一個(gè)代數(shù)不等式的證明及變式

湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉 徐令芝

筆者在給學(xué)生講解“蒙日?qǐng)A”時(shí)得到了如下一個(gè)有趣的不等式：已知x12+y12=x22+y22= 1，且mx2+ny2≥m+n(m,n>0)，求證m(x-x1)(x-x2)+n(y-y1)(y-y2)≥0.

這個(gè)不等式對(duì)稱優(yōu)美，但變量較多，證明比較棘手，本文將給出這個(gè)不等式的兩個(gè)證明及兩個(gè)變式.

圖1

最后給出兩個(gè)變式：

變式2 已知變量x,y,α,β滿足m(x-cosα)·(x-cosβ)+n(y-sinα)(y-sinβ)≤0(m,n為正常數(shù))，求mx2+ny2的最大值.

注：mx2+ny2的最大值為m+n.