例談高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的深度教學(xué)

浙江省安吉縣孝豐高級(jí)中學(xué) (313301) 汪本旺

1.深度教學(xué)的涵義

哈爾莫斯說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)”．適度的解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)，因此，教師應(yīng)該選擇啟發(fā)性的好題，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的教學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)過(guò)程．同時(shí)在追求發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)背景下，明確問(wèn)題，實(shí)施深度教學(xué)，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)．

深度教學(xué)不是指無(wú)限增加知識(shí)難度和知識(shí)量，是克服對(duì)知識(shí)的表層學(xué)習(xí)、表面學(xué)習(xí)和表演學(xué)習(xí)，以及對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單占有和機(jī)械訓(xùn)練的局限性，基于知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)知識(shí)完整深刻的處理，引導(dǎo)學(xué)生從符號(hào)學(xué)習(xí)走向?qū)W科思想和意義系統(tǒng)的理解和掌握，并導(dǎo)向?qū)W科素養(yǎng)的教學(xué)．它要求學(xué)習(xí)者深度理解知識(shí)內(nèi)涵，主動(dòng)建構(gòu)個(gè)性化的知識(shí)系統(tǒng)和意義系統(tǒng)，并有效遷移運(yùn)用于解決真實(shí)情鏡中的問(wèn)題，追求在獲得知識(shí)意義、建立學(xué)科思想、發(fā)展學(xué)科能力、豐富學(xué)科經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上養(yǎng)成學(xué)科核心素養(yǎng)[1]．

如何在習(xí)題課課堂中落實(shí)深度教學(xué)呢？本文以“阿波羅尼斯圓”這節(jié)習(xí)題課為例，談?wù)勅绾卧诹?xí)題課課堂中去落實(shí)的深度教學(xué)．

2.深度教學(xué)的習(xí)題課案例分析

2.1引例點(diǎn)撥

師：很好！解答過(guò)程有問(wèn)題嗎？

師：生2，你能解決此問(wèn)題嗎？

師：非常漂亮！同學(xué)們還有其他的方法嗎？

師：掌聲鼓勵(lì)下！本題方法較多，生3的方法尤為簡(jiǎn)潔，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題，進(jìn)而快速解決.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引例讓學(xué)生初步感受點(diǎn)P滿足PA=k·PB的軌跡方程，從而引出阿氏圓概念.

2.2 追本溯源

波利亞先生說(shuō)過(guò)：“有些題目的解答就像魔術(shù)師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來(lái)的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問(wèn)題的本質(zhì)，我們就能站在更高位置來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題就迎刃而解.”

事實(shí)上，這類問(wèn)題來(lái)源是人教版必修二P124,B3和人教版必修二P144,B2：

2.(人教版必修二P144,B2)已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

教師給出阿波羅尼斯圓定義：

師：我們?nèi)绾吻蟪鳇c(diǎn)P的軌跡方程？我們求軌跡方程的一般步驟是什么呢 ？

生4：建系、設(shè)點(diǎn)、分析動(dòng)點(diǎn)滿足的條件、帶入化簡(jiǎn)、最后驗(yàn)證．

師：生4，你是如何建系求出點(diǎn)P的軌跡方程？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：教材是復(fù)習(xí)備考的依據(jù)，脫離了教材，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就像無(wú)源之水，而復(fù)習(xí)參考資料則是教材的補(bǔ)充，復(fù)習(xí)資料是為了幫助學(xué)生把握教材的重難點(diǎn)，把所學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建框架，提高分析和解決問(wèn)題的能力．以教材為依據(jù)，能夠讓學(xué)生明確本節(jié)課知識(shí)重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師依據(jù)教材，結(jié)合考綱要求和復(fù)習(xí)資料，能夠精心的編寫(xiě)講義，同時(shí)能夠起到整合歸類，查漏補(bǔ)缺的作用．

2.3 思維萌芽

題型一已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B和比值λ，求方程.

已知A(-1,0),B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PB=2PA,求點(diǎn)P的軌跡方程．

學(xué)生獨(dú)立思考完成，最后一起給出答案：(x+2)2+y2=4．

題型二已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B和方程，求比值λ.

已知A(-1,0),B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P在圓(x+2)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在λ使得PB=λPA(λ≠1)．

生5：λ=2.

師：很好！你如何處理的.

生5：由上一題直接知道答案.

師：非常聰明，如何不借助于上一題，同學(xué)們覺(jué)得又如何處理.

題型三已知一個(gè)定點(diǎn)A、方程和比值λ，求另一個(gè)定點(diǎn).

