注重“四性”理解，發(fā)展運算能力

■ 宋顯慶

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出，運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進(jìn)行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度。

運算能力發(fā)展的主要知識內(nèi)容載體為數(shù)與代數(shù)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》把這部分內(nèi)容分為數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算和常見的量。在此基礎(chǔ)上，“新課標(biāo)”根據(jù)主題結(jié)構(gòu)化的特征做了相應(yīng)的整合，整合后的內(nèi)容分為數(shù)與運算和數(shù)量關(guān)系，把常見的量融入綜合與實踐，原來的探索規(guī)律、式與方程、正比例、反比例全部歸整為數(shù)量關(guān)系。這樣調(diào)整以后，更加凸顯了知識學(xué)習(xí)主題結(jié)構(gòu)化的三個基本特征，即整體性、一致性和階段性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最大價值就是應(yīng)用，解決現(xiàn)實問題以凸顯實踐應(yīng)用性。教學(xué)中，突出“四性”的理解有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和運算能力的發(fā)展。形成整體性和一致性教學(xué)理解需要教師有足夠的數(shù)學(xué)學(xué)科知識儲備和主動實踐的意識。

一、階段性與實踐應(yīng)用性理解：數(shù)與代數(shù)教學(xué)要尊重學(xué)生發(fā)展規(guī)律，要聯(lián)系生活實際合理解決問題

“新課標(biāo)”認(rèn)為，階段性理解主要從學(xué)業(yè)要求的階段性、思維水平的階段性、核心素養(yǎng)的階段性分別提出具體的要求，體現(xiàn)的是學(xué)生運算能力培養(yǎng)的發(fā)展性，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該合理把握教學(xué)內(nèi)容的度；實踐應(yīng)用性反映的是學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的靈活運用，在解決現(xiàn)實問題時能夠選擇合理的運算策略快速準(zhǔn)確地解決問題。

教學(xué)過程中，教師需要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，有效利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，找到合理的教學(xué)支架，引導(dǎo)學(xué)生利用多元化的學(xué)習(xí)方式展開學(xué)習(xí)，體悟自主學(xué)習(xí)和遷移類推思想。在解決實際問題的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)知識來解決現(xiàn)實問題，要充分體現(xiàn)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，發(fā)展學(xué)生解決問題的關(guān)鍵能力和培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

“新課標(biāo)”同時要求，實踐應(yīng)用要關(guān)注學(xué)科知識的主題性應(yīng)用和跨學(xué)科知識的項目化應(yīng)用。“雙減”背景下，為了提高課堂教學(xué)效率和作業(yè)效率，教師可以從主題性應(yīng)用和跨學(xué)科項目化應(yīng)用角度，開發(fā)一些實踐性作業(yè)供學(xué)生選擇使用，以發(fā)展學(xué)生綜合實踐應(yīng)用能力。

二、整體性理解：數(shù)的認(rèn)識是基礎(chǔ)，意義、性質(zhì)、關(guān)系、運算是一個整體，突出結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

運算能力的發(fā)展離不開相應(yīng)基礎(chǔ)知識、技能的學(xué)習(xí)和理解，教學(xué)中，教師要站在學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的高度進(jìn)行知識、技能的教學(xué)，要突出學(xué)生的整體性理解，要為學(xué)生運算能力的發(fā)展奠基。數(shù)的認(rèn)識要加強(qiáng)從意義的理解這個角度去整體認(rèn)識數(shù)，無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，不同數(shù)域內(nèi)數(shù)的性質(zhì)、關(guān)系以及運算之間都有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)中教師既要幫助學(xué)生理解不同數(shù)的特點與區(qū)別，更要幫助學(xué)生尋找其本質(zhì)理解。另外，對于數(shù)的運算方法及解決問題策略的選擇也要突出整體性認(rèn)識，方法突出多樣性，但本質(zhì)理解要突出一致性，做到異中求同抓本質(zhì)，同中求異顯靈活?；谝陨系恼w性理解，運算能力發(fā)展的基本架構(gòu)可以用圖1 來表示。運算能力的發(fā)展歷經(jīng)基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握和理解等知識的形成，再到進(jìn)行應(yīng)用解決問題的知識輸出的過程，體現(xiàn)的是學(xué)生能力的逐步形成與發(fā)展的過程。

圖1

比如四則運算，加法是最基本的運算，減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生看似學(xué)了四種不同的運算，但是實際上就是一種運算，其他運算只是加法運算的變式而已。教學(xué)中教師突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性，既能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，又能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，這也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要體現(xiàn)。

