充分挖掘教材習題的教學價值
——以人教版選擇性必修一的一道習題為例

廣東省佛山市順德區(qū)杏壇中學 (528325) 陳美茹

1.題目展示

(選擇性必修第一冊習題2.5的拓廣探究第15題)已知點P(-2,-3)和以Q為圓心的圓(x-4)2+(y-2)2=9.

(1)畫出以PQ為直徑，Q′為圓心的圓，再求出圓Q′的方程；

(2)設圓Q與圓Q′相交于A，B兩點，直線PA，PB是圓Q的切線嗎?為什么?

(3)求直線AB的方程.

2.題目的背景及考查目標

(1)題目的基本背景

①圓的概念與標準方程；

②圓周角定理的推論：圓的直徑所對的圓周角等于90°及切線的判定定理；

③幾何公理：平面內過兩點有且只有一條直線.

(2)題目的主要考查目標

①知識點：圓的標準方程、直線與圓的位置關系；

②思想方法：數(shù)形結合、轉化與化歸、坐標法等；

③能力：運算、推理論證、分析問題和解決問題能力.

3.題目的解題思路

第(1)問的分析：求圓Q′的方程，就得考慮求它的圓心與直徑.結合已知條件條件，可利用P、Q兩點的坐標求圓心Q′和直徑，而Q的坐標由圓Q的方程可得.

圖1

解題關鍵點：把求圓Q′的方程問題轉化為求圓心Q′和直徑，可利用相關幾何特征輕易突破.

第(2)問的分析：如何判斷是否切線，一般思路有：一是圓心到直線距離是否相等(從數(shù)的角度)；二是直線是否符合平面幾何的切線判定定理(從形的角度).而根據(jù)條件A、B是圓Q、Q′的公共點且PQ是圓Q′的直徑，可以得到PA⊥AQ、PB⊥BQ，于是符合切線判定定理，問題解決.

(2)PA，PB是以Q為圓心的圓的切線.因為點A、B在圓Q:x2+y2-2x+y-14=0上，且PQ是圓Q′的直徑，所以PA⊥AQ、PB⊥BQ.所以PA，PB是以Q為圓心的圓的切線.

解題關鍵點：挖掘條件中隱含著PA⊥AQ、PB⊥BQ，并通過數(shù)形結合，轉化為A、B與圓Q、Q′的關系.

第(3)問的分析：求直線AB的方程，就得考慮與A、B有關數(shù)量條件：由已知A、B是圓Q、Q′的公共點，因此可轉化為數(shù)量關系(即坐標關系)：兩點坐標是兩圓方程的公共解，也就是兩圓方程相減所得一次方程的解；聯(lián)系到兩點確定一條直線這一幾何公理，得出結論.

(3)A、B是圓Q、Q′的公共點，則其坐標是(x-4)2+(y-2)2=9與x2+y2-2x+y-14=0的公共解，兩方程相減并化簡得6x+5y-25=0，即A、B在直線6x+5y-25=0上.又兩點確定一條直線，則直線AB：6x+5y-25=0.

解題關鍵點：把A、B的幾何特征轉化為數(shù)量關系；可通過把握幾何圖形上的點與對應方程的解之間關系突破.

4.題目求解的思想方法

(1)找出條件和結論之間的聯(lián)系，實現(xiàn)條件與結論的轉化；

(2)利用數(shù)形結合，實現(xiàn)題目中的數(shù)量關系(即坐標關系)與幾何特征的互化；

(3)利用轉化與化歸，把A、B的幾何特征轉化為兩圓方程的公共解問題，從而解決問題.

5.題目的推廣

為挖掘這一教材習題的教學價值，可對其做如下變式，從而引導學生從“變”發(fā)現(xiàn)“不變”的解析幾何本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律.

意圖：通過變換問題表征，引導學生體驗不同數(shù)學語言表征背后的相同數(shù)學本質.

(2)改變探求方向，延伸特征研究.如第(1)問改為“求出與圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9關于P(-2,-3)對稱的圓的方程”，或者改為“若Q′為圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9上動點，求線段PQ′中點M的軌跡方程”；又如第(3)問改為“求弦長|AB|及△PAB的面積”等.

意圖： 通過延伸特征研究，引導學生進一步體驗利用數(shù)形結合思想與坐標法研究幾何問題.

(3)轉換問題背景，實現(xiàn)方法遷移.如把題目改為：“已知點P(-1,-1)和以Q為圓心的圓(x-1)2+(y-1)2=9，過P作出圓Q的切線，兩個切點為A，B，求直線AB的方程.”

意圖：引導學生再次經歷直線與圓的關系問題可轉化為兩圓相交問題這一過程，強化轉化、數(shù)形結合的思想.

(4)變靜為動，加深數(shù)學理解.如把題目改為：“已知點P(-2,-3)和以Q為圓心的圓(x-4)2+(y-2)2=9，過P點的直線l與圓Q有交點，求直線l的斜率k的取值范圍.”或者根據(jù)原題中直線PQ：5x-6y-8=0，把題目改為：“已知點P(a,b)在直線5x-6y-8=0上，圓Q：(x-4)2+(y-2)2=9，試根據(jù)a的范圍討論以PQ為直徑的圓與圓Q的位置關系”等.

意圖：通過變靜為動，提高學生對解析幾何的理解，滲透運動思想.

總之，習題教學是數(shù)學課的主要環(huán)節(jié)，它的有效性決定著教學目標落實的程度.認真剖析教材習題，從多角度挖掘其教學價值，這樣不僅能加深學生對數(shù)學概念、定理等基礎知識的理解和掌握，還能讓學生在解題的準確性、靈活性和敏捷性上得到有效的提高.