地磁場中電子束結(jié)構(gòu)運(yùn)動的橫向約束與周期振蕩

焦鹿懷, 葛亞松， 張?jiān)r(nóng)， 郭英杰， 馮明航， 付松

1 武漢大學(xué)電子信息學(xué)院空間物理系， 武漢 430072 2 中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所， 北京 100029 3 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

0 引言

地球磁層和電離層空間中存在著大量的帶電粒子束結(jié)構(gòu).一般而言，自然形成的帶電粒子束通常來源于波粒相互作用引起的粒子沉降或等離子體不穩(wěn)定性(Boehm et al., 1995).這些帶電粒子束通常具有很高的動能和很強(qiáng)的方向性，不僅會影響空間環(huán)境和空間天氣，還可以通過充放電效應(yīng)、輻射損傷和單粒子效應(yīng)等對人造衛(wèi)星和宇航員安全造成潛在危害(Hastings, 1995; Castello et al., 2018).科學(xué)家們通過觀測、解析理論以及數(shù)值模擬來研究帶電粒子束的形成、演化和消亡等物理過程，分析帶電粒子束的時空分布演化及重要物理機(jī)制，進(jìn)一步深入理解帶電粒子束對地球空間環(huán)境和人類太空活動的影響.

相對論電子束的特性及其與空間等離子體的相互作用可以應(yīng)用于諸多空間物理學(xué)基礎(chǔ)問題的研究中.地面與空間等離子體實(shí)驗(yàn)中往往利用電子束作為自由能的來源，通過其與實(shí)驗(yàn)室或空間等離子體相互作用產(chǎn)生不同類型的等離子體不穩(wěn)定性，從而激發(fā)與地球空間中類似的多類波動(Banks and Raitt, 1988; Reeves et al., 2020).以往研究發(fā)現(xiàn)電子束與等離子體相互作用可激發(fā)諸如哨聲模、伯恩斯坦模、朗繆爾模等波模(An et al., 2016; Farrell et al., 1989; Reeves et al., 1988; Starodubtsev and Krafft, 1999; Starodubtsev et al., 1999; Winglee and Kellogg, 1990)，是研究空間等離子體波動激發(fā)與傳播機(jī)制的一個重要手段.在地球磁層輻射帶區(qū)域，這些波動與輻射帶粒子的相互作用是地球輻射帶粒子動力學(xué)演化的主要機(jī)制 (Thorne, 2010).輻射帶是近地空間磁層區(qū)域由百keV到數(shù)十MeV電子質(zhì)子組成的，地磁暴等地磁活動或者人為源可引起輻射帶電子通量的劇烈變化，對地球空間環(huán)境安全造成危害(Baker, 2001; Horne and Thorne, 2003).來自太陽風(fēng)和電離層的粒子在磁暴期間通過波粒相互作用和徑向傳輸而加速，然后被束縛在1.5～5個地球半徑區(qū)域(Horne et al., 2005; Shprits et al., 2008a,b).這些粒子中一部分會沉降到大氣中(Bortnik et al., 2006; Green et al., 2004; Lorentzen et al., 2001; Millan et al., 2002; Millan and Thorne, 2007; O′Brien et al., 2004; Thorne et al., 2010).早期研究表明，波粒相互作用可以導(dǎo)致電子的投擲角擴(kuò)散進(jìn)而使它們沉降到大氣中(Kennel and Petschek, 1966; Thorne and Kennel, 1971)，因此，理解波粒相互作用導(dǎo)致輻射帶電子損失的物理過程與機(jī)理對認(rèn)識輻射帶時空變化具有重要的科學(xué)意義，對預(yù)報(bào)災(zāi)害性空間天氣現(xiàn)象也具有重要的應(yīng)用價值. 近期研究表明空間甚低頻波動可以有效散射和沉降輻射帶粒子(Fu et al., 2019, 2020; Gu et al., 2020; Hua et al., 2020; Inan et al., 1984, 2003; Ma et al., 2020; Ni et al., 2013, 2014, 2019, 2022; Zhang et al., 2018; Zhao et al., 2019)，然而如何將甚低頻波高效地傳輸?shù)捷椛鋷б约捌渌芰苛Ｗ訁^(qū)域還是一個重要的挑戰(zhàn).自然環(huán)境中存在很多甚低頻波段的波，比如嘶聲波、合聲波和閃電激發(fā)的哨聲波，輻射帶中0.1～10 MeV電子可以與0.1～10 kHz的甚低頻哨聲模波發(fā)生共振.如在地球等離子體層外，離散的哨聲波組成的哨聲模合聲波頻率范圍為0.1～1fce(fce為電子回旋頻率，約100 Hz～5 kHz).在赤道面附近激發(fā)的哨聲模合聲波可以與電子相互作用，造成10 keV量級電子的投擲角擴(kuò)散和沉降，產(chǎn)生脈沖極光(Lessard, 2012).哨聲模合聲波在傳播到高緯度區(qū)域后可與百keV和幾個MeV量級電子產(chǎn)生共振而造成其投擲角擴(kuò)散(Lorentzen et al., 2001; Horne and Thorne, 2003; Thorne et al., 2005).因此，甚低頻哨聲模波可在不同區(qū)域與較大能量范圍的電子相互作用，并造成其散射沉降.

