一節(jié)解題教學(xué)課例的任務(wù)分析

浙江省湖州新世紀外國語學(xué)校蓮花莊校區(qū) (313000) 胡承麗

眾所周知,解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),解題教學(xué)質(zhì)量的高低直接決定復(fù)習(xí)教學(xué)的效果.如何提高解題教學(xué)的質(zhì)量呢?一般而言有以下幾個基本要求:問題設(shè)計最優(yōu)化;思路探求主體化;思維過程顯性化;解題方法多樣化;重要結(jié)論工具化;解后反思制度化等等.而對一些匠心獨具的數(shù)學(xué)高考題的課堂教學(xué)研究顯然不僅能夠吸引學(xué)生的注意力、提高他們的解題興趣；而且還能在某種程度上解讀出“不一樣”的信息，為后續(xù)教學(xué)和學(xué)習(xí)注入“新的想法”,以獲得方向性指導(dǎo).下面筆者結(jié)合最近觀摩過的一節(jié)有關(guān)學(xué)考復(fù)習(xí)的公開課,來作些剖析與探討.

1 一節(jié)高二課堂解題教學(xué)課例的剪輯

在高二年級實驗班的一節(jié)有關(guān)學(xué)考復(fù)習(xí)的解題教學(xué)課上,任教者提出了一個問題:即2021年浙江高考第17題.要求學(xué)生自主探索并獨立求解，若遇到障礙或解題完畢后均可以小組交流.為了有效展示和暴露他們解題策略的思維軌跡,要求他們把解題中的思維過程真實的記錄下來,并在幻燈片給予展示,同時要求解題者加以解說.

經(jīng)過大約十分鐘后,教師要求學(xué)生展示其“研究成果”.

后續(xù)想用“柯西不等式”來解決問題，仍在探索之中，沒有解完.

師:好的，通過生1的分析我們不難發(fā)現(xiàn):這樣整個問題中向量只是作為條件，完全僅考查基本概念，而多元最值問題才是根本，也是難點，綜合性和靈活性都很強.

生2:前面的過程我們小組得到與生1相同的結(jié)論，而所求表達式的結(jié)構(gòu)特點也使我們不約而同的想到用“柯西不等式”來解決問題，過程如下:

師:很好，通過生2小組的過程展示和我們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)在日常學(xué)習(xí)中，“不等式法”是解決“最值問題”的常用方法，而二元和三元的柯西不等式是不可或缺的方法.這道問題我們不難配湊出三元柯西不等式的形式，于是解題便水到渠成了.通過剛才的課堂巡視，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)采用了這種方法，那么還有其它解法嗎？

師:很棒！對于“多元最值問題”，最常用的思路之一，就是利用“消元策略”破除難點，簡化問題.以上解法就是通過代入消元，再確定“主元”之后利用二次函數(shù)性質(zhì)較順利地解決了問題.還有其它意見嗎？

生4:因為向量既具有“代數(shù)”的特征，又具有“幾何”的特性.所以向量題往往可以通過結(jié)合幾何直觀來進行分析.據(jù)此我們小組得到如下解法.

圖1

師:好的！以上的這種方法，充分地利用了向量投影的幾何意義，并通過投影點所處位置的精確分類，慎密地達成解題目的.也顯示出小組合作的強大功效！還有后續(xù)的思路嗎？

生5:我的思路和上面生4的解法大體相同，但我個人覺得他們的解法有點“小題大作”了!如果通過合理地推導(dǎo)，可能可以很大地提高解決問題的速度與效率.我的解法具體如下:

圖2

師:嗯，好的！我覺得有種“同曲異工”之妙.以上解法除了像生4一樣也利用了“向量投影”的幾何意義之外，還通過“控制變量”的思想方法進行“構(gòu)圓”.解題過程中充分利用了客觀題本身的特點，步驟雖不嚴密，但采取的“合情推理”的方式分析思路使問題解決的時間得以縮短.很具有針對性，要不要點贊一下?

下面同學(xué)紛紛點贊，課堂氣氛非常熱烈.于是乎教師想趁熱打鐵，更上一層樓.接著詢問有沒有其它思路或解法?教室里反而瞬間冷卻下來，沒有同學(xué)要求發(fā)言，這時教師進行了適當?shù)靥崾?

師:同學(xué)們，上面兩位同學(xué)是充分利用了向量的幾何意義進行思路探討.如果我們從所示的結(jié)論出發(fā)進行研究，例如分析x2+y2+z2的結(jié)構(gòu)特點的幾何意義，大家思考一下，有沒有新的發(fā)現(xiàn)?

幾分鐘后，就有同學(xué)要求發(fā)言.

