立足表達“理”清思維
——基于核心素養(yǎng)的小學生數學說理能力培養(yǎng)探究

福建省霞浦縣第一小學 程秋香

“數學是思維的體操”，在低年級的課堂教師鼓勵學生說完整話，把意思說準確，就是通過語言載體將內在思維外顯化、具象化的過程，學會用數學語言表述思辨過程，就是邁開了說理的第一步。中高年級的課堂教師善于制造時機引發(fā)學生自主質疑，互動中碰撞思維，在抽絲剝繭中建構數學知識本質，幫助學生學會學習。

一、結合生活，學會完整表達

小學生的思維以形象具體為主，一年級的小朋友由于識字量少，作為教學內容的情境圖往往以趣味性、生活化的形式呈現，這些情境圖蘊含著豐富的數學信息。但在教學中發(fā)現，不少低年級的孩子缺乏對圖中信息的檢索能力和解讀能力，不是數據提取錯誤就是會錯意，抑或忽略部分信息。在表述圖意時，往往是“說半句話”，或者“甩一鞭走一步”，缺乏自主完整表述的能力，導致思維是斷層的、碎片化的。教師要引導學生將碎片化的語言串起來，幫助學生學會完整表述。

如教學一年級《加減混合》，引導觀察插圖。

圖1 加減混合

師：大家看到了嗎？這里有兩幅圖，第一幅圖的左下角標了一個點，第二幅圖的左下角標了兩個點，誰知道是什么意思？

生1：一個點是表示剛開始，兩個點是表示過了一會兒。

師：是的，兩幅圖畫的是同一個小朋友在做的事，我們給他起個好記的名字就叫小明吧。剛開始小明是怎樣做的？后來呢？

生2：剛開始地上有6棵小樹苗，后來又拿來了2棵小樹苗。

師：說了第一幅圖，那第二幅圖呢？你能用上“過了一會兒”這個詞嗎？

生2：過了一會兒，小明栽好了3棵小樹苗。

師：地上還有——

生2：地上還有5棵小樹苗沒有栽。

師：瞧，你用上了“剛開始”“過了一會兒”這樣表示先后順序的詞，像講故事一樣，把小明正在做的事生動地描述出來了，真了不起！你能試著將兩幅圖連起來完整地說一說嗎？

生2：今天小明上山種樹，剛開始他拿來了6棵小樹苗，后來又拿來了2棵小樹苗，他一共拿了8棵小樹苗。過了一會兒，他栽好了3棵，地上還剩下5棵小樹苗沒有栽。

師：這回，你們覺得他說得怎樣？(學生鼓掌)這就是生活中的數學。誰還能像他這樣說一說？同桌先互相說一說吧！

《加減混合》是學生在學完連加連減的進一步學習，教材以連環(huán)畫的形式呈現了小朋友栽樹的過程，教師首先引導學生觀察圖中標記，弄清組合型情境圖表述的事件，再讓學生用上表示先后順序的詞來串述圖中的事件，使靜態(tài)的組圖變成動態(tài)的情境，幫助學生更形象地理解圖意，準確提取信息。

低年級教材中看圖解決問題的模型（如含有括線和問號的直觀圖或者對話式的情境圖）教學莫不如是。如果學生能用數學語言正確、完整地表述圖意，找準圖中的已知條件和所求問題，那么理解計算的方法并列式解答，也就水到渠成了。

二、圖式結合，領會分層算理

計算是數學的基礎，計算教學占小學數學教學很大的一個版塊。但是，在問卷調查和各類測試中，發(fā)現學生的計算說理能力偏弱。大部分學生只會計算，不懂原理；或者語言不詳，說不清每一步計算表示的含義。

如《兩位數乘兩位數的筆算》中有一道這樣的練習題：學校買21個熱水瓶，每個23元。列豎式如下：

圖2 兩位數乘兩位數的筆算

其中箭頭指向的“46”表示什么意思？

A.表示買2個熱水瓶要用46元

B.表示買2個熱水瓶要用460元

C.表示買20個熱水瓶要用460元

D.表示買20個熱水瓶要用46元

本題中，大部分學生會筆算得出23×21的結果，卻理不清每一層算式（特別是第二層算式）的含義，不少學生誤把“46”的意義判斷成A選項或者B選項。

計算課一直是很多教師最想逃避的公開課類型，究其原因，計算課比較枯燥，環(huán)節(jié)設計難以出彩。在日常教學中，計算課教學往往是以“出示情境圖——引導列式——師生演算——總結計算法則——練習鞏固”這樣的模式展開。學生被動性接受知識，通過一定量的重復練習，大部分學生能掌握計算方法，而對于為什么要這樣算，大抵因此非教學重點被教者忽略，偶有學生質疑，也以“數學規(guī)定”一言而蔽之，久而久之，學生對原理不甚了了，也就難免不解算式步驟含義了。

