布爾環(huán)及其譜的一些性質(zhì)

郭俊輝

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

布爾環(huán)的出現(xiàn)是由布爾代數(shù)作為背景衍生出來的，布爾代數(shù)在代數(shù)學(xué)(代數(shù)結(jié)構(gòu))、邏輯演算、集合論、拓?fù)淇臻g理論、測度論、概率論和泛函分析等數(shù)學(xué)分支中均有應(yīng)用，1967年后, 在數(shù)理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中, 也起著一定的作用。近幾十年來, 布爾代數(shù)在自動化技術(shù)、電子計(jì)算機(jī)的邏輯設(shè)計(jì)等工程技術(shù)領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。布爾代數(shù)一詞源于英國數(shù)學(xué)家Boole,他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中, 適當(dāng)材料上的“推理”, 成了公式初等運(yùn)算的事情。例如矛盾律, 即A不能既是B又是非B, 它可表示為x(1-x)=0; 排中律可被說成x+(1-x)=1。“且”對“或”的分配律可以表示為x(u+v)=xu+xv。 這樣, 就使邏輯本身受到數(shù)學(xué)的支配[1]。為了使自己的研究工作趨于完善, 布爾在此后的漫長時(shí)間里, 又付出了不同尋常的努力。1854年, 他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作,布爾代數(shù)問世了。后來, Ernst較為系統(tǒng)地給出布爾代數(shù)和分配格的定義[2]。在離散數(shù)學(xué)中, 布爾代數(shù)(有時(shí)叫布爾格)是有補(bǔ)分配格。首先提出布爾環(huán)與布爾格之間的緊密聯(lián)系的是Stone。在數(shù)學(xué)中, 斯通氏布爾代數(shù)表示定理聲稱所有布爾代數(shù)都同構(gòu)于集合域。這個(gè)定理是深入理解在20世紀(jì)上半葉所拓展的布爾代數(shù)的基礎(chǔ)，該定理首先由斯通1936年證明, 并以他的姓氏命名。斯通通過對希爾伯特空間上算子譜理論的研究而得出了它。這個(gè)定理有多種闡述語言, 例如任意一個(gè)布爾代數(shù)一定同構(gòu)于某個(gè)集上的一個(gè)集合域, 又或者說任意一個(gè)布爾代數(shù)也一定同構(gòu)于某個(gè)拓?fù)淇臻g的閉開代數(shù)等, 也可以用拓?fù)鋵W(xué)和范疇論的語言來重述如下: 斯通表示定理斷言在布爾代數(shù)范疇和斯通氏空間, 也就是完全不連通緊致Hausdorff拓?fù)淇臻g(也叫做布爾空間)范疇之間的對偶。在本文中,作者試圖要將斯通定理敘述為更為簡單淺顯的一個(gè)版本, 即: 任意一個(gè)布爾格都與某個(gè)緊致的Hausdorff空間中的全體既開又閉的子集合所組成的格同構(gòu)。在本文的第一部分通過對這個(gè)定理的推理,發(fā)現(xiàn)了布爾環(huán)及其素譜空間的特殊性, 它有著其他一般交換環(huán)及對應(yīng)素譜不一定有的性質(zhì)。本文在第二部分正是利用了布爾環(huán)的特殊性質(zhì)推廣了一個(gè)在一般交換環(huán)上成立的命題: 有限個(gè)素理若想可以覆蓋一個(gè)理想, 則必有其中一個(gè)素理想覆蓋住該理想。在布爾環(huán)中, 借助譜的知識, 該命題中的條件“有限個(gè)”在某種條件下可以去掉。在文章的末尾, 則單獨(dú)探究布爾環(huán)譜空間的拓?fù)湫再|(zhì), 除了發(fā)現(xiàn)這種空間是“散碎的”、完全不連通的, 還發(fā)現(xiàn)當(dāng)將譜空間的經(jīng)典拓?fù)?Zariski拓?fù)?劃分得更細(xì), 劃成可構(gòu)造拓?fù)鋾r(shí), 兩種情況實(shí)際上是一回事, 即根本沒有變得“更細(xì)”。