由于衛(wèi)星對空間自然存在的甚低頻波和輻射帶能量粒子分布存在觀測局限性，因此主動控制不同能量和投擲角的電子注入實(shí)驗(yàn)成為研究空間甚低頻波激發(fā)機(jī)制和波粒相互作用過程的重要方法(Reeves et al., 2020).其中使用人工調(diào)制的(通過改變發(fā)射角和能量)相對論電子束來激發(fā)VLF波是一種能夠?qū)⑤椛鋷щ娮由⑸涞綋p失錐的有效方法，是目前此領(lǐng)域一個非?；钴S的研究方向.前期對人工注入相對論電子束的動力學(xué)理論、不穩(wěn)定性和損失的研究(Pritchett et al., 1989; Khazanov et al., 1999a, 1999b, 2000)已經(jīng)表明此類實(shí)驗(yàn)研究可加深我們對波粒相互作用過程的認(rèn)識，并逐漸成為輻射帶與空間環(huán)境研究中一個熱點(diǎn)領(lǐng)域.

過去的電子束實(shí)驗(yàn)遇到了諸多挑戰(zhàn)，例如在太空環(huán)境中電子束注入航天器表面時，航天器的快速充電效應(yīng)會影響電子束本身的準(zhǔn)確度，以及粒子束與背景等離子體的相互作用效果等(Scanchez et al., 2019).這些問題的解決需要我們對電子束和等離子體相互作用基本過程進(jìn)行更加深入的了解，包括粒子鞘區(qū)的形成與波動場的擾動、等離子體與中性粒子的相互作用、波粒相互作用和非線性現(xiàn)象等(Neubert and Banks, 1992)，同時需要加深對電子束電荷電流中和問題的理解(Humphries, 1990).SCATHA航天器的電子束實(shí)驗(yàn)研究了磁層等離子體和keV電子之間的相互作用，發(fā)現(xiàn)對于較低能量束流，等離子體可以提供返回電流來保證航天器電勢低于束縛電子束所需的電勢，從而可以完成電子束的有效發(fā)射；但當(dāng)電子束能量高于keV量級后，大部分電子會回到了航天器.這種情況下可能造成航天器損傷甚至失靈等嚴(yán)重后果(Scanchez et al., 2019).因此，對空間帶電粒子束的動力學(xué)特性和物理機(jī)制的深入了解是進(jìn)行電子束實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ).

空間帶電粒子束在傳播過程中的結(jié)構(gòu)演化對其激發(fā)空間波動和波粒相互作用都有著重要的影響，尤其是其在地球磁場中的傳播特性尚不清楚.空間中帶電粒子束在運(yùn)動過程中受到空間中背景磁場作用而偏轉(zhuǎn)，粒子受洛倫茲力而繞磁力線回旋，粒子間因庫倫斥力而相互遠(yuǎn)離即粒子束因空間電荷效應(yīng)而發(fā)散，因此這是一個多物理機(jī)制耦合的物理過程.針對此問題常見的研究方法有基于粒子束傳輸?shù)慕馕隼碚撉蠼獍j(luò)方程來研究粒子束的演化(Sacherer, 1971)，以及基于單粒子運(yùn)動理論的試驗(yàn)粒子模擬方法求解單粒子運(yùn)動軌跡來研究粒子束軌跡(Northrop and Marshak, 1964).第一種方法適用于研究無背景磁場下粒子束空間電荷效應(yīng)，但難以描述粒子束對磁場的響應(yīng)；第二種方法可以研究帶電粒子束的運(yùn)動對背景磁場的響應(yīng)，但無法研究粒子間的空間電荷效應(yīng).粒子云網(wǎng)格法(particle-in-cell，PIC)方法可以有效彌補(bǔ)上述兩種方法的不足，既可以描述粒子對磁場的響應(yīng)，同時可以通過求解泊松方程來描述粒子束空間電荷效應(yīng).因此粒子云網(wǎng)格法能夠有效地求解粒子的時空分布，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于空間物理學(xué)、可控核聚變和天體物理學(xué)的研究中.