師:通過模式認別不難發(fā)現(xiàn):代數(shù)式蘊含的幾何意義——空間中的“距離”要素，即“點點距離”，從而轉(zhuǎn)化問題，突破難點.可是同學(xué)們前面為什么沒有想到呢?我覺得還是對空間坐標法的應(yīng)用不夠熟悉和重視有關(guān)，僅僅對空間向量在立體幾何中的運用較熟練而已.那么構(gòu)造平面距離是否不行，大家也可以小組再交流一下.

稍后，就有同學(xué)要求發(fā)言.

生7:我們小組發(fā)現(xiàn)了秘密!具體如下:

師:好,完美!通過對題目條件所涉及到的代數(shù)式進行巧妙轉(zhuǎn)化，挖掘出其中蘊含的幾何意義——平面上的“距離”要素，即“點點距離”與“點線距離”要素，從而攻克難點，取得成功.生4至生7這四種解法均顯現(xiàn)出“數(shù)形結(jié)合”思想方法的強大解題功效.

這時候還有同學(xué)要求發(fā)言.

圖3

生8:我覺得這道題目還可以結(jié)合三角函數(shù)去加以解決，具體如下：

師:以上的這種解法，巧妙地利用了“三角函數(shù)”在平面向量中的運用，最后通過二次函數(shù)的性質(zhì)解決了問題.雖然綜合性較強，較難以想到，但是卻能夠在一定程度上提高我們運用綜合知識的能力，值得嘗試.還有其它發(fā)言嗎?

教師看到?jīng)]有其它同學(xué)要求發(fā)言，于是讓大家對上面的方法進行比較,談一下自己的感想.

生9:我們小組認為生2與生3這兩種解法可能更加常見、容易想到;而生4與生5這兩種解法與平常向量問題的幾何解法也比較貼近，也不失普遍性，比較容易接受;生8的解法后面部分利用了三角的工具性，綜合性相對較強，有一定的難度;而生6與生7這兩種解法對于我而言似乎是神來之筆，頗有點鬼斧神工的味道，看樣子還是我“修行不夠”啊!

教師看到有大多數(shù)的同學(xué)點頭贊成生9的觀點,少數(shù)沒有表示的同學(xué)也沒有發(fā)言.

師:上面的方法豐富多彩,各具特色,并且有些方法看起來思路新奇、過程曲折,雖然難以想到,但是對于我們高二學(xué)考總復(fù)習(xí)而言,各個知識點的相互聯(lián)系,綜合交叉,從整體知識的運用和把握上來說對復(fù)習(xí)效果可能更是有益.也就是說,只有更加全面的、綜合的掌握和運用知識,我們才能在考試中想到更簡潔、更高效的解法.事實上，除以上解法之外，老師也想出了另外幾種解法，現(xiàn)在展示其中一種較簡單的“數(shù)量積法”，其它的我們可以在課外再討論.

教師看到同學(xué)們看后均點頭表示理解，便順勢提出下面的問題.

師:同學(xué)們,我們可以高屋建瓴看一下,上面的解法運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生10:生2與生3的解法主要分別利用了“不等式法”“二次函數(shù)法”,生6與生7所在小組還有老師的解法主要分別利用了“構(gòu)造法”,這些實際上都用了“轉(zhuǎn)化思想”;其它小組主要利用了“數(shù)形結(jié)合法”.

師:好的,上面同學(xué)講的方法非常細到.當然,各個解法中并非絕對只用了某一種數(shù)學(xué)思想方法,它們之間有時也是相互滲透的.另外,將問題進行改編是我們研究數(shù)學(xué)問題經(jīng)常運用的方法,下面請大家思考一下,能否把上面的問題改編?

改編數(shù)學(xué)問題同學(xué)們也并不陌生,同學(xué)們花了一些時間就陸續(xù)展示了若干成果.

變式4 變“求x2+y2+z2的最小值”為“求x2+4y2+9z2的最小值”，其他不變.

隨后除變式5讓同學(xué)們課后解決外，老師讓同學(xué)們對上面另外幾個改編題進行思考,并分組加以解決、展示說明,由于涉及到數(shù)學(xué)方法與上面展示的方法大體類似,在此不再贅述.

師:由于時間關(guān)系,前面可能有些同學(xué)還沒有改編好,那么沒有改編好的問題請大家課外再加以解決.下面請同學(xué)們總結(jié)一下這節(jié)課的收獲.

生8:在這節(jié)課里，我們通過一道例題,舉一反三,學(xué)習(xí)到多種解法以及對綜合知識的運用,提高了我們的視野和綜合運用知識的水平；也學(xué)習(xí)到了如何進一步改編問題和將問題一般化的方法.并且較深入的感受了“轉(zhuǎn)化與化歸”、“數(shù)形結(jié)合”以及“構(gòu)造法”等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用.

