例析方程法在求解三角形問(wèn)題中的運(yùn)用

首都師范大學(xué)附屬中學(xué)(通州校區(qū)) (101101) 付曉明

從近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題可以看到，關(guān)于三角函數(shù)及其解三角形問(wèn)題的難度在逐步增加，將作為解題工具的三角函數(shù)性質(zhì)和正、余弦定理放在了特殊的位置，能否順利地解決此問(wèn)題就成了完成整個(gè)試卷答題的關(guān)鍵，為此，必須有充分的準(zhǔn)備和完備的方案.其中一個(gè)重要方法，就是利用已給等式、正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式構(gòu)造方程、然后再設(shè)法解方程，從而解決三角形中的角、邊長(zhǎng)、面積等求值問(wèn)題，如果此法能夠得到熟練運(yùn)用，就可能增添迅速破題的把握.本文從高考題及高考模擬題中選擇幾個(gè)典型問(wèn)題，探討運(yùn)用方程在解三角形問(wèn)題中的解題思路，旨在揭示解題規(guī)律，探究解題方法.

一、建立方程求有關(guān)的值

在解三角形中，求三角形某個(gè)角的三角函數(shù)值或某個(gè)邊的長(zhǎng)是常見(jiàn)的，建好相關(guān)問(wèn)題的方程是解題關(guān)鍵，其中正、余弦定理的正確運(yùn)用非常重要.

例1 在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD=45°，求tan∠CAD的值.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)求tan∠BAC的兩種途徑建立了等式，這樣就可運(yùn)用解方程的方法將待求變量tan∠CAD求出來(lái)了，這里找準(zhǔn)相關(guān)的等式是非常重要的.

圖1

點(diǎn)評(píng)：挖掘了cos∠BDA=-cos∠CDA的結(jié)論，分別運(yùn)用余弦定理建立了關(guān)于AD的方程解決問(wèn)題，這其中對(duì)其它元素的消元也是很重要的.

二、多次運(yùn)用方程解決問(wèn)題

在許多問(wèn)題中，需要多次運(yùn)用方程解決相關(guān)問(wèn)題，這把握好需要解決問(wèn)題的順序，盡量避免和簡(jiǎn)化復(fù)雜、繁瑣的運(yùn)算.

圖2

解析：(1)在△APC中，因?yàn)椤螾AC=60°,PC=2,AP+AC=4，由余弦定理得22=AP2+(4-AP)2-AP·(4-AP)，解得AP=2.于是AC=4-AP=2，所以△APC為等邊三角形，于是∠ACP=60°.

點(diǎn)評(píng)：利用給出的三角形邊與角以及面積的條件建立等式，通過(guò)解方程的方法分別解決有關(guān)的邊長(zhǎng)問(wèn)題，為后續(xù)的成功解題發(fā)揮了重要的作用.

點(diǎn)評(píng)：本題中的求角C和邊長(zhǎng)b都是通過(guò)解方程來(lái)解決的，但如何抓住條件建立方程是解題關(guān)鍵，其中將一些特殊條件如何進(jìn)行優(yōu)先處理是我們應(yīng)該思考的解題方向.

三、利用方程式進(jìn)行變換

方程的運(yùn)用不光體現(xiàn)在求相關(guān)的邊和角上，還可以通過(guò)對(duì)有關(guān)等式的相互替換、整體變形，挖出重要結(jié)論后再使用.

點(diǎn)評(píng)：利用余弦定理和兩種計(jì)算三角形面積的方法，建立了兩個(gè)等式，通過(guò)解方程組的方法整體求出了bc的值，這是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)重要方法.

例6 記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC，(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

解析：(1)在△ABC中，由于BDsin∠ABC=asinC，根據(jù)正弦定理可得b·BD=ac，又b2=ac，所以b·BD=b2，得BD=b.

點(diǎn)評(píng)：本題是2021年數(shù)學(xué)高考(1)的第19題，它的成功解決是需要多次運(yùn)用余項(xiàng)定理建立含變量的兩個(gè)等式，然后再綜合運(yùn)用代數(shù)手段化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化這兩個(gè)等式，找到了三邊之間的關(guān)系，這樣就起到了減元的作用，為再一次利用余弦定理求出cos∠ABC消除了障礙.

方程思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用解方程是我們解決參數(shù)求值、消元化簡(jiǎn)的重要的工具.本文舉例講述的是在解三角形中的部分應(yīng)用，只是提醒、強(qiáng)調(diào)和揭示解題規(guī)律的作用.在教學(xué)中，幫助學(xué)生探究解題方法、尋找解題規(guī)律、完善解題過(guò)程也是教者的重要任務(wù).