1 斯通定理

斯通表示定理在數(shù)學(xué)史上影響深遠(yuǎn), 正如上文所說, 斯通定理在不同的場合下表達(dá)出來的語言也是不一樣的, 又例如這樣的表達(dá): 任一布爾代數(shù)同構(gòu)于其全體極大濾子構(gòu)成的緊致零維 Hausdorff空間中的開閉集代數(shù)。受斯通定理的思維火花影響, 不少學(xué)者繼而不斷揭示偏序集與拓?fù)淇臻g之間的關(guān)系[3-5]。隨著研究的加深, 近年來多值邏輯也有較快的發(fā)展[6-7], 而一些具有蘊(yùn)含性質(zhì)的格, 例如R0-代數(shù)、BL-代數(shù)、MTL-代數(shù)等也相繼被提出。自然地, 一些斯通定理的推廣工作也相繼進(jìn)行著, 如在R0-代數(shù)上推廣了布爾代數(shù)的斯通定理[8-9]。也有一些學(xué)者, 例如劉應(yīng)明等[5]對某類完全分配格給出了斯通定理的格值形式, 用范疇的語言說, 即分配格范疇對偶同構(gòu)于凝聚L-locale范疇, (前提是)若格L是一個(gè)frame且0∈L是素元或1∈L是余素元。更進(jìn)一步, 假若L還是完全分配的, 則分配格范疇對偶同構(gòu)于凝聚滿層L-拓?fù)淇臻g范疇。由以上敘述可感知斯通定理至今還不斷煥發(fā)著它的活力, 歸根結(jié)底是因?yàn)樗雇ū硎径ɡ斫沂玖烁裾撆c拓?fù)淇臻g理論之間的深刻聯(lián)系, 而王國俊[10]更是有創(chuàng)意地將斯通表示定理與廣義空間理論以及拓?fù)浞肿痈窭碚撨@些新學(xué)科聯(lián)系起來研究。同樣讓人印象深刻的是郭鐵信等[11]于2011年在復(fù)完備隨機(jī)內(nèi)積模上的隨機(jī)酉算子群上面建立了斯通表示定理。在國外的一些研究中, 有不少學(xué)者把注意力投向了布爾超代數(shù), 先是Procesi等在文獻(xiàn)[12]中證明了布爾超代數(shù)上的斯通表示定理, 后來Procesi在文獻(xiàn)[13]中用拓?fù)涞慕嵌瓤创龁栴}, 并用拓?fù)湔Z言闡述了布爾超代數(shù)上的斯通表示定理。

本文中提到的布爾環(huán)是所有元素都滿足x2=x的含幺交換環(huán)。以下首先介紹有關(guān)格的概念。格是一種特殊的偏序集, 經(jīng)過特殊化以后得到分配格, 再特殊化以后可以得到布爾代數(shù), 是序結(jié)構(gòu)的主體部分。在許多數(shù)學(xué)對象中, 所考慮的元素之間具有某種順序。例如一組實(shí)數(shù)間的大小順序, 一組命題間的蘊(yùn)涵順序等。這種順序一般不是全序, 即不是任意2個(gè)元素之間都能排列順序, 而是在部分元素之間的一種順序, 稱為偏序。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。格是其非空有限子集都有一個(gè)上確界和一個(gè)下確界的偏序集合。在19世紀(jì)的后幾十年, 德國數(shù)學(xué)家戴德金和施履德分別從數(shù)論和邏輯代數(shù)兩個(gè)方向得出格的概念。但是其他數(shù)學(xué)家并未認(rèn)識到它的重要性。直至20世紀(jì)30年代, 在美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫和挪威數(shù)學(xué)家奧爾的共同努力下, 格論才煥發(fā)生機(jī), 發(fā)展成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科, 在抽象代數(shù)、射影幾何、點(diǎn)集論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、邏輯和概率論等諸多領(lǐng)域產(chǎn)生廣泛應(yīng)用。例如在代數(shù)學(xué)中對于一個(gè)群與其子群格之間關(guān)系的研究, 在數(shù)理邏輯中關(guān)于不可解度的研究。在圖論中關(guān)于圖分解的研究也大量用到格論。在密碼學(xué)領(lǐng)域, 關(guān)于公鑰密碼分析學(xué)的應(yīng)用研究也常用到格理論及格基約減算法。