師:高考數(shù)學(xué)試題具有一些顯著的特點,比如解法多樣,思辨性強.從高考試題中我們可以看出,雖然其結(jié)果是唯一確定的,但是解題思路確實多種多樣,并且能夠發(fā)揮出我們考生們的學(xué)習(xí)特點.從中還可以看出:我們在平時學(xué)習(xí)中應(yīng)該大力加強知識貯備與綜合應(yīng)用能力；另外，我們這節(jié)課通過問題設(shè)計——思路探求——思維顯化——方法展現(xiàn)——變式構(gòu)造——解后反思的學(xué)習(xí)過程，烘托出我們平常學(xué)習(xí)中對于某些有代表性的問題，如一些高考題、學(xué)考題的研究，不能僅限于就題解題，在時間與精力允許的情況下應(yīng)當采取以上解題、析題的程序，這樣能夠更大程度上提升我們同學(xué)們的視野與“題感”，從而提高我們解決問題的水平與能力.

同學(xué)們紛紛點頭表示贊同,然后老師布置了作業(yè)及課外討論的內(nèi)容,宣布下課.

2 本課例的數(shù)學(xué)任務(wù)診斷分析

顯然，解題教學(xué)是高二數(shù)學(xué)學(xué)考復(fù)習(xí)中的一個重要環(huán)節(jié).如何針對學(xué)考復(fù)習(xí)的特點,輕松高效地做好解題教學(xué),是我們高中數(shù)學(xué)老師所追求的目標.因此進行必要的課例分析是很有幫助的.

在數(shù)學(xué)任務(wù)框架中,數(shù)學(xué)任務(wù)是指圍繞發(fā)展某個特定的數(shù)學(xué)技能、概念或思想而進行的一個課堂活動片段,包括問題和師生圍繞問題所進行的教學(xué)活動.一個任務(wù)既可以包含一節(jié)課中與某一復(fù)雜問題相聯(lián)系的幾個問題或擴展活動,也可以是整節(jié)課的內(nèi)容.一節(jié)課中可以只包含一個任務(wù),也可以有幾個任務(wù).

首先，從本課例看來,教師主要是想通過一題多解、一題多變、延伸拓展，從而發(fā)揮例題的增值功能.其過程正如上文所述:具體為問題設(shè)計——思路探求——思維顯化——方法展現(xiàn)——變式構(gòu)造——解后反思；而因為對于高中數(shù)學(xué)來說,習(xí)題更是浩如煙海.在學(xué)考復(fù)習(xí)中,如何在有限的時間發(fā)揮出較大的功能?本節(jié)課的任教者是一位教學(xué)經(jīng)驗較豐富的中年教師,在上課的過程中能夠使例題縱橫延伸,其中橫向延伸主要指對例題的一題多解的探討,縱向延伸主要是指改變例題的條件和結(jié)論,采取有層次的一題多變的變式教學(xué).從實際上課的進程來看，這無疑是基本達成了設(shè)定目標.

其次，在從起點能力到終點能力之間,學(xué)生還有許多知識技能事實上尚未掌握,掌握這些知識技能又是達到終點目標的前提條件.從起點能力到終點能力之間的這些知識技能被稱為“使能目標”.從起點到終點之間所需要學(xué)習(xí)的知識技能越多,則使能目標也越多.從本課例來看,由于提供了多種解法并有延伸與拓展,學(xué)生要求掌握的“使能目標”可能也較多，估計有很多學(xué)生會有理解吃力、掌握時無所適從之感.因此筆者認為教師應(yīng)建議學(xué)生根據(jù)自身特點有針對性地掌握相應(yīng)的“使能目標”，這樣才能使這部分學(xué)生更有選擇性與主動權(quán).

最后,從本課例中學(xué)生的終點能力目標分析而言,本節(jié)課指導(dǎo)學(xué)生進行了一定的題后反思,這便于總結(jié)解題規(guī)律,優(yōu)化解題方法,還有利于積累經(jīng)驗,鞏固學(xué)習(xí)成果,真正達到解題的目的.但是我們可以明顯看出:本課例中回答問題的同學(xué)相對來說大都比較優(yōu)秀，所以進行錯解剖析、正本清源的機會不多.而在學(xué)考復(fù)習(xí)課教學(xué)中,我們會發(fā)現(xiàn),有一些錯誤是學(xué)生的共性.如果一味把正確的解法拋給他們,盡管暫時學(xué)生會理解它,但時間一長,往往又所剩無幾，所以在課堂展示的環(huán)節(jié)應(yīng)更加關(guān)注一些出現(xiàn)解題差錯的同學(xué).筆者通過多年的實踐發(fā)現(xiàn),如果把學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤適時展示,讓他們自己首先來糾錯與證偽,這樣印象將會深刻得多.

當然，教師在解題教學(xué)中要以學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為出發(fā)點,但筆者認為在教學(xué)過程中沒必要刻意加以顯化，正如以上課例，可以通過為學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境和設(shè)計有效的學(xué)習(xí)任務(wù),在提高數(shù)學(xué)教學(xué)成效的過程中,“潤物細無聲”的使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不斷完善加強.