一道極值點偏移問題的解法賞析與拓展*

廣東省中山市小欖中學 (528415) 張 繼

一、題目與分析

(e是自然對數(shù)的底數(shù))

分析：這是一道導數(shù)經(jīng)典試題，題干簡潔，重點考察函數(shù)極值點偏移問題，體現(xiàn)了豐富的數(shù)學思想方法.以函數(shù)為載體，考察函數(shù)的單調(diào)性與最值、零點偏移問題，滲透了數(shù)學分類討論、轉(zhuǎn)化化歸及數(shù)形結(jié)合等思想.解題視角寬，思維深入拓展，邏輯思維非常強.

二、解法賞析

1.齊次構(gòu)造解偏移問題

評注：本題是涉及雙變量的同時，還融入了參數(shù)，似乎比較復雜，但是通過構(gòu)造奇次方程，利用分析法證明，比較簡潔，學生在實際解題過程中易于理解和掌握.

2.變換函數(shù)解偏移問題

評注：此法關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，這種解法思路清晰，解法比較常規(guī).

3.巧引變量解偏移問題

解法3：設(shè)t1=lnx1∈(0,1)，t2=lnx2∈

評注：法3和法4都是引入變量解決問題，含參型的極值點偏移問題，在已有變量x1,x2的基礎(chǔ)上又有參數(shù)，要減少參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的類型解決，構(gòu)造出新的變量解決問題.

三、拓展應用

評注：本題研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查運算能力及函數(shù)思想分析問題解決問題的能力，與極值相關(guān)的不等式問題，消參是關(guān)鍵，如何消參是難點，消參后通過構(gòu)造函數(shù)是成功解題的保證.

變式2 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2，證明：x1+x2<2.

評注：本題是解決極值點偏移問題的基本解法，首先根據(jù)f(x1)=f(x2)=0建立等式，若等式含有參數(shù)，則消去參數(shù)，若等式含有指數(shù)式，則通過換元或取對數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化，然后通過恒等變形化為對數(shù)平均不等式，讓問題得到有效解決.

四、教學反思