一個函數(shù)不等式的探究

湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉

該題題干簡煉，內(nèi)涵豐富，但證明思路不易尋找，本文將給出該題的四個巧證、二個推廣以及兩個變式.

一、巧證

二、推廣

推廣1 設(shè)x,a>0，則ex-lnx≥(1+a)+(1-a)lna.

注：由原題證法四可得推廣1.

注：設(shè)f(x)=aex-cx,x>0，g(x)=cx-blnx,x>0，同原題證法三可得推廣2.

三、變式

變式1 設(shè)x,a>0，則ex-lnx≥(1+a)+(1-a)ea.

注：(1)在推廣1中，將a換成ea可得變式1.

變式2 設(shè)x,a,b>0，則xaex-(a+b)lnx-1≥b-blnb.

注：當(dāng)a∈R時，變式2同樣成立.