同構(gòu)法在導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用

江蘇省金湖縣第二中學(xué) (211600) 尤文君

考察近幾年高考數(shù)學(xué)把關(guān)題，多以導(dǎo)數(shù)為工具來求解函數(shù)中的相關(guān)問題的，此類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而通過構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的最基本方法，如果能夠根據(jù)問題特征，挖掘隱含信息，對所給的表達(dá)式進(jìn)行有目的的代數(shù)變形，然后以此同構(gòu)式構(gòu)造出新函數(shù)，再利用此函數(shù)的性質(zhì)求解問題，往往能使復(fù)雜題目的解決變成一路坦途．本文以近幾年的高考題和?？碱}為例，對在處理導(dǎo)數(shù)問題時使用同構(gòu)函數(shù)法的幾個思考途徑進(jìn)行歸類和總結(jié)，供讀者朋友參考．

一、挖掘隱含關(guān)系

例1 已知不等式ex-x-1>m[x-ln(x+1)]對一切正數(shù)x都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

點評：通過所給不等式的分析、變形，挖掘了題設(shè)中f(x)>f[ln(x+1)]的隱含關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-mx后，條件式就是說明此原題函數(shù)是一個單調(diào)遞增函數(shù)，這是成功解題的關(guān)鍵．

二、理順特殊元素

點評：本題在挖出同構(gòu)關(guān)系中頗費了一番功夫，而對照幾個常見的同構(gòu)式，理順ex與lnx的關(guān)系是重要的思維走向．

三、注重結(jié)論分析

例3 已知f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，當(dāng)a≤-2時，求證?x1,x2∈(0,+∞)，使得|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立．

點評：通過對所需證明的結(jié)論進(jìn)行分析、變形，找到了要證明題中的結(jié)論，即需證明f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2，成功地轉(zhuǎn)化了解題方向，分析轉(zhuǎn)化是重要的解題思想．

四、構(gòu)造相關(guān)函數(shù)

例4 已知f(x)=xex+1，g(x)=lnx+x+1，(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)h(x)=f(x)-kg(x)(k>0)，若h(x)≥0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

解析：(1)由f(x)=xex+1，則f′(x)=(x+1)ex+1，當(dāng)x∈(-∞,-1)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(-1,+∞)時，f′(x)>0，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1)，增區(qū)間為(-1,+∞)．

(2)由h(x)≥0恒成立，即xex+1≥k(lnx+x+1)恒成立，也就是elnx+x+1≥k(lnx+x+1)恒成立．構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-ex，則h′(x)=ex-e，當(dāng)x≥1時，h′(x)≥0，所以h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增，于是h(x)≥h(1)=0，所以ex≥ex，當(dāng)x=1時取等號，所以elnx+x+1≥e(lnx+x+1)，結(jié)合所給條件，可得e(lnx+x+1)≥k(lnx+x+1)，當(dāng)x∈[1,+∞)時，lnx+x+1>0，所以k≤e，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，實數(shù)k的取值范圍是(0,e]．

點評：此題為了順利求出參數(shù)范圍，構(gòu)造了一個與條件相關(guān)的函數(shù)，通過探求新函數(shù)的性質(zhì)幫助解決問題，此手法在許多不等關(guān)系中經(jīng)常被采用，所起到的效果也是非常好的．

五、及時換元處理

點評：由于待證的不等式比較復(fù)雜，在分析、化簡、變形的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過換元處理，成功找到同構(gòu)關(guān)系，這樣問題的解決就是希望在眼前了．

六、利用參數(shù)放縮

點評：本題中利用給出的條件，及時的將函數(shù)式中的參數(shù)進(jìn)行放縮處理，構(gòu)造了一個新的待證不等關(guān)系，優(yōu)化了問題的結(jié)構(gòu)，為發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式、建立新函數(shù)解題奠定了堅實基礎(chǔ)．

一般來說，同構(gòu)式需要構(gòu)造一個母函數(shù)，而這個母函數(shù)又需要滿足指數(shù)與對數(shù)跨階，單調(diào)性和最值易求等特征，因此常見的同構(gòu)形式大多以自然對數(shù)的底數(shù)e的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)及其同族函數(shù)作為母函數(shù)，如y=x+lnx，y=xex等．經(jīng)過同構(gòu)變形，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以快速解決求參數(shù)的取值范圍、確定函數(shù)值域、證明不等式等問題．