本文基于靜電模式的PIC方法，對平行于背景磁場下的帶電粒子束演化進(jìn)行了模擬.發(fā)現(xiàn)了平行于強(qiáng)背景場(3900 nT)運(yùn)動的帶電粒子束在橫向結(jié)構(gòu)上出現(xiàn)了約束與振蕩現(xiàn)象，并通過單粒子追蹤對這一現(xiàn)象的驅(qū)動物理機(jī)制進(jìn)行了分析討論.

1 模型與方法

粒子云網(wǎng)格法被廣泛應(yīng)用于帶電粒子束狀態(tài)演化的模擬，可以同時定量計(jì)算由靜電力產(chǎn)生的帶電粒子自場效應(yīng)和由洛倫茲力產(chǎn)生的帶電粒子對背景磁場的響應(yīng)，從而研究地球空間環(huán)境帶電粒子束受自場和背景磁場的聯(lián)合效應(yīng).我們開發(fā)了針對粒子束動力學(xué)過程的靜電模式PIC程序(馮明航等，2021; 以下簡稱beamPIC)，具體實(shí)現(xiàn)方法如下：對計(jì)算空間進(jìn)行網(wǎng)格化后，(1)將粒子電荷分配到格點(diǎn)上；(2)求解網(wǎng)格格點(diǎn)上的電磁場；(3)通過插值得到粒子處的電磁場；(4)使用Boris算法求解牛頓洛倫茲方程，對粒子位置進(jìn)行更新.以上為一個時間步長上程序的主循環(huán)，當(dāng)計(jì)算粒子束運(yùn)動到達(dá)預(yù)設(shè)的終止距離或超出計(jì)算域邊界時結(jié)束模擬計(jì)算.模擬中的關(guān)鍵部分包括場與粒子的耦合(即電荷與電磁場的分配)、空間電磁場的求解、粒子運(yùn)動方程的求解.

1.1 場與粒子的耦合

粒子云網(wǎng)格法先把粒子電荷分配到網(wǎng)格格點(diǎn)上，然后將對整個空間中電磁場和粒子運(yùn)動狀態(tài)的求解轉(zhuǎn)化為對有限的網(wǎng)格格點(diǎn)處電磁場的求解，再將電磁場分配到粒子處驅(qū)動粒子，大大降低了計(jì)算需求.實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格上的電磁場和任意空間位置的粒子的互相耦合是粒子云網(wǎng)格法的核心思想，這種耦合過程在模擬中一個時間步上采用兩次插值算法來實(shí)現(xiàn).

(1)電荷的分配

將空間中的電荷分配到網(wǎng)格格點(diǎn)處，(1)式展示了分配方法：

(1)

式中xg為格點(diǎn)位置，xp為粒子位置，ρ(xg)為格點(diǎn)處電荷密度，ρp為空間中粒子的電荷密度，W(x)為權(quán)重函數(shù).

在計(jì)算中采用廣泛使用的權(quán)重函數(shù)CIC(Cloud In Cell)，其噪聲明顯小于更低階方法噪聲，而其計(jì)算量也遠(yuǎn)低于高階方法并能獲取類似的計(jì)算效果.CIC方法表達(dá)式如下:

(2)

(2)電磁場的分配

計(jì)算得到網(wǎng)格格點(diǎn)處的電磁場后，通過插值方法將其分配到粒子處.為了避免單個粒子產(chǎn)生對自身的作用力，電磁場的分配應(yīng)采用和電荷分配同樣的方法.以電場為例，分配方法如下：

(3)

其中權(quán)重函數(shù)W(x)為(2)式.