我們來看一個具體案例，在“加法的認(rèn)識”教學(xué)中，教材中從兩只小猴子摘桃子數(shù)量的多少引入，提出問題：“比一比，誰摘的桃子多？”搭建學(xué)生學(xué)習(xí)新知的“支架”，之前學(xué)習(xí)1～5 的認(rèn)識時，學(xué)生已經(jīng)理解了數(shù)字表示基數(shù)的具體含義，教師設(shè)問旨在喚醒學(xué)生已有認(rèn)知。接著，教師利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：“如果要兩只小猴子摘的桃子一樣多，怎么辦？”讓學(xué)生初步理解加法的含義，初步感受到通過加法可以建立兩個量之間的相等關(guān)系。這種本質(zhì)含義的理解顯然通過死記硬背是無法達(dá)到的，需要引導(dǎo)學(xué)生充分利用已有的關(guān)于數(shù)的意義的知識，量的大小即個數(shù)（計數(shù)單位的初步印象）、多少關(guān)系的理解與數(shù)字符號的抽象表達(dá)，再結(jié)合現(xiàn)實的生活情境和學(xué)生已有的生活經(jīng)驗才能達(dá)到整體的構(gòu)建效果，才能促進(jìn)學(xué)生對加法含義的真正理解。

三、一致性理解：從數(shù)的認(rèn)識到數(shù)的運算，要突出計數(shù)單位參與運算的一致性

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)運算實際上就是數(shù)字符號的計數(shù)單位意義在十進(jìn)制下的累加規(guī)則和記錄方法，以追求正確、靈活、合理、簡捷為顯著特征，但是教學(xué)要凸顯一致性理解，淡化技能技巧的機(jī)械化和重復(fù)性的訓(xùn)練，落實“雙減”政策，向課堂要質(zhì)量。

數(shù)的認(rèn)識的一致性理解是學(xué)生認(rèn)識數(shù)、記錄數(shù)、運算數(shù)的重要基礎(chǔ)。教學(xué)中，一方面要加強(qiáng)與學(xué)生緊密聯(lián)系或者熟悉的真實情境的創(chuàng)設(shè)，讓抽象化的理解更加具體，有助于學(xué)生加深對數(shù)的意義的理解與掌握，幫助學(xué)生建立數(shù)與現(xiàn)實生活中數(shù)量的一一對應(yīng)關(guān)系，發(fā)展符號化意識。比如10以內(nèi)、20 以內(nèi)甚至100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從具體數(shù)量與數(shù)字符號的對應(yīng)逐步走向十進(jìn)位值的符號化理解，尤其要突出數(shù)字符號在不同數(shù)位所表示的數(shù)量意義，凸顯規(guī)則的價值，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，發(fā)展學(xué)生的抽象思維?！靶抡n標(biāo)”明確指出，學(xué)生“能夠在真實情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序”。意義的理解其本質(zhì)就是數(shù)字加計數(shù)單位來表示數(shù)量的意義及價值體現(xiàn)。如自然數(shù)的教學(xué)，教師要讓學(xué)生理解幾個幾、幾個十、幾個百、幾個千等計數(shù)單位的逐步擴(kuò)大，實際上是根據(jù)現(xiàn)實需要，在一定的規(guī)則下，能夠用有限的數(shù)字符號來記錄無限的數(shù)量。

比如，在教學(xué)“10的認(rèn)識”時，教師可以利用前面已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，從現(xiàn)實數(shù)量的對應(yīng)或者利用加法的意義幫助學(xué)生明白10的組成和現(xiàn)實意義，教師要引領(lǐng)學(xué)生去理解10 跟以前學(xué)過的1～9這9個數(shù)字符號的不同，因為10是第一個利用兩個數(shù)字符號來記錄數(shù)量的數(shù)。因此，幫助學(xué)生初步理解這樣記錄的意義和價值是重要的，也是數(shù)字化認(rèn)識的一次重要的飛躍。教學(xué)中，教師可以通過具體情境結(jié)合生活實例引入十進(jìn)制，同時幫助學(xué)生初步理解數(shù)位的意義，也就是位值制，初步理解數(shù)字放在不同的數(shù)位上可以表示不同的量。

【教學(xué)片段】

10的認(rèn)識（人教版數(shù)學(xué)教材一年級上冊）

師：教室里有幾個小朋友？

生：9個。

師：現(xiàn)在又進(jìn)來1 個，教室里的小朋友數(shù)量是多少？

生：10。

師：哪里還有10？找一找、數(shù)一數(shù)。

……

師：“10”可以怎樣表示？用你們喜歡的方式表示。

師：同學(xué)們有很多想法，但是為什么書上要用原來學(xué)過的數(shù)字1和0表示10呢？

生：繼續(xù)創(chuàng)造不同的符號，但是如果有很多物體時，比如11,12……就得使用更多的符號，比較麻煩也不容易記憶。

師：說得太好了，現(xiàn)在我們只需要用0～9這10個數(shù)字就能表示出所有的數(shù)。請大家試著從0～9中選兩個數(shù)字組成一個新的數(shù)。