如何讓學生更深入地理解計算的道理，從而更有效地計算呢？華羅庚教授曾說過：數缺形時少直覺，形少數時難入微。教師可以利用直觀圖（如開水瓶單價圖或點子圖），讓學生對照著圈一圈，自主體悟為何將乘數拆分為整十數和一位數進行計算，圖式結合，讓學生經歷探索性的學習，說一說每層算式是表示圖中的哪一部分價格。將直觀的點子圖與抽象的算式相對接，滲透位值原理，從而深入領會豎式算理。

三、自主建構，凸顯算法優(yōu)化

從數字的誕生到計算方法的探索，再到計算法則的總結，是先人在求知路上的探索經驗。千百年來，我們接受并運用這些規(guī)定的計算法則去解決一個又一個問題，屢試不爽，卻鮮少打破常規(guī)，質疑老規(guī)矩，創(chuàng)造新法則。

例如我們學習加法、減法以及乘法豎式時，都遵循從低位算起的規(guī)則，但在學習除法豎式時，又為什么規(guī)定要從高位算起呢？以三年級上冊的“46÷2”為例，學生通過小棒分一分，6根小棒平均分成2份，每份是3；4捆小棒平均分成兩份，每份是2，合起來就是23。從低位算起，同樣簡潔準確。但若以“52÷2”為例呢？我們將孩子分成兩組，一組孩子從低位算起，另一組孩子從高位算起，低位算起的孩子的計算過程如下：①個位上2÷2＝1；②十位上5÷2＝2，余1，即1個十；③10÷2＝5，個位的商相加5+1＝6，商是26。從高位算起的孩子計算過程如下：①十位上5÷2＝2，余1，即1個十；②10+2＝12，12÷2＝6，商是26。兩種方法對比，學生們發(fā)現當被除數高位上的數無法被除數整除時，從高位算起更方便。

數學繪本《猜一猜，除一除》中講了這么一個故事：5個人幫忙隔壁的鄰居大掃除，賺到了八百二十七元，怎么平分這些錢呢？先從八百里取出五張一百元，一人先分一百，再把剩下的三百換成六張五十元鈔票，每個人就可以再分一張五十元鈔票。分好了，還會剩下一張五十元鈔票，把五十元換成五張十元的鈔票，這樣每個人又可以分到一張十元鈔票。就這樣分完了八百元，依照這樣的方法再來分剩下的二十七元。生活中，我們對物品平均分配時，從大單位開始分往往比從小單位開始分更方便。因此，從大數據的算法來看，從高位算起的計算規(guī)則是通用法則，它適用于所有類型的除法。

計算法則的建立不是讓學生機械式的套用，而是允許學生自然選擇算法，自主建構法則，從而發(fā)現不管是加法、減法和乘法的低位算起，還是除法的高位算起，先人總結這樣的計算法則無非是為了計算的通用性更廣闊，計算的程序性更優(yōu)化，計算的過程性更簡潔。

四、拆數析理，探索規(guī)律特征

對于小學生來說，數學教師是他們進入數學世界的媒介，數學世界中奇妙的數學規(guī)律與豐富的數學知識都需要經由教師的幫助才能被他們深度理解。在教學中教師要善于啟發(fā)，并引導學生用嚴謹準確的數學語言表達出來，分享探索的樂趣，培養(yǎng)學習的動力。

在學習《2、5的倍數特征》時，教材通過讓學生在百數表中進行圈數、框數，在觀察比較中探究發(fā)現2、5的倍數特征。但在教學《3的倍數特征》時，學生發(fā)現2、5的倍數特征無法遷移到3的倍數特征上。這是為什么呢？

從2、5的倍數特征上溯源，一個數如果2個2個地分，或者5個5個地分，剛好分完，沒有余數，這個數就是2或5的倍數。為什么看個位的數就可以了呢？我們可以從位值制原理進行分析。一個多位數可以拆分為若干個千、百、十、個（一）組合的數，如果忽略個位上的數，其他數位上的數合起來最終都能轉化為幾個“十”，而10是2和5的倍數，所以2和5的倍數特征只要看個位上的數就可以了。那為什么3的倍數特征不能這樣套用呢？從本質上看，個級以上的數拆分為幾個“十”，10不是3的倍數，因此個級上的數是不是3的倍數則更加遑論。

