含參二元一次方程(組)有效教學(xué)的實(shí)踐

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510631)梁鎮(zhèn)輝

1 含參方程組教與學(xué)的反思

含參方程組問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又是教學(xué)不可繞開(kāi)的重要教學(xué)內(nèi)容.但是不能退化為“題型教學(xué)”.試圖“窮盡題型”,幻想通過(guò)“題型”的機(jī)械重復(fù)、強(qiáng)化訓(xùn)練來(lái)提升學(xué)生對(duì)應(yīng)的“技能”和“動(dòng)作要領(lǐng)”,這種“刺激-反應(yīng)-強(qiáng)化”的行為主義教學(xué)方式,讓學(xué)生在“新情境”背景下變得意義不大.

劉釗秀、祝林華[1];彭翠華[5];李自剛,杜興明[3]等歸納了常見(jiàn)的含參二元一次方程組的相關(guān)題型以及變式應(yīng)用,總結(jié)了處理該類(lèi)題目的一般方法和技巧.筆者以基本解題思路為依據(jù)將其重新歸為3 類(lèi): 第1 類(lèi)是‘知道方程的具體解代入方程’;第2 類(lèi)是‘先重組方程求出具體解后代入’;第3 類(lèi)是‘用含參數(shù)代數(shù)式表示方程組的解再代入’.教師和學(xué)生都認(rèn)為這種含參方程組問(wèn)題無(wú)論是初學(xué)還是對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)而言都是一個(gè)難點(diǎn).

孫橋[4]從知識(shí)層面和解決問(wèn)題層面分析了學(xué)生的困惑所在.筆者經(jīng)面批和訪談后發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困惑主要有: 課堂上,學(xué)生不容易接受“參數(shù)方程組萬(wàn)能辦法[5]”的解題思路;獨(dú)立做題時(shí),不容易區(qū)分到底如何“消元”,有的學(xué)生更是簡(jiǎn)單地對(duì)一個(gè)方程進(jìn)行移項(xiàng)(例如x = 3y+m)就得到“含參表達(dá)式”;計(jì)算過(guò)程中,對(duì)繁瑣的計(jì)算[5]存在“厭煩”的情感態(tài)度,部分學(xué)生情愿放棄.筆者在課堂觀察中,發(fā)現(xiàn)大部分老師(包含文[1]至文[5])采取了“就題論題”的教學(xué)方式,把含參問(wèn)題分成了一個(gè)個(gè)“類(lèi)型”,然后對(duì)這個(gè)“類(lèi)型”采取與之匹配的解題思路,而在“消元”辦法的思考以及方法策略上少有介紹,課堂留下的是一種又一種解題思路的“驚訝”! 這種“教套路”的知識(shí)傳授方式不能被學(xué)生很好理解(見(jiàn)下文測(cè)試效果數(shù)據(jù)).比如孫橋[4]在教學(xué)設(shè)計(jì)中嘗試引導(dǎo)學(xué)生基于“消元”的思想解決問(wèn)題,但是他介紹的一題多解,更多的還是方法和經(jīng)驗(yàn)介紹,因?yàn)樗詥?wèn)題3 引入“用含參數(shù)的代數(shù)式表示x 和y”,再運(yùn)用到其例題的解決上,難免“限制”了學(xué)生思維的發(fā)展,缺乏引導(dǎo)學(xué)生分析“消元”的策略.

2 含參方程組教與學(xué)的實(shí)踐

下面筆者基于引導(dǎo)學(xué)生分析“消元”策略以及充分暴露“消元”思想,進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐,并從調(diào)查問(wèn)卷、測(cè)試等角度分析優(yōu)良教學(xué)效果.

例題1已知是方程4x + my = 10 和mx-ny =11 的公共解,求m2+2n 的值.教學(xué)過(guò)程如下表:

?

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出‘?dāng)?shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中,是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括,學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中,通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流, 逐步感悟數(shù)學(xué)思想.’例題1 把未知數(shù)x、y 的值代入方程就能達(dá)到消元目的,實(shí)際上這就是“二元一次方程”基本解法中的“代入消元法”.文[2]稱之為對(duì)二元一次方程組的工具性理解.但是通過(guò)“問(wèn)題串”啟發(fā)學(xué)生:代值也是解決含參二元一次方程組問(wèn)題的基本思路,就提升了學(xué)生對(duì)“消元”的本質(zhì)理解,這促進(jìn)了學(xué)生對(duì)例題2(重組方程組)以及例題3(用參數(shù)表示x 和y)的主動(dòng)思考,作為解決含參方程組問(wèn)題的“出發(fā)點(diǎn)”.

例題2

的解中,x 和y 的值相等,試求k 的值.教學(xué)過(guò)程如下表:

?

《標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為‘有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶,動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.’《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)理解’的解釋是“能描述對(duì)象的特征和由來(lái),能明確地闡述此對(duì)象與有關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別與聯(lián)系”.通過(guò)提問(wèn)反思引導(dǎo)學(xué)生理解題意,從中發(fā)現(xiàn)各個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征,理解“重組方程可消元”是解決上述問(wèn)題的基本方法.

例題3當(dāng)a 為何值時(shí),方程組

的解x,y 互為相反數(shù)? 教學(xué)過(guò)程如下表:

?