1.2 電磁場方程的求解

在本文研究的具體物理場景下，感生磁場相較于背景磁場可以忽略，因此使用背景磁場作為計(jì)算域的空間磁場.靜電模式下針對空間電荷效應(yīng)的PIC程序中，電場反映了粒子束的空間電荷效應(yīng)，可以通過求解電勢來間接得到.本文采用格林函數(shù)法求解泊松方程來獲得空間中的電勢分布.電勢可以表示為

×ρ(x′,y′,z′)dx′dy′dz′，

(4)

其中，φ為電勢，G為三維空間點(diǎn)電荷電勢的格林函數(shù)，ρ為電荷密度分布函數(shù)，(x,y,z)為場點(diǎn)坐標(biāo)；(x′,y′,z′)為源點(diǎn)坐標(biāo).本文研究的是自由空間中帶電粒子束在磁場下的結(jié)構(gòu)演化，因此選用開放邊界條件，格林函數(shù)為

G(x,x′,y,y′,z,z′)

(5)

模擬的空間范圍為三維空間中的長方體，三個方向上的尺寸分別為Lx,Ly,Lz,將三個方向分別離散化為Nx,Ny,Nz個格點(diǎn)，空間網(wǎng)格點(diǎn)上的電勢可以由下式給出：

zk-z′n)ρ(x′l,y′m,z′n)，

(6)

1.3 粒子運(yùn)動方程的求解

在我們的模擬中，粒子的三維空間坐標(biāo)以cΔt為基準(zhǔn)進(jìn)行了無量綱化r= (x/cΔt,y/cΔt,z/cΔt)，粒子動量以mc為基準(zhǔn)進(jìn)行了無量綱化p=(px/mc,py/mc,pz/mc)，Δt為全粒子模擬的時間步長，c為真空中光速，m為電子靜止質(zhì)量.帶電粒子運(yùn)動滿足牛頓-洛倫茲方程，其形式如下:

(7)

Boris算法具體過程分為以下幾個步驟:

(8)

pt-Δt/2為t-Δt/2時刻的粒子動量，(8)式計(jì)算了半個時間步長上電場力對粒子的加速作用.

(9)

(10)

與(8)式相照應(yīng)，(10)式計(jì)算了另半個時間步長上電場對粒子的加速作用，至此一個時間步長上粒子動量的更新完成，使用更新后的粒子動量計(jì)算一個時間步長上的粒子位移，即可得到新的粒子空間坐標(biāo).

1.4 模擬設(shè)定

我們以粒子束前進(jìn)方向?yàn)閦軸正方向，建立三維笛卡爾坐標(biāo)系.平行于z方向?yàn)榭v向，垂直于z方向?yàn)闄M向.在本工作的全粒子模型中，我們使用的網(wǎng)格數(shù)為128×128×128.由于我們所模擬的是電子束的運(yùn)動傳輸過程，我們以電子束結(jié)構(gòu)的參考粒子為中心，使用可變的模擬區(qū)域，讓模擬區(qū)域的尺寸隨電子束所占據(jù)的空間尺寸變化而變化.具體而言，在一個時間步上，我們可以計(jì)算得到電子束所有粒子的空間位置坐標(biāo)，再以粒子束所占據(jù)最大空間范圍(3個維度)的120%為下個時間步的模擬區(qū)域.這樣，每個時間步上的模擬空間區(qū)域均集中在電子束結(jié)構(gòu)的附近并覆蓋電子束所在空間區(qū)域，從而最大化地節(jié)省空間網(wǎng)格所占用的計(jì)算資源.

在束流理論中，針對粒子束運(yùn)動過程中的空間分布、發(fā)散情況等有一系列參數(shù)用以衡量粒子束的運(yùn)動狀態(tài)，本文主要考察粒子束的RMS(Root Mean Square，均方根)橫向尺寸和RMS偏轉(zhuǎn)角這兩個參數(shù).定義這兩個參數(shù)，需要選取參考粒子作為基準(zhǔn)，本文取全部粒子的空間坐標(biāo)的平均值作為參考粒子的坐標(biāo).

RMS橫向尺寸用于衡量粒子束在橫向的空間分布情況，RMS橫向尺寸越大說明粒子束粒子在橫向的空間分布越分散，以x方向的RMS尺寸為例，其定義式如下:

(11)

式中uxi=xi-xrefer，i=1, 2,…,N.uxi表示任意一個粒子的空間坐標(biāo)相對于參考粒子坐標(biāo)的差值，描述了該粒子相對于參考粒子在空間上的偏離程度.

RMS偏轉(zhuǎn)角用于衡量粒子束在橫向的發(fā)散趨勢，RMS偏轉(zhuǎn)角越大說明粒子束在接下來的運(yùn)動中橫向的空間分布會變得更發(fā)散.以x方向的RMS偏轉(zhuǎn)角為例，其定義式如下:

(12)

初始粒子束共有電子50×104個.粒子的能量為0.1 keV，能量分散為1%.粒子位置、動量的橫向初始分布為高斯分布，橫向均方根尺寸為5 mm，橫向均方根偏轉(zhuǎn)角為0.001 mrad，粒子縱向均方根尺寸5 mm.具體而言，在模擬計(jì)算中，各個電子初始位置坐標(biāo)受橫向和縱向均方根尺寸(5 mm)約束并滿足隨機(jī)的高斯分布.以下的所有模擬計(jì)算均以此為粒子束初始分布.

