蝸桿蝸輪減速機(jī)的非線性規(guī)劃設(shè)計(jì)

高清冉，劉波，趙國正

(濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，河南 濟(jì)源 459000)

一、蝸桿蝸輪減速機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

蝸桿蝸輪減速機(jī)是一種動(dòng)力傳遞機(jī)構(gòu)，利用蝸桿蝸輪嚙合的大傳動(dòng)比，將電機(jī)(馬達(dá))的高轉(zhuǎn)速一次性快速減小到低轉(zhuǎn)速，大幅提高轉(zhuǎn)矩。在傳遞動(dòng)力與運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)中，由于蝸桿蝸輪傳動(dòng)工作平穩(wěn)、噪聲小、結(jié)構(gòu)緊湊，還可以實(shí)現(xiàn)自鎖等優(yōu)點(diǎn)，蝸桿蝸輪減速機(jī)的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛[1]。但一般的蝸桿蝸輪由于相對滑動(dòng)速度較大，蝸輪磨損嚴(yán)重，故蝸輪齒圈常需用貴重的錫青銅等耐磨金屬材料制造。為了降低制造材料成本，在蝸桿蝸輪減速機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常以降低蝸輪齒圈體積作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

某礦運(yùn)送礦渣的帶式運(yùn)輸機(jī)用單級普通圓柱蝸桿減速機(jī)，其輸入功率P=10 kW，轉(zhuǎn)速n=1450 r/min，傳動(dòng)比i=20，單向傳動(dòng)，載荷無沖擊(載荷系數(shù)K=1.1)。蝸桿選用低碳合金鋼20 CrMnTi，芯部調(diào)質(zhì)處理，齒面滲碳淬火，硬度大于45 HRC；蝸輪選用錫青銅 ZCuSn10Pb1，金屬模鑄造。蝸輪齒圈的許用接觸應(yīng)力σH=220 MPa。按照設(shè)計(jì)要求對蝸輪齒圈體積進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并設(shè)計(jì)蝸桿蝸輪尺寸。

二、建立數(shù)學(xué)模型

(一)確定齒圈體積計(jì)算公式

注：b—齒寬；de—齒圈外徑；d0—齒圈內(nèi)徑；da—齒頂圓直徑；df—齒根圓直徑。

根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊[2]，確定計(jì)算項(xiàng)目及其計(jì)算公式如表1所示。

表1 計(jì)算項(xiàng)目及其計(jì)算公式

根據(jù)表中幾何尺寸，計(jì)算齒圈體積V：

(二)確定設(shè)計(jì)變量

由齒圈體積的計(jì)算公式可知，齒圈體積是關(guān)于蝸桿頭數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q和傳動(dòng)比i的函數(shù)，通常傳動(dòng)比i是設(shè)計(jì)已知量，因此取z1、m、q作為設(shè)計(jì)變量[3]：

(三)確定目標(biāo)函數(shù)

齒圈體積作為目標(biāo)函數(shù)，寫成式(1)：

(1)

(四)確定約束條件

1.確定接觸約束條件

由機(jī)械設(shè)計(jì)手冊，確定蝸輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件：

其中T2是蝸輪的扭矩，單位N·mm，σH為蝸輪的許用接觸應(yīng)力，單位MPa。把z2=i×z1，x1=z1，x3=q帶入上式，整理后得到接觸約束條件式(2)：

(2)

蝸輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度：由于蝸輪的抗彎能力強(qiáng)，不容易發(fā)生輪齒折斷，通常不進(jìn)行蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算[4]。

2.確定蝸桿剛度約束條件

蝸桿工作時(shí)，其最大撓度y小于等于0.001d1=0.001mq，即

蝸桿支承跨度L≈0.9d2=0.9miz1；

彈性模量E=2.1×105MPa

157.5πx22x3(x3-2.4)4≤0。

(3)

3.確定蝸桿頭數(shù)約束條件

對于蝸桿動(dòng)力傳動(dòng)，通常取z1=2～4，所以有

g3(X)=x1-4≤0，

(4)

g4(X)=2-x1≤0。

(5)

4.確定模數(shù)約束條件

對于蝸桿動(dòng)力傳動(dòng)，為了保證輪齒的抗彎能力[5]，中輕載要求3≤m≤5，所以有

g5(X)=x2-5≤0，

(6)

g6(X)=3-x2≤0。

(7)

5.確定蝸桿直徑系數(shù)約束條件

通常取5≤q≤18，因此有

g7(X)=x3-18≤0，

(8)

g8(X)=5-x3≤0。

(9)

由上面分析可知式(1)—式(9)組成蝸桿蝸輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型[6]。該數(shù)學(xué)模型是由2個(gè)性能約束和6個(gè)邊界約束組成的三維非線性規(guī)劃問題，共有8個(gè)不等式約束。

(五)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

f(X)=0的解一般通過代數(shù)幾何來求解，s.t.是英文“subject to”的縮寫，意為“受約束于”[7]。優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型包括N維設(shè)計(jì)變量X、約束條件(g(X)≤0或h(X)=0)和目標(biāo)函數(shù)f(X)三要素，其數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)是優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)抽象，在滿足所有約束條件的情況下，求解N維設(shè)計(jì)變量X，使設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)[8]。最優(yōu)化問題一般稱為“數(shù)學(xué)規(guī)劃問題”，求解約束非線性規(guī)劃問題的MATLAB 函數(shù)是它要求目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)和函數(shù)梯度都是連續(xù)的，該函數(shù)根據(jù)初始值來進(jìn)行梯度步長收斂，能夠搜索到局部最優(yōu)解[9]。這時(shí)蝸桿蝸輪非線性規(guī)劃問題優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型表示為：

