一道省質(zhì)檢題的溯源與變式

福建省上杭縣第一中學(xué) (364200) 伍養(yǎng)群福建省上杭縣明強(qiáng)中學(xué) (364200) 張 磊

本文為福建省上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校2021年度課題“變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運(yùn)用策略研究”(GZ20211001)的階段性成果.

數(shù)學(xué)試題的精彩是由其內(nèi)在聯(lián)系引起，在教學(xué)中善于對(duì)試題的本質(zhì)規(guī)律進(jìn)行分析和追溯，并作深入的思考與變式.真正實(shí)現(xiàn)會(huì)一道題，達(dá)到懂一類題是每位數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中必須探究和提升的課題.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；(2)A,B是C上不同的兩點(diǎn)，且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上．求證：以AB為直徑的圓過定點(diǎn)．

分析2：由于上述命題的推理可逆，所以交換上題中的條件與結(jié)論可以得到其命題的正確性.

分析7：根據(jù)點(diǎn)A與B的特殊位置生成的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合橢圓中的變量a,b,c滿足的條件推斷出一般性的命題.

分析8：保留垂直的位置關(guān)系，但改變點(diǎn)O的位置，讓點(diǎn)O在直線(x軸)上運(yùn)動(dòng)，探求直線AB是過定點(diǎn)還是與定圓相切？

分析9：若改變點(diǎn)M的位置，讓點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，探求直線l是否還過定點(diǎn)？

思考2：利用弦l經(jīng)過定點(diǎn)這結(jié)論和已知定點(diǎn)M可進(jìn)行再創(chuàng)造：以兩定點(diǎn)組成線段(定值)為直徑作圓交直線l于點(diǎn)D，為了隱藏弦l經(jīng)過定點(diǎn)，則設(shè)置過點(diǎn)M作MD⊥l，再提出問題：是否存在定點(diǎn)T，使得|DT|為定值即為2020年山東省高考數(shù)學(xué)試卷(新高考全國(guó)Ⅰ卷)第22題，若改變MA,MB的斜率滿足的條件，也可作相應(yīng)的結(jié)論.

分析10：若改變MA,MB的斜率滿足的條件，并用拋物線代替橢圓作探究.

變式6 (自編)已知?jiǎng)訄AC與定圓F：x2+y2-2x=0相外切，且與直線l:x=-1相切．

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程Γ；(2)若M(1,2)，點(diǎn)A，B在曲線Γ上，且KMA+KMB=-1，MN⊥AB，N為垂足．證明：存在定點(diǎn)T，使得|TN|為定值．

分析11：保留點(diǎn)O的位置，但改變垂直的位置關(guān)系，探求直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)和原點(diǎn)組成的三角形的面積是否為定值？

總之，對(duì)數(shù)學(xué)試題的教學(xué)與研究，決不能只浮在表面，務(wù)必要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，并深入思考和拓展其內(nèi)在的規(guī)律，才能讓試題的光彩達(dá)到淋漓盡致的高度，努力構(gòu)建高效的課堂教學(xué).