師：我用1 根木棒或1 個物體來表示1 個10 可以嗎？

生：不行。因為1根木棒、1個物體只能表示1。

生：可以，但這1根木棒或1個物體要放在十位上。

（學(xué)生展示想法）

師：科學(xué)家們根據(jù)同學(xué)們的想法，研究發(fā)明了我們現(xiàn)在看到的計數(shù)器。

（學(xué)生觀察計數(shù)器）

師：在計數(shù)器上同學(xué)們看到了什么？

生：個位和十位。

圖2為甲烷水合物生成過程中溫度-壓力與相平衡曲線關(guān)系圖。圖2中所示曲線分別為273.75 K、273.85 K和273.95 K 3種水浴溫度下甲烷水合反應(yīng)過程的實驗結(jié)果和由CSM-HYD軟件計算的相平衡理論數(shù)據(jù)擬合曲線。由圖2可知，在AB階段，釜內(nèi)的p-T體系處于相平衡區(qū)域之外，尚未達(dá)到甲烷水合反應(yīng)的相平衡條件，此時釜內(nèi)處于甲烷相和水相的二相混合狀態(tài)。

師：在個位上撥1顆珠子表示什么？

生：1個1。（1）

師：在十位上撥1顆珠子表示？

生：1個10。（10）

師：都是1顆珠子，為何表示的數(shù)卻不一樣呢？

生：因為它們的位置不一樣。（滲透位值制）

師：那在個位上撥9顆珠子它表示什么？

生：9個1。（9）

師：個位有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個1。

師：9個1再添上1個1就是什么？

生：10個1。

師：10個1也就是1個10。

師：1 個10 在計數(shù)器上怎么表示？（滲透十進(jìn)制）

生：在十位上撥1顆珠子。

師：十位上有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個10。

師：10和我們以前學(xué)的數(shù)有什么不同？

生：10是兩位數(shù)，我們原來學(xué)的0～9都是一位數(shù)。

生：10是由我們原來學(xué)過的1和0組成的，它比1和0都要大。

生：10 里面的1 放在十位表示1 個10，如果在個位就表示1個1。

師：如果一個數(shù)的十位和個位都是1，這個數(shù)是多少？

生：11。

師：你們還可以舉出更多的這樣表示的數(shù)嗎？寫在草稿紙上。

問題討論雖然結(jié)束，但教師的最后一個問題具有開放性，學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)的知識舉出更多的數(shù)，學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗是很豐富的，有的學(xué)生甚至可以數(shù)到100。通過上述教學(xué)，學(xué)生就會慢慢理解原來數(shù)出來的數(shù)就是這樣表示的，會有一種豁然開朗的感覺。

數(shù)的運算的一致性理解就是對運算的意義及計數(shù)單位參與計算的規(guī)則的理解，這種理解不可能一蹴而就，需要持續(xù)的關(guān)注和有效的引領(lǐng)。小學(xué)階段數(shù)的運算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算，要加強(qiáng)對橫向（不同數(shù)領(lǐng)域）與縱向（同一數(shù)領(lǐng)域）運算的聯(lián)系與區(qū)別的理解，要突出理解數(shù)的運算的本質(zhì)就是計數(shù)單位的“累加”。

在數(shù)的運算教學(xué)中，橫式計算是基礎(chǔ)，也是算理，可以通過基本算理解決一些簡單問題。筆算是另外一種更為簡便的計算方法，尤其在解決稍微復(fù)雜的計算時相當(dāng)有效，方法、方式是可以多樣的，但是本質(zhì)理解還是要以口算基礎(chǔ)，即基本算理；更為復(fù)雜的計算當(dāng)然還可以通過計數(shù)器等高科技手段來解決，而這種方式就完全看不見算理，只以追求結(jié)果和解決問題為目的，強(qiáng)調(diào)的是高效率。而運算教學(xué)的數(shù)學(xué)育人價值并非追求這樣的結(jié)果，更多的體現(xiàn)在追求這種結(jié)果的過程中，發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的育人價值，滲透嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硭季S，發(fā)展解決問題的高效能力，這就是數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。

結(jié)合以上“四性”的教學(xué)理解，基于學(xué)生運算能力發(fā)展的課堂教學(xué)，教師要充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，采取探究式、啟發(fā)式等課堂教學(xué)方式，讓學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中學(xué)會主動學(xué)習(xí)。教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生去理解和關(guān)聯(lián)相關(guān)知識，讓學(xué)生在逐步形成知識體系的過程中，學(xué)會自主關(guān)聯(lián)，學(xué)會遷移類推，學(xué)會思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決現(xiàn)實問題。體現(xiàn)的是學(xué)生對基礎(chǔ)性知識的理解掌握、結(jié)構(gòu)化認(rèn)知、創(chuàng)新綜合性應(yīng)用，發(fā)展的是學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格。