對一道向量模擬題的深度探究

福建省莆田第五中學 (351199) 吳來杰

一、試題呈現(xiàn)

該題是平面向量與基本不等式應用相結(jié)合的一道填空壓軸題，將直線過重心G轉(zhuǎn)化為向量表示，再結(jié)合已知的向量關(guān)系，推導出關(guān)于m,n的式子，最后利用基本不等式求解答案.

二、解題探究

1.解法賞析

圖1

圖2

點評：解法2通過建立直角坐標系，將問題用向量坐標表示，通過向量的坐標運算，使問題程序化，其目標明確，思路清晰，思維難度小，但坐標法的運算量較大，對數(shù)學運算素養(yǎng)要求較高.

圖3

點評：解法3利用了平行線分線段成比例定理，得到線段的比例關(guān)系后，將已知條件的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系求解.幾何法別出心裁，過程簡捷、條理清晰，對邏輯推理素養(yǎng)要求較高.

2.方法比較

向量所具有的“數(shù)”與“形”的雙重特征，為數(shù)形結(jié)合提供了良好的載體.求解向量有關(guān)問題通常有兩種思路：一是“形化”，即從向量基底法的角度思考，基底法是解決向量問題的通性通法；二是“數(shù)化”，即從坐標法的角度思考，坐標法是解決向量問題的常用方法.上述給出的四種方法，孰優(yōu)孰劣？比較得到如下結(jié)論：

方法知識方法優(yōu)勢不足基底法(解法1)三角形重心性質(zhì),三點共線定理通性通法線性運算要求高坐標法(解法2)標化思想、圖形一般化建系設點、直線方程思維量小、易于入手運算量大幾何法(解法3)平行線分線段成比例定理直觀性強,減少運算讀圖要求高

上述思路方法體現(xiàn)的均是中學數(shù)學解題的思想和方法.雖然在高考復習備考的臨考階段時間緊、任務重，但對典型試題的解答要主動歸納總結(jié)各種不同方法，并熟練掌握處理問題的通性通法，在掌握基本方法的同時，要學會分析、比較、優(yōu)化解題方法，唯有如此，當我們遇到不同問題時，才會選擇恰當?shù)姆椒?，使解題少走彎路.

3.延伸結(jié)論

上面解題過程中，其實蘊含著直線過三角形重心的一個充要條件的結(jié)論，即：

三、變式探究

探究1 若上述問題中直線EF不過重心G，會有怎樣的關(guān)系呢？探究如下.

圖4

進一步，由變式1可得：

根據(jù)命題1′，也可得：

命題1′及推論將三角形中的某些線段的長度之比統(tǒng)一到一個公式中，其結(jié)構(gòu)、形式與解析幾何中的定比分點坐標公式一致，簡捷、整齊、易記，故稱為幾何“分點坐標公式”，利用該定理可以解決“幾何中，三角形被直線所截，所得的線段比”的一類問題(見下面練習1-2).

探究2若將變式1研究的方向改為求向量的數(shù)量積，又會是怎樣的情形呢？探究如下.

特別地，我們可以得到一般性結(jié)論：

特別地，若D為△ABC的BC邊的中點，即λ=1，則有：

相比較而言，命題2的推論更具有廣泛的應用.

四、應用舉例

圖5

圖6

圖7

A.-6 B.-3 C.3 D.6

五、結(jié)語

對典型試題進行多視角思考、探析，實際上是對這些題目的“二次開發(fā)”，即通過一道題，明晰一類題.對典型試題，尤其是涉及核心知識內(nèi)容的典型試題的剖析和思考更是必不可少的，通過對典型試題的靈活變式和多角度思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系，讓學生站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學本質(zhì)，使學生的思維得到升華，使知識達到融會貫通.唯有如此，無論考題的構(gòu)思多么新穎，學生也能達到以不變應萬變.