已知A(-1,0)，圓(x+2)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在點(diǎn)B使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)P總有PB=2PA．

生7：不妨取P(0,0),由PB=2PA得B(2,0).

師：這種做法可行嗎？它能滿足對(duì)圓上任意的點(diǎn)P都成立嗎？

生8：可行的，由題型二我們知道它能滿足對(duì)圓上任意的點(diǎn)P都成立.

設(shè)計(jì)意圖：研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從大量的數(shù)據(jù)分析中得出明確的定義，這樣得出的概念理解具有可信度，學(xué)生不僅容易理解而且不容易忘記，也能較容易地將概念應(yīng)用到不同的情境中.

2.4 能力提升

師：你是怎么知道點(diǎn)E的具體位置呢？

生9：其實(shí)很簡(jiǎn)單，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC與圓的交點(diǎn)處，記為點(diǎn)F，則FC=2,所以EF=1,BE=1.

師：很好！其本質(zhì)考查了阿氏圓的四個(gè)核心要素相互轉(zhuǎn)化，即已知一個(gè)定點(diǎn)、方程和比值λ，求另一個(gè)定點(diǎn).

圖2 圖3

學(xué)生獨(dú)立思考，然后提出了兩種處理方法：

到底選擇哪種處理方法呢？還是兩種都可以？

設(shè)計(jì)意圖：本例考查阿氏圓四個(gè)核心要素的相互轉(zhuǎn)化，意在讓學(xué)生體會(huì)當(dāng)一成不變的模仿無(wú)法解決新問(wèn)題時(shí)，該如何思考、如何變通、如何作出適合新問(wèn)題的調(diào)整，發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.5 揭露本質(zhì)

師：回到圖1，同學(xué)們可以分別計(jì)算OB、OP、OA的長(zhǎng)度，你們發(fā)現(xiàn)什么？

師：也就是說(shuō)，阿氏圓中隱藏著一個(gè)很重大的秘密：△OPB∽△OAP.因此，我們可以利用相似三角形線段之比去處理系數(shù)不相等問(wèn)題.

圖4 圖5

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對(duì)阿氏圓的理解不在停留在知識(shí)表面，而是有更加深刻的理解，即阿氏圓隱藏著相似三角形.我們可以利用相似三角形線段之比去處理系數(shù)不相等問(wèn)題.

2.6 陌上花開(kāi)

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能否解決這道向量題呢？它蘊(yùn)含的本質(zhì)是什么呢？

同學(xué)們思考片刻后，大部分同學(xué)得到如下解答：

師：那么接下來(lái)如何轉(zhuǎn)化呢？

師：為什么不采取CE=2CB？

圖6 圖7 圖8

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決開(kāi)篇提出的問(wèn)題，首尾呼應(yīng).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)，提升數(shù)形幾何，探索論證能力，升華知識(shí)技能進(jìn)一步舉一反三.

2.7 小結(jié)歸納

師：你能總結(jié)下我們本節(jié)課主要解決哪類問(wèn)題？

生12：我們可以解決形如：PC+k·PD最值問(wèn)題.

師：很好！那么它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？我們解題策略是什么？

生13：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，常常采用構(gòu)造相似.

師：利用阿氏圓解決PC+k·PD最小值的一般步驟有哪些？

3.高中數(shù)學(xué)習(xí)題課深度教學(xué)的反思

3.1 有利于發(fā)展學(xué)生的高階思維

在習(xí)題課的深度教學(xué)中，學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，能把原來(lái)的知識(shí)和技能進(jìn)行組合，以形成解決當(dāng)前問(wèn)題的一種整體的技能，或者對(duì)原來(lái)的技能進(jìn)行修正，以解決目前的問(wèn)題．學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察，不斷檢驗(yàn)上述技能是否能解決，不斷地修正假設(shè)．如果已有的知識(shí)和技能并不能解決問(wèn)題，就會(huì)對(duì)新的方法提出假設(shè)并進(jìn)行嘗試．如果成功，學(xué)生會(huì)考慮是否有類似的例子可以拓展，并發(fā)展新的理論．從認(rèn)知學(xué)理論看，學(xué)生這種活動(dòng)就是一種由各種認(rèn)知技能與行為組成的復(fù)雜的心理過(guò)程，包括關(guān)聯(lián)、抽象、理解、推理、分析、綜合等.這就涉及到學(xué)生的高階思維能力．

3.2 有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

在習(xí)題課的深度教學(xué)中，透過(guò)問(wèn)題情境的改變，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、推理、交流、分析和判斷等關(guān)鍵能力．學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)乃至創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程中，能建立起積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，正確的價(jià)值觀，實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，最終培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)．