讓課堂教學(xué)的一切來(lái)得順其自然.《標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念認(rèn)為‘?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上’.立足學(xué)生對(duì)消元的已有認(rèn)知,才能經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)提問(wèn)啟發(fā)學(xué)生找到“消參法”;充分認(rèn)識(shí)了“代入消元法”后,學(xué)生對(duì)“用含參代數(shù)式表示x 和y”才容易釋然;把握住“消元本質(zhì)”,學(xué)生才能從消元角度進(jìn)行解法發(fā)散,才能想到思路一、思路二、思路四[4].

3 含參方程組教與學(xué)的效果分析

?

從上表可以看到教學(xué)效果顯著.教學(xué)A 班與比較A 班學(xué)習(xí)能力相差較大,而測(cè)試題的答對(duì)率均超越比較A 班;教學(xué)B 班與教學(xué)A 班學(xué)習(xí)能力差距更大,但答對(duì)率比較接近教學(xué)A 班;在同層次班級(jí)中,教學(xué)B 班的答對(duì)率明顯比比較B班高出20 個(gè)百分點(diǎn).

從上表可以看到“題型教學(xué)”效果差.測(cè)試題目與課堂例題均存在表達(dá)差異.細(xì)看學(xué)生答卷情況,可以發(fā)現(xiàn)比較B 班“不理解題意或者沒(méi)有解題思路”的學(xué)生顯著多于教學(xué)B 班的情況,同時(shí)教學(xué)B 班答錯(cuò)的學(xué)生當(dāng)中,多是在解方程組中“出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤”,但是解題思路完全正確.而A 層次的兩個(gè)班級(jí),錯(cuò)誤學(xué)生出現(xiàn)的情況主要為計(jì)算錯(cuò)誤.顯然突出“消元本質(zhì)”的教學(xué)效果有效訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維,但是不能保證學(xué)生計(jì)算準(zhǔn)確性.

從學(xué)生解法呈現(xiàn)結(jié)果看,抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)有利學(xué)生“創(chuàng)新性理解[2]”.從答對(duì)的學(xué)生中,筆者的兩個(gè)教學(xué)班,在解法上呈現(xiàn)多樣性.例如對(duì)測(cè)試?yán)}3 的消元辦法有的是聯(lián)立已知方程組消參;有的是利用已知方程組用含參代數(shù)式表示x 和y;有的是先利用整體代入消除‘x+y’得y 與k 的關(guān)系;有的是轉(zhuǎn)化為三元一次方程組再消元;有的找到三個(gè)方程的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的一元一次方程.可見(jiàn)學(xué)生對(duì)該類(lèi)問(wèn)題有很好的‘解法創(chuàng)新’[2].相比之下,兩個(gè)比較班在解法上比較單一,大部分學(xué)生采取用含參數(shù)表示x 和y 的辦法解決問(wèn)題.

從課堂教學(xué)看,突出思維過(guò)程的教學(xué)有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.《標(biāo)準(zhǔn)》指出“使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.”筆者教學(xué)班的學(xué)生爭(zhēng)搶上臺(tái)“表演”,思維活躍.布魯納認(rèn)為“學(xué)習(xí)的最好刺激乃是對(duì)所學(xué)知識(shí)的興趣”.本屆學(xué)生的特征是喜歡走上講臺(tái)來(lái)表現(xiàn)自己,讓學(xué)生多講,老師扮演傾聽(tīng)的角色,這正是刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的好辦法.

4 教學(xué)反思

對(duì)學(xué)生而言,想達(dá)到對(duì)知識(shí)的創(chuàng)新性理解[2],就要注意創(chuàng)新性理解的起點(diǎn)是要能夠清晰而準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì).初學(xué)這種“含參方程組”問(wèn)題時(shí),學(xué)生的感受是“香菇難受”.學(xué)生會(huì)解具體系數(shù)的方程組,也容易掌握“(重組方程)求解后代入”的辦法解題,但是遇到常數(shù)項(xiàng)為參數(shù)的問(wèn)題就頓生困難了.‘這種情況好比一個(gè)人已經(jīng)學(xué)會(huì)了騎單車(chē),但是現(xiàn)在要讓他騎摩托車(chē)一樣’,這就需要學(xué)生改變自己對(duì)方程組特點(diǎn)的主體認(rèn)識(shí),把握“消元”的數(shù)學(xué)本質(zhì),來(lái)適應(yīng)這種含參的方程組,達(dá)到消元認(rèn)識(shí)的質(zhì)性提高.

教學(xué)要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)的知識(shí),抓住一兩個(gè)前后一致、貫穿課堂始末的數(shù)學(xué)思想主線,做好“數(shù)學(xué)提問(wèn)”,讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和思想方法,再進(jìn)行解題操作,這樣才容易培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)“根基”.如果對(duì)含參方程組的教學(xué)僅僅停留在一題多解,通過(guò)多種方法來(lái)說(shuō)明消元思想,最終不過(guò)是讓學(xué)生“飽了眼?！?我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中,更應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)到“紙上得來(lái)終覺(jué)淺,絕知此事要躬行”的學(xué)習(xí)道理,讓學(xué)生圍繞‘消元思想’進(jìn)行頭腦風(fēng)暴,自主探索并歸納出消元的不同解法.