首先需要談及格的定義, 它有2種定義, 一種是代數(shù)定義, 另一種是偏序定義, 2種定義相互等價(jià)且在談?wù)摳竦臅r(shí)候永遠(yuǎn)不要將2種定義割裂來看。

定義1[14](格的代數(shù)定義) 設(shè)L為一個(gè)集合, 在L上定義2種在L中封閉的運(yùn)算∨和∧, 使得對任意a,b∈L滿足以下性質(zhì):

(1) 交換律a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;

(2) 結(jié)合律a∨(b∨c)=(a∨b)∨c,a∧(b∧c)=(a∧b)∧c;

(3) 冪等律a∨a=a,a∧a=a;

(4) 吸收律a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a。

則稱(L,∨,∧)是一個(gè)格。

定義2[14](格的偏序定義) 設(shè)L是一個(gè)偏序集, 且使得任意2個(gè)元素構(gòu)成的子集{a,b}一定有上確界(最小上界)和下確界(最大上界), 則稱(L,≤)是一個(gè)格。

以上2種定義是相互等價(jià)的, 有了定義1, 可定義偏序關(guān)系為a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a∧b=a, 或者等價(jià)地說a∨b=b(容易驗(yàn)證這樣定義的關(guān)系確實(shí)為偏序關(guān)系), 則有

inf{a,b}=a∧b,sup{a,b}=a∨b。

反之, 由定義2出發(fā), 可分別定義2種運(yùn)算為

a∨b=sup{a,b}和a∧b=inf{a,b}。

容易驗(yàn)證這樣定義的運(yùn)算∨和∧滿足以上定義1中公理化要求的4個(gè)律[14]。自然地, 關(guān)于格同構(gòu)也有2種相對應(yīng)的等價(jià)敘述[14]: 格L1與L2同構(gòu)是指能夠建立L1到L2的一一映射φ使得映射φ可以保持2個(gè)運(yùn)算∨和∧, 或者等價(jià)地說,φ和φ-1都是保序的, 其中，φ-1是保序的這一條件是不可省略的。

布爾格是一種特殊的格, 就好比布爾環(huán)是一種特殊的環(huán)。布爾格的定義則要在格的定義上再加多幾個(gè)公理化要求。

定義3[15]設(shè)(L,∨,∧,≤)是一個(gè)格, 如果再有以下的性質(zhì)被滿足:

(1)L中有最大元和最小元(分別記作1和0);

(2)2個(gè)運(yùn)算“∨”和“∧”都對另一個(gè)滿足分配律, 即

(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c);

(3)任意一個(gè)元a∈L, 存在唯一的補(bǔ)元a′∈L使得

a∨a′=1,a∧a′=0，

則稱這種格是布爾格。

下面將指出布爾環(huán)和布爾格其實(shí)本質(zhì)上是一回事, 兩者互相誘導(dǎo), 一一對應(yīng), 從而為后面闡明斯通定理做出鋪墊準(zhǔn)備。

引理1[15-16]布爾環(huán)和布爾格相互誘導(dǎo), 一一對應(yīng)。

現(xiàn)在介紹一些布爾環(huán)的性質(zhì), 以及交換環(huán)的素譜概念和布爾環(huán)的譜上性質(zhì)。

引理2 交換環(huán)中若任意一個(gè)元素x∈A都有某個(gè)n∈且n>1, 使得xn=x, (n依賴于x), 則A中所有素理想都是極大理想。

x(1-xn-1)=0,

若n>2, 則

找到了逆元, 證畢。

命題1 在布爾環(huán)中有

(1)對一切x∈A,有2x=0;

(2)任意的素理想P都極大,且A/P是只有0與1的域;

(3)有限生成的理想是主理想。

證明

(1)這是較顯然的;

