(P1)或(P2)，并且式(17)—(20)均無正根，則對于任意的σ≥0，τ2≥0，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部。

4) 如果系統(tǒng)中的4個(gè)參數(shù)a、b、k、d對于條件(P3)—(P5)中的任意一條滿足，并且式(17)—(20)均無正根，則對于任意的τ2≥0，使得當(dāng)σ∈[0,σ0)時(shí)，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部。

(30a)

(30b)

(30c)

(30d)

對上面4個(gè)方程組左右兩邊平方和再相加得：

=cos(ω(σ-τ2))

(31)

=cos(ω(σ-τ2))

(32)

=sin(ω(τ2-σ))

(33)

=sin(ω(σ-τ2))

(34)

1≤j≤n

(35)

同理，結(jié)合方程(32)和方程(30b)的第一個(gè)式子可得：

(36)

1≤j≤n

(37)

同理，結(jié)合方程(34)和方程(30d)的第二個(gè)式子可得：

(38)

故可設(shè)：

1≤j≤n

(39)

因此，結(jié)合引理1、定理1、定理2和定理3，得下述定理。

定理4假設(shè)d>0，d-k>|a+b|，則：

4) 如果系統(tǒng)參數(shù)滿足條件(P1)或(P2)，式(17)—(20)均無正根，且式(31)—(34)均無正根，則對于任意的σ≥0，τ1≥0，τ2≥0，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部，即系統(tǒng)(1)是一致漸近穩(wěn)定的。

8) 如果系統(tǒng)中的4個(gè)參數(shù)a、b、k、d對于條件(P3)—(P5)中的任意一條都滿足，式(17)—(20)均無正根，并且式(31)—(34)均無正根，則對于任意的τ1≥0，τ2≥0，當(dāng)σ∈[0,σ0)時(shí)，特征方程(3)的所有根均有負(fù)實(shí)部，即系統(tǒng)(1)是一致漸近穩(wěn)定的。

2 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用Matlab工具進(jìn)行數(shù)值模擬，說明系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)處的動力學(xué)性質(zhì)。

例1 在系統(tǒng)(1)中，取系統(tǒng)參數(shù)值：d=1，a=0.5，b=0.25，k=0.15，顯然滿足d>0，d-k>|a+b|，以及條件(P1)：a+b≥0，k2-d2<0且k2-[d-(a+b)]2≤0。此時(shí)，只要取σ≥0即可，不妨取σ=1，則方程(17)變?yōu)椋?/p>

ω2+0.335=0.225cosω-0.3ωsinω

(40)

假設(shè)函數(shù)f(ω)=ω2+0.335，函數(shù)g(ω)=0.225cosω-0.3ωsinω，此時(shí)方程f(ω)=g(ω)無正根，如圖2所示，這2條曲線沒有交點(diǎn)。同理，方程(18)—(20)均無正根。此時(shí)，只要取τ2≥0即可，不妨取τ2=1，在此條件下，方程(31)變?yōu)椋?/p>

ω2+1.36=-1.3(ωsinω-cosω)

(41)

假設(shè)函數(shù)m(ω)=ω2+1.36，函數(shù)n(ω)=-1.3(ωsinω-cosω)，此時(shí)方程m(ω)=n(ω)無正根，如圖3所示，這2條曲線也是沒有交點(diǎn)的。同理，方程(32)—(34)均無正根。此時(shí)，不妨取τ1=3，由定理4的結(jié)論4)可得，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，如圖4所示。其中，初始條件分別取如下所示的值：x1(0)=0.1，x2(0)=-0.15，x3(0)=0.3，x4(0)=-0.25。

圖2 方程(40)無正根

圖3 方程(41)無正根

圖4 系統(tǒng)(1)的狀態(tài)在時(shí)間區(qū)間(0 s,30 s)上的收斂性

例2在系統(tǒng)(1)中，取系統(tǒng)參數(shù)值：d=0.75，a=-1，b=0.06，k=-0.2，顯然滿足d>0，d-k>|a+b|，以及條件(P4):k2-[d+(a+b)]2>0。此時(shí)，σ的臨界值σ0=4.953，所以，不妨取σ=1，方程(17)變?yōu)椋?/p>

ω2-0.483 9=-0.276cosω+0.4ωsinω

(42)

ω2+1.598 9=2.4(ωsinω-0.75cosω)

(43)

假設(shè)函數(shù)m(ω)=ω2+1.598 9，函數(shù)n(ω)=2.4(ωsinω-0.75cosω)，此時(shí)方程m(ω)=n(ω)無正根，如圖6所示，這2條曲線是沒有交點(diǎn)的。同理，方程(32)—(34)均無正根。此時(shí)，不妨取τ1=0.5，由定理4的結(jié)論6)可得，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，如圖7所示。其中，初始值為x1(0)=0.2，x2(0)=-0.13，x3(0)=0.28，x4(0)=-0.35。

圖5 方程(42)有正根

圖6 方程(43)無正根

圖7 系統(tǒng)(1)的狀態(tài)在時(shí)間區(qū)間(0 s,800 s)上的收斂性

3 結(jié)論

建立了多時(shí)滯雙向四神經(jīng)元環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，將系統(tǒng)作線性化處理后，得到其特征方程，接著對特征方程因式分解，得到對應(yīng)的4個(gè)一階指數(shù)型多項(xiàng)式，利用指數(shù)型多項(xiàng)式零點(diǎn)性質(zhì)和特征根分析方法，分析了滿足系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處與時(shí)滯相關(guān)及與時(shí)滯無關(guān)的穩(wěn)定性的充分條件。