溫“故”引問題，知“新”悟通法
——以“雙垂法解對角(直角)互補模型”為例

謝玲玲

(濉溪縣城關中心學校 安徽淮北 235100)

一、教學設計

(一)溫“故”

法國著名的數(shù)學家、哲學家笛卡爾曾經(jīng)說過：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則?！睌?shù)學解題亦應如此，我們解決過的每一個問題都應為我們解決其他問題提供經(jīng)驗。下面以八年級解決過的一道題為例：

問題1：如圖1，在△中，∠=90°，=,現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點放在的中點處，兩直角邊分別與、相交于點、。求證：=。

追問：若三角板繞旋轉(zhuǎn)，與邊、相交于點、上面的結(jié)論還成立嗎？

圖1

設計意圖：借用笛卡爾的名言導入，開門見山，同時點明了本節(jié)課的主題——溫“故”知“新”，其實這也是解決數(shù)學問題時經(jīng)常用到的方法。從一道八年級解決過的問題出發(fā)，起點低，大部分學生都能夠掌握，追問中加入了旋轉(zhuǎn)，也更能體現(xiàn)模型的本質(zhì)——對角互補。經(jīng)過學生思考以及教師引導、分析其中的基本解法之一雙垂法構造全等三角形的過程，使學生積累了基本的解題經(jīng)驗，為順利解決后面的問題做鋪墊。

(二)知“新”

問題2：如圖2，在△中，∠=90°，=,現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點放在邊上點處，兩直角邊分別與、相交于點、。此時，=還成立嗎？說說你的理由。

圖2

問題3：如圖3，在△中，∠=90°，=4,=3,現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點放在邊上中點處，兩直角邊分別與、相交于點、。此時，與又有怎樣的數(shù)量關系？

圖3

設計意圖：變式是數(shù)學解題教學中最重要的方式，是有意識地讓學生在變化的過程中，多角度地理解問題，發(fā)現(xiàn)不變的內(nèi)核。在問題1的基礎上，問題2、問題3改變點的位置、△的形狀，但核心——對角互補始終不變，目的是讓學生發(fā)現(xiàn)變中的不變——對角(為直角)互補，并思考問題1的解決方法這里能否繼續(xù)使用、得到的結(jié)論是否一致。在環(huán)環(huán)相扣的問題的引領下，讓學生在探究的過程中透過問題表象感悟到模型本質(zhì)，靈活掌握一以貫之的解決方法，以及數(shù)學問題研究中從特殊到一般的思路。

(三)悟通法

問題4：通過上面的研究，你能總結(jié)一下你的發(fā)現(xiàn)嗎？

設計意圖：很多時候?qū)W生在上課聽懂之后，做題時仍存在很多困難，主要是因為學生沒有及時將所學知識內(nèi)化于自己的知識、思想方法體系中，進行融會貫通。因此，方法的歸納、總結(jié)由學生獨立完成，尤為重要。特別是在學生親身經(jīng)歷整個探索過程后，會水到渠成得出對角互補模型的常用解法——向兩邊作垂線即通過雙垂法構造全等、相似三角形。事實上，對角互補在此處可得一對等角，加之作出的垂線必然能得出相似三角形，特殊的就是全等三角形。階段性的回顧、反思能夠及時反饋學生的所思所想，提高學生的歸納、綜合、分析問題的能力，數(shù)形結(jié)合能力，加深了學生對模型本質(zhì)的理解。

問題5：如圖4，在△中，∠=90°，現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點放在邊上點處，兩直角邊分別與、相交于點、。你能說說與的數(shù)量關系與哪些量有關系嗎？

圖4

圖5

問題6：如圖6，Rt△，∠=90°，=4,=3。Rt△，∠=90°，點在上，交于點，交于點。當=2時，=。

圖6

圖7

圖8

(四)再“思”