三、編寫程序

程序根據(jù)傳動(dòng)比i=20，選取蝸桿頭數(shù)z1=2，查表選取模數(shù)m=5，q=18，則初始點(diǎn)X0=[2，5，18]T，根據(jù)設(shè)計(jì)變量的邊界條件、約束條件的變量系數(shù)矩陣和常數(shù)向量，編制目標(biāo)函數(shù)wg_f和約束函數(shù)wg_g。

計(jì)算蝸桿傳動(dòng)的動(dòng)力參數(shù)前，先計(jì)算蝸桿傳動(dòng)效率[10]：

(一)編寫動(dòng)力參數(shù)程序

蝸桿蝸輪動(dòng)力參數(shù)程序如下：

K=1.1；P1=6；n1=1450；i=20；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt(i)；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1

用MATLAB運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

圖2 蝸桿蝸輪動(dòng)力參數(shù)

(二)蝸桿蝸輪約束優(yōu)化

1.建立目標(biāo)函數(shù)文件wg_f.m

function f=wg_f(x)；

i=20；psi_e=1.5；psi_b=0.75；

a1=pi*psi_b*x(2)^3*(x(3)+2)/4；

a2=(i*x(1)+psi_e+2)^2；

a3=(i*x(1)-4.4)^2；

f=a1*(a2-a3)；

end

2.建立約束函數(shù)文件wg_g.m

function[g，geq]=wgcd_g(x)；

K=1.1；P1=6；n1=1450；i=20；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt(i)；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1；

g(1)=K*T2*(15150/(i*x1*sigma_HP))^2-x(2)^3*x(3)；

g2_1=0.729*i^3*x(1)^3*sqrt((2*T1/(x2*x3))^2+，

(2*T2*tan(pi/9)/(i*x1*x2))^2)；

g2_2=157.5*pi*x2^2*x3*(x3-2.4)^4；

g(2)=g2_1-g2_2；

g(3)=x1-4；

g(4)=2-x1；

g(5)=x2-5；

g(6)=3-x2；

g(7)=x3-18；

g(8)=5-x(2)；

geq=[]；

end

3.函數(shù)優(yōu)化

非線性規(guī)劃設(shè)計(jì)程序編寫：

x0=[2；5；18]；

lb=[2；3；5]；

ub=[3；5；18]；

A=[]；b=[]；

Aeq=[]；beq=[]；

[x，fval]=fmincon(@wg_f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@wg_g)；

蝸桿蝸輪傳動(dòng)優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

約束函數(shù)最優(yōu)解的函數(shù)值如圖4所示。

圖4 約束函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

(三)計(jì)算蝸桿蝸輪主要尺寸

根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊，編寫如下程序：

z1=input(‘ z1=’)；

m=input(‘ m =’)；

q=input(‘q =’)；

Vz=wg_f([z1m q])；

fprintf(‘ Vz = %3.4f mm^3 〗n’，Vz)

d1=q*m；z2=i*z1；d2=z2*m；

a=0.5*(d1+d2)；

da1=d1+2*m；da2=d2+2*m；

df1=d1-2.4*m；

b1n=2*round((8+0.06*z2)*m/2)；

gama=atan(z1/q)；

Sn=0.5*pi*m*cos(gama)；

psi_e=1.5；psi_b=0.75；

b2m=round(psi_b*da1)；

de2m=da2+psi_e*m；

運(yùn)行程序，輸入z1=3，m=5，q=8后得到優(yōu)化后的齒圈體積 Vz= 692787.4481mm3。

蝸桿蝸輪的幾何尺寸如圖5所示。

圖5 蝸桿蝸輪幾何尺寸

四、結(jié)語

X0=[z1，m，q]T=[2，5，18]T，初始蝸輪齒圈體積V0=wg_f(x0)；運(yùn)行程序，得到蝸輪初始齒圈體積V0= 920226.4844mm3。而最優(yōu)結(jié)果X=[z1，m，q]T=[3.000，5.000，7.7277]T，fmin(X)= 673921.3360mm3，極小點(diǎn)滿足約束條件。取值z1=3，m=5，q=8后得到優(yōu)化后的齒圈體積 Vz= 692787.4481mm3。根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊，優(yōu)化結(jié)果結(jié)合國家標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)范取值為z1=3，m=5，q=10，作為優(yōu)化后實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)取值，此時(shí)得到實(shí)際優(yōu)化齒圈體積Vz= 831344.9377mm3，和初始值蝸輪齒圈體積V0相比，優(yōu)化設(shè)計(jì)湊整后的解是原設(shè)計(jì)結(jié)果的 0.9034倍，齒圈體積明顯縮小。其縮小的主要原因是增加了蝸桿頭數(shù)Z1，降低了蝸桿直徑系數(shù)q，降低了蝸桿齒頂圓直徑da1，而蝸輪齒寬b隨著da1的降低而降低，從而得到減小齒圈體積Vz的目的。由上述設(shè)計(jì)結(jié)果可知，用MATLAB設(shè)計(jì)蝸桿蝸輪減速器，主要幾何尺寸設(shè)計(jì)能夠通過編寫m文件運(yùn)行程序完成；設(shè)計(jì)中用非線性規(guī)劃優(yōu)化齒圈體積降低重量，在滿足使用要求的前提下，不僅降低了制造成本，同時(shí)使減速器結(jié)構(gòu)也更加緊湊。