(2)由引理2, 即可得；

(3)只需證明由2個(gè)元素生成的理想是主理想即可?，F(xiàn)證明以下斷言即可, 即

(x,y)=(x+y+xy)。

(x+y+xy)?(x,y)是顯然的; 反過來, 由(1)的結(jié)論, 有

x(x+y+xy)=x,y(x+y+xy)=y，

故(x,y)?(x+y+xy), 斷言成立。同理對3個(gè)元素的情況也有

(x,y,z)=(x+y+z+xy+xz+yz+xyz),

以此類推, 證畢。

以下簡單提及交換環(huán)的素譜概念[15]。這是一個(gè)在代數(shù)幾何中很基本的概念, 有的時(shí)候談及環(huán)的局部化都會必不可少地談及素譜。環(huán)的素譜和譜空間理論起源于仿射代數(shù)簇(又稱代數(shù)流形)的研究?，F(xiàn)已廣泛應(yīng)用于許多數(shù)學(xué)分支中, 如代數(shù)幾何、層論、C*-代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、環(huán)論、模論、格論和群論等。幾何性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)之間會相互反饋信息。每一個(gè)幾何性質(zhì)都會返回一個(gè)代數(shù)性質(zhì), 例如層(Sheaf), 那么反過來代數(shù)性質(zhì)也能返回一個(gè)幾何性質(zhì), 例如素譜, 合在一起就成了概型(Schemes)。素譜的概念在交換代數(shù)以及代數(shù)幾何中扮演了一個(gè)很基礎(chǔ)的角色, 就好比小學(xué)課本中的加減運(yùn)算。素譜的可研究價(jià)值極大, 例如從范疇論的角度去看, 素譜還具備函子性: 素譜可以視作反變函子。更多性質(zhì)細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[15]。設(shè)A是一個(gè)交換環(huán),X是它所有素理想的集合, 設(shè)E是A中的子集,α是E所生成的理想, 記

V(E)={P∈X|P?E},

則有以下性質(zhì):

(2)V(0)=X,V(1)=?；

(3)設(shè)(Ei)i∈I是A中的一個(gè)子集簇, 那么V(∪i∈IEi)=∩i∈IV(Ei)；

(4)設(shè)α,β是A中任意2個(gè)理想, 則V(α)∪V(β)=V(α∩β)=V(αβ)。

從以上性質(zhì)可以看出形如V(E)的全體所構(gòu)成的集族滿足閉集的拓?fù)涔? 于是X可以構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g, 定義X中的閉集: 子集F為閉集當(dāng)且僅當(dāng)F可表成上述V(E)的形式。該拓?fù)淇臻g(X,τ)叫環(huán)A的素譜(記為Spec(A)), 這個(gè)拓?fù)洇臃Q為Zariski拓?fù)洹?/p>

注記1 Zariski拓?fù)洳⒉皇侨藗冊赬上研究的唯一拓?fù)? 只是研究的最多的拓?fù)? 如無特別聲明, 都是認(rèn)為素譜上的拓?fù)涫荶ariski拓?fù)洹Ａ硗獗容^多見的拓?fù)涫强蓸?gòu)造拓?fù)?記為τc), 在文章后面會提及關(guān)于布爾環(huán)在可構(gòu)造拓?fù)湎碌乃刈V的相關(guān)性質(zhì)特點(diǎn)。任意交換環(huán)在Zariski拓?fù)浠蛘呖蓸?gòu)造拓?fù)湎碌乃刈V空間都是緊致的[15]。

注記2 對任意交換環(huán)A中的任意元素f, 定義

Xf=X[V((f))]={P∈X|f?P},

則Xf顯然是(X,τ)中的開集, 并且全體形如Xf的集族能構(gòu)成(X,τ)的一組拓?fù)浠鵞14]。且有以下性質(zhì):

(1)Xf∩Xg=Xfg；

(2)Xf=??f是冪零元；

(3)Xf=X?f是可逆元。

更詳細(xì)的性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[14]。

命題2[15-16]設(shè)A是布爾環(huán), (X,τ)是帶有Zariski拓?fù)涞腁的素譜空間, 則

(1)每一個(gè)Xf在(X,τ)中既開又閉；

(2)對有限個(gè)f1,…,fn∈A, 存在f0∈A, 使得Xf1∪…∪Xfn=Xf0；

(3)形如Xf的集合是(X,τ)中僅有的既開又閉的子集；

(4)(X,τ) 是緊致的Hausdorff空間。

證明(1)～(4)在文獻(xiàn)[15-16]中都有涉及。這里簡單提及(2), 要解決有限個(gè)的情形只要解決2個(gè)的情形即可, 結(jié)合命題1中的(3), 有