問題7：回顧今天的整個研究思路，說說你的收獲，你接下來想要研究什么？

設計意圖：大部分同學在解題后便將問題棄之腦后，但解題后的再“思”恰恰是完善知識體系、優(yōu)化解題方法、感悟數(shù)學思想的重要一步。當回顧整個學習過程時，學生會發(fā)現(xiàn)整個過程研究的都是對角是直角的互補模型，進而會思考并提出問題：當對角不再是直角時，上述方法是否可行，讓學生學會在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，真正做到學會學習、學會思考，能夠“以其所知，喻其不知”。

二、幾點思考

(一)關于溫“故”

溫“故”是為了更好地知“新”。溫“故”是調(diào)用學生已有的解題經(jīng)驗，知“新”則是進一步完善學生的知識、方法體系。對于教師而言，學生已積累了一定解題經(jīng)驗，教師須能準確定位，并據(jù)此選擇具有基礎性、生長性、拓展性的問題進行深度挖掘、精心設計，讓學生有撥云見日之感。

如本文選擇的問題的起點就是八年級習題中比較經(jīng)典的一題，大多數(shù)同學都能解決。在“源”題的基礎上，根據(jù)波利亞的《怎樣解題》中提出的解決“變化題目”的方法：普遍化、特殊化、類比以及分解和重組，采用“普遍化”的方法，將三角形的形狀由等腰直角三角形到一般的直角三角形，中點也變?yōu)樯系娜我庖稽c，進行變式，讓學生在解決問題的過程中體會模型本質(zhì)，感悟特殊到一般的思想。這樣，學生不僅學習到一類問題的解決方法，更學習到研究數(shù)學問題的一般思路。

(二)關于雙垂法的認識

2022年版《義務教育數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學?！币虼?，對于幾何對象的研究通常從位置和數(shù)量關系這兩個方面展開，對角互補模型也是如此。除此之外，還應引導學生分析其中存在的基本圖形之間的關系。例如，當對角是直角時(如圖9)，通過向∠兩邊作垂線可得四邊形為矩形，△與△相似。特別的，當點在∠的角平分線上時(如圖10)，△和△是全等的，四邊形是正方形。

圖9

圖10

當對角互補但不是直角時，仍然可得△和△之間存在相似關系(如圖11)；特別的，當在∠的角平分線上時，△全等于△(如圖12)。

圖11

圖12

綜上所述，在對角互補模型中，雙垂法本質(zhì)上就是向角兩邊作垂線構造相似或全等三角形，由對角互補易得、、、四點共圓，因此，在實際考查中對角互補模型也常常與圓結(jié)合考查。此類題目綜合性較強、難度較大，對學生綜合運用知識的能力要求較高。

(三)悟自然之法——通法

本文所選取的只是學生想得到的、易于接受的解題方法。即便是這樣，讓學生“悟”出通法也是存在一定難度的，只有學生親身經(jīng)歷探索、歸納、總結(jié)、應用等全過程，才能體悟到不變的解法源于深刻認識模型本質(zhì)。

數(shù)學解題歷來有“通法”和“巧解”之分，“通法”體現(xiàn)的是對一般規(guī)律的概括，有助于學生理解問題本質(zhì)、舉一反三；“巧解”體現(xiàn)的則是具體問題具體分析，能夠幫助學生迅速解題，二者都很重要。若從學生的角度考慮，能夠想得到的、適用性廣的方法才是好的方法，因此，教師還需在引導學生把握通法的同時，探究問題特殊性和普遍性的聯(lián)系，培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)新性。

最后，溫“故”知“新”也是以學定教的過程，學生并不是腦袋空空地進入課堂，而是已經(jīng)具備一定的知識和能力基礎，教師需要找到恰當?shù)闹R起點，才能激發(fā)學生繼續(xù)探索的興趣。尤其是習題課，學生對習題課的認知還停留在做題上，而“題?！睉?zhàn)術只能消磨學生的個性、學習興趣，僵化學生的思維，所以設計節(jié)奏緊湊、自然又層層深入的教學過程，能讓學生體會到研究數(shù)學問題的一般思路，享受解題帶來的快樂。溫“故”也能系統(tǒng)化學生所學知識，特別是當解題遇到阻礙時，及時溫“故”，也不失為一種好方法。