那么如何探索3的倍數特征呢？我們同樣可以從位值原理拆數分析。例如222個小方塊可以拆分為2個百、2個十和2個一。我們將2個百再拆分為100+100，100÷3，最后還余下1，2個百就余2。同理，2個十分為10+10，10÷3，最后余1，2個十就余2。最后將百位、十位上和個位上剩余的2相加等于6，6是3的倍數，所以222是3的倍數。

也就是說，一個數，按數位從高到低，我們可以將它拆分為若干個計數單位相加（如四位數abcd=1000a+100b+10c+d），再把這些計數單位上的數拆分成若干個最小的單元（如9百拆分為9個1百），然后把最小單元（如1000、100、10）除以3，最終都會剩下1，有幾個最小單元就剩下幾（如9000就剩下9，700就剩下7，60就剩下6……）因此，3的倍數特征是看各個數位上的余數之和還能否繼續(xù)被3整除。

五、實踐操作，深化面積本質

羅鳴亮老師在《做一個講道理的數學教師》中提出：數學教學不但要向學生展示既定的數學知識，而且必須能夠解釋其中的道理。

數學知識是抽象的,小學生的思維以形象性為主，如何化解其中的矛盾？動手操作是溝通其中的橋梁之一。組織實踐操作、自主探究，讓學生在手腦并用中發(fā)現、思考、分析、歸納思維，從而獲得概念、深化認知。

例如《長方形和正方形的面積》一課，在教學之前有些學生對長方形的面積公式已經爛熟于心，但對這公式是怎么來的卻鮮為人知。

為此，在教學中，我將重點調整為引導發(fā)現公式的由來。課堂中我讓學生剪下若干1平方厘米的小正方形進行鋪填活動。并結合課本附頁的格子圖讓學生說說自己的實踐思路：

1.我勾畫的格子圖長是幾厘米？寬是幾厘米？

2.我用面積單位為1平方厘米的小正方形進行鋪填，一行擺了幾個小正方形？為什么只能擺這么多個？可以擺幾列小正方形？為什么只能擺這么多列？

3.我一共用了幾個小正方形將格子圖鋪滿？怎樣計算？就是多少平方厘米？

4.鋪填的小正方形的總面積與長方形格子圖的面積有什么聯(lián)系？

本節(jié)課中，我立足學生已有的認知基礎，以問題為驅動，以操作表征思維，使學生對知識進行深層思考，通過實踐操作，學生理解了長方形的長與每行的小正方形個數、寬與每列的小正方形個數的對應關系，以及行與列的小正方形個數與小正方形總個數的關系，小正方形總個數的面積與長方形格子圖面積的對應關系。從而深化長方形的面積本質就是“數一數、算一算有幾個這樣標準的面積單位”，為后續(xù)學習其他平面圖形的面積推導公式找到生長點。

六、綜合運用，提升空間思維

長方形的面積公式是平面圖形基礎，我們在學習三角形、平行四邊形、梯形的面積時，無一不是將它們轉化為長方形再計算。

六年級的練習中有一道題：在下面的平行線間畫一個三角形、一個平行四邊形和一個梯形，使它們的面積相等。

圖3 平行線

這是一道典型的“等積變形”模型。兩條平行線之間的距離是相等的，也就是說所畫的三角形、平行四邊形和梯形，它們是共高的，并且三個平面圖形面積相等，變量就是它們底邊的長度。回顧三角形和梯形的面積公式推導過程，都可以用兩個完全相同的三角形或者梯形拼成一個平行四邊形，因此三角形和梯形的面積公式都是底（梯形上、下底的和統(tǒng)稱為底）×高÷2。

反觀上面的練習，在等積共高的條件下，三角形和梯形的底邊長度應該一致。在教學中通過課件直觀演示，將梯形上底的一個端點演繹為一個動點，當這個動點平移到上底與下底相等的距離時，梯形就變換成了平行四邊形，平行四邊形可以看作上底和下底相等的梯形；動點繼續(xù)平移，當動點與上底的另一個端點重合時，梯形就變換成了三角形。三角形可以看作是上底為0的梯形。

通過變形演示，學生觀察發(fā)現梯形的面積公式（上底+下底）÷2是萬能公式，它兼容低配版的平行四邊形、三角形公式，甚至基礎版的矩形面積公式。因此，在共高的條件下，只要三角形、平行四邊形、梯形的底邊之和都相等，這三個圖形的面積就相等。

史寧中教授說：智慧體現在過程之中。在本質上，智慧并不表現在經驗的結果上，而表現在經驗的過程中，表現在思考的過程中。講道理的方式是思考的過程、是經驗的總結。講道理的習慣要從小培養(yǎng)，講道理的課堂要一以貫之，引導學生在知理、析理、明理、說理中培養(yǎng)思維的清晰性、批判性、深刻性，提升數學學科素養(yǎng)。