Xf∪Xg=[V((f))∩V((g))]c=

[V({f,g})]c=

[V((f+g+fg))]c=Xf+g+fg。

在本文的下一個(gè)部分由(4)會推出深刻的結(jié)論。

結(jié)合以上的鋪墊得到最后的斯通定理:

定理1[3,15](斯通定理) 任意一個(gè)布爾格都與某個(gè)緊致的Hausdorff空間中的全體既開又閉的子集合所組成的格同構(gòu)。

證明給出任意的一個(gè)布爾格(L,∨,∧,≤), 根據(jù)引理1, 設(shè)A是與之對應(yīng)的布爾環(huán), (X,τ)是環(huán)的譜, ∑={Xf|f∈A}, 則∑是緊致的Hausdorff空間(X,τ)中全體既開又閉的子集集合, 定義偏序關(guān)系為集合的包含關(guān)系, 即

Xf≤Xg?Xf?Xg,

這種情況下對應(yīng)的運(yùn)算“∨”和“∧”實(shí)際上就是集合的并和交，則容易驗(yàn)證(∑,∨,∧,≤)構(gòu)成一個(gè)格。下面驗(yàn)證格同構(gòu)(L,∨,∧,≤)?(∑,∨,∧,≤)，定義映射：

φ:L→∑為φ(f)=Xf,

則根據(jù)引理1以及命題2可得:

φ(f∨g)=φ(f+g+fg)=Xf+g+fg=

Xf∨Xg=φ(f)∨φ(g)。

根據(jù)注記2中的性質(zhì)(Xf∩Xg=Xfg), 有

φ(f∧g)=φ(fg)=Xfg=Xf∧Xg=φ(f)∧φ(g)。

通過驗(yàn)證,φ確實(shí)保持運(yùn)算“∨”和“∧”, 因而是格同構(gòu), 從而完成了證明。

2 布爾環(huán)的素譜的一些性質(zhì)

以上通過推理出斯通定理的一個(gè)簡單形式，發(fā)現(xiàn)了布爾環(huán)的獨(dú)特性, 并且這種獨(dú)特性會轉(zhuǎn)嫁到它的素譜中, 使得它的素譜也是一個(gè)很特別的拓?fù)淇臻g。在這個(gè)部分,將特別研究布爾環(huán)的素譜的一些性質(zhì)。

布爾環(huán)所具備的特殊性, 首先可以用來拓展一個(gè)在普通的交換環(huán)上很重要且經(jīng)常使用但是又難以拓展的性質(zhì): 若存在有限個(gè)素理想可以覆蓋一個(gè)普通的理想, 則必有其中一個(gè)素理想覆蓋住該理想。為了闡明這項(xiàng)工作, 先做一些鋪墊準(zhǔn)備, 介紹一些相關(guān)知識。

命題3 任意的交換環(huán)的素譜(X,τ)中,Xg是緊致的子集(對任意的g∈A)。

證明只需證明假若一簇拓?fù)浠械某蓡T{Xfi}i∈I能夠覆蓋住Xg, 則有有限的子覆蓋即可。設(shè)Xg?∪i∈IXfi, 即有蘊(yùn)含關(guān)系:P為A中的素理想,g?P??f0使得f0?P,

等價(jià)于

fi∈P,?i?g∈P，

則有等式:

V({fi│i∈I})=V({g,fi|i∈I})。

于是有

得

這就存在有限個(gè)fi1,…fik以及某n∈使得

gn=c1fi1+…+cnfik,

則素理想P如果同時(shí)包含fi1,…fik, 則會包含gn, 從而包含g, 因而有

證畢。

定義4[17]拓?fù)淇臻g中的子集族稱為有核的, 如果中任意有限個(gè)成員之交非空。

命題4[17]拓?fù)淇臻g(X,τ)緊致當(dāng)且僅當(dāng)X的任意有核閉集族之交∩A∈A≠?。

借助布爾環(huán)的特殊性,可對上面的問題做出其中一種回答, 具體的表述如下:

命題5 在布爾環(huán)A中, 設(shè)X是它的素譜, 設(shè)理想α?∪P∈XfP, 則必存在某P0∈Xf使得α?P0。

證明集族{V((a))∩Xf|a∈α}是緊致的子空間Xf上的閉集族, 并且是有核的, 事實(shí)上,

[V((a1))∩Xf]∩…∩[V((an))∩Xf]=

V((a1,…,an))∩Xf=V((a0))∩Xf,

其中，(a1,…,an)=(a0)是由命題1(3)得來, 且a0∈α, 由α?∪P∈XfP可知會存在某個(gè)P′∈Xf使得a0∈P′, 則

P′∈V((a0))∩Xf,

即集族{V((a))∩Xf|a∈α}是有核閉集族, 根據(jù)命題4, 集族{V((a))∩Xf|a∈α}全員之交非空, 則會存在一個(gè)P0∈Xf使得

P0a, ?a∈α,

即

α?P0,

證畢。

注記3 以上命題條件中的Xf當(dāng)然也可以換成某個(gè)V(E), 因?yàn)閂(E)是緊致空間中的閉集, 從而也是緊致的[17], 然后用同樣的方法去證明。

關(guān)于布爾環(huán)的素譜空間有一個(gè)很特別的拓?fù)湫再|(zhì), 就是完全不連通, 即任意一個(gè)至少含2點(diǎn)的子集都是不連通的, 也就是說連通的子集只能是單點(diǎn)集。由于布爾代數(shù)的影響很大且性質(zhì)獨(dú)特, 故和布爾代數(shù)相掛鉤的研究對象也變得“特別”了, 例如現(xiàn)在討論的布爾環(huán)的素譜空間。所以, 完全不連通的緊致的Hausdorff空間就被人們特別地稱為“布爾空間”[3,14-15]。根據(jù)文獻(xiàn)[18]的引理3.1，至少可以知道非平凡含幺布爾環(huán)的素譜空間一定是不連通的，但是僅僅得出這個(gè)結(jié)論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，所以有下面的命題6：

命題6 布爾環(huán)的素譜空間是布爾空間。

證明根據(jù)命題2(4), 只需證明(X,τ)中任意一個(gè)至少含2點(diǎn)的子集F都是不連通的即可。設(shè)

P1,P2∈F?X且P1≠P2,

則存在某個(gè)Xf使得P1∈Xf且P2?Xf, 無疑Xf是開集, 但是它也是閉集, 根據(jù)命題3,Xf是緊致的子集, 在緊致的Hausdorff空間中緊致子集等價(jià)于閉集[17], 所以Xf既開又閉。故Xf∩F是F中既開又閉的真子集(含P1卻不含P2), 所以F不連通。

注記1中提到的可構(gòu)造拓?fù)洇觕, 一方面提及這種拓?fù)涞囊粋€(gè)原因是可構(gòu)造拓?fù)浔旧硪彩墙粨Q環(huán)的素譜上的重要研究對象, 另一方面, 針對本文著重研究的布爾環(huán), 它的素譜上的可構(gòu)造拓?fù)溆兄粋€(gè)有趣的事實(shí): 布爾環(huán)的素譜帶上Zariski拓?fù)浜蛶峡蓸?gòu)造拓?fù)淦鋵?shí)是一回事。

先介紹什么是可構(gòu)造拓?fù)洹?/p>

定義5[15]對任意的交換環(huán)A, 記X為A的全體素理想的集合, 記

τc={U?X│存在交換環(huán)B以及環(huán)同態(tài)f:A→B,使得XU=f*(Spec(B))},

其中,f*:Spec(B)→Spec(A)定義為: 對任意的q∈Spec(B), 有

f*(q)=f-1(q)∈Spec(A),

τc能夠構(gòu)成一個(gè)拓?fù)鋸亩?X,τc)成為一個(gè)拓?fù)淇臻g, 稱τc為X上的可構(gòu)造拓?fù)洹?/p>

注記4 對以上τc的拓?fù)涔淼尿?yàn)證, 只需驗(yàn)證閉集的拓?fù)涔砑纯蒣15]:

(1)設(shè)有一族交換環(huán)Bi以及相配的環(huán)同態(tài)fi:A→Bi,i∈I, 指標(biāo)集I可以是無窮集, 則有

記指標(biāo)集

∑={J|J?I,是I中的有限集},

定義∑中的序關(guān)系:

J≤K?J?K,

則∑是一個(gè)正向集 (即特殊的偏序集, 滿足對任意的2個(gè)指標(biāo)i,j都會存在某個(gè)指標(biāo)k使得i≤k以及j≤k), 因?yàn)閷θ我獾腏,K∈∑有

J∪K∈∑,J?J∪K,K?J∪K,

對任意的指標(biāo)J≤K, 有典范的A代數(shù)同態(tài)

μJK:BJ→BK,

則(BJ,μJK)構(gòu)成一個(gè)正向系統(tǒng)[15]。最后定義無窮個(gè)A代數(shù)Bi的張量積為該正向系統(tǒng)的正向極限, 即

(i)設(shè)(Bi,gij)是一個(gè)環(huán)的正向系統(tǒng),B是正向極限, 對每個(gè)i都有環(huán)同態(tài)fi:A→Bi, 且對任意的i≤j都有g(shù)ij°fi=fj(即(Bi,gij)構(gòu)成A代數(shù)的正向系統(tǒng))。fi自然誘導(dǎo)出f:A→B, 則有結(jié)論

(ii)設(shè)有環(huán)同態(tài)f:A→B以及g:A→C, 定義同態(tài)h:A→B?AC為

h(a)=f(a)?1,

則有結(jié)論:

h*(Spec(B?AC))=f*(Spec(B))∩g*(Spec(C))。

至此, 結(jié)合(i)與(ii)的結(jié)果就自然得到

(2)設(shè)有環(huán)同態(tài):f1:A→B1以及f2:A→B2, 定義環(huán)同態(tài):f:A→B1×B2為

f(a)=(f1(a),f2(a)),

則有

f*(Spec(B1×B2))=f1(Spec(B1))∪f2(Spec(B2))。

(3)對于零同態(tài):f:A→0, 有f*(Spec(0))=?。

(4)對于恒同映射id:A→A, 有(id)*(Spec(A))=X。

命題7 可構(gòu)造拓?fù)浔萙ariski拓?fù)涓?或者說更細(xì)), 即τ?τc。

證明只需證明Zariski拓?fù)渲械拈]集一定是可構(gòu)造拓?fù)渲械拈]集即可。任取Zariski拓?fù)渲械囊粋€(gè)閉集V(α), 其中α是任意一個(gè)A中的理想。有典范同態(tài)

π:A→A/α,

則有V(α)=π*(Spec(A/α)), 證畢。

命題8 可構(gòu)造拓?fù)涫鞘沟媒粨Q環(huán)的素譜中Xf既開又閉的最小拓?fù)?任意的f∈A)。

證明(1) 首先證明Xf在可構(gòu)造拓?fù)渲屑乳_又閉, 是開的已經(jīng)顯然了。記Af是A的分式環(huán), 即其中的乘法封閉子集是f的所有次冪(含1=f0)所構(gòu)成的集合, 則有典范同態(tài)

φ:A→Af,

則Xf=φ*(Spec(Af))。從而Xf也是閉集。

(2)設(shè)τΩ是定義在X上的使得任意Xf既開又閉的拓?fù)? 需要證明

τc?τΩ,

即需要證明對任意的ψ:A→B,ψ*(Spec(B))是(X,τΩ)中的閉集。

設(shè)

P1?ψ*(Spec(B)),

則P1因?yàn)橛蠵是B中的一個(gè)素理想的局限當(dāng)且僅當(dāng)P=Pec這一等價(jià)條件[15]。取f?P1且則設(shè)

其中，gi∈P1,bi∈B。則

因此

這與P2∈Xf相矛盾。綜上可得ψ*(Spec(B))是(X,τΩ)中的閉集。

有了以上的鋪墊工作, 現(xiàn)在可以說在布爾環(huán)上的Zariski拓?fù)浜涂蓸?gòu)造拓?fù)涫且换厥?。由命題2知道布爾環(huán)上的Zariski拓?fù)涫鞘沟妹恳粋€(gè)Xf既開又閉的拓?fù)? 所以由命題8可知τc?τ, 又由命題7得τ?τc, 綜上可得這2種拓?fù)鋵?shí)際上是一回事。