1.5 可靠性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證我們所開發(fā)的粒子云模擬算法的可靠性，我們將beamPIC的模擬結(jié)果與ASTRA(A Space Charge Tracking Algorithm)(Floettmann, 2017)進(jìn)行了對比分析.ASTRA程序是由德國電子同步加速器研究所(Deutsches Elektronen Synchrotron，DESY)發(fā)布的一套基于PIC算法的空間粒子束運(yùn)動模擬程序，能夠計(jì)算帶電粒子束的空間電荷效應(yīng)等集體自場效應(yīng)，被廣泛應(yīng)用于帶電粒子束的仿真研究.需要說明的是，ASTRA根據(jù)粒子束流的特性對計(jì)算進(jìn)行了假設(shè)與簡化.ASTRA基于束流空間電場緩慢變化的假設(shè)，并沒有在每一個時間步上都對空間電荷效應(yīng)重新計(jì)算，而是根據(jù)電子束的分布對電磁場系數(shù)進(jìn)行縮放.ASTRA程序通過對計(jì)算的假設(shè)與簡化節(jié)約了計(jì)算的時間成本，但犧牲了部分計(jì)算精度.beamPIC程序在每個時間步上都進(jìn)行了全三維空間的計(jì)算，模擬精度更高，適用范圍更廣.

粒子初始分布均采用1.4節(jié)給出的初始分布，設(shè)定背景磁場為0 nT，兩種算法的模擬結(jié)果如圖1所示.圖1展示了無背景磁場條件下，初始分布為高斯分布的0.1 keV 電子束的ASTRA結(jié)果(紅色實(shí)線)與beamPIC結(jié)果(藍(lán)色圓圈).以RMS橫向尺寸和RMS偏轉(zhuǎn)角作為對比項(xiàng)，在電子束運(yùn)動100 m距離上進(jìn)行比較.beamPIC結(jié)果和ASTRA結(jié)果RMS橫向尺寸隨電子束前進(jìn)距離變化都接近線性增長，在電子束前進(jìn)至100 m時，RMS橫向尺寸約為1.1 m.RMS偏轉(zhuǎn)角都先迅速增加，然后在電子束前進(jìn)至5 m后逐漸趨于穩(wěn)定，在電子束前進(jìn)至100 m時，RMS偏轉(zhuǎn)角約為11.2 mrad.上述結(jié)果表明beamPIC與ASTRA兩套程序計(jì)算結(jié)果有良好的一致性.

圖1 ASTRA(紅色實(shí)線)與beamPIC(藍(lán)色圓圈)模擬的電子束運(yùn)動過程中的RMS橫向尺寸與RMS偏轉(zhuǎn)角Fig.1 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams simulated by ASTRA (red solid line) and beamPIC (blue circle)

2 模擬結(jié)果

2.1 電子束平行于強(qiáng)背景磁場運(yùn)動的橫向振蕩

選取地球偶極子場模型L-shell為2時的地球磁場作為背景磁場(此時背景磁場大小為3900 nT，下文中稱強(qiáng)磁場)，同時取背景磁場大小的十分之一作為新的背景場(下文中稱弱磁場)用以對比.我們對比了電子束平行于背景磁場運(yùn)動時，不同強(qiáng)度背景磁場下電子束的演化，發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)背景磁場下，電子束橫向尺寸先發(fā)散后收縮，電子束存在橫向振蕩現(xiàn)象.圖2展示了無磁場(0 nT)、弱磁場(390 nT)、強(qiáng)磁場(3900 nT)三種背景場下電子束運(yùn)動方向與背景磁場方向平行時運(yùn)動100 m過程中RMS橫向尺寸與RMS偏轉(zhuǎn)角變化.無背景磁場時粒子RMS橫向尺寸接近線性增加，在電子束前進(jìn)100 m時RMS橫向尺寸約為1.1 m.弱磁場下RMS橫向尺寸在電子束前進(jìn)0～50 m時比較接近無背景場情況，50 m之后開始明顯小于無磁場情況，在電子束前進(jìn)100 m時RMS橫向尺寸約為1.05 m.強(qiáng)磁場下RMS橫向尺寸在電子束前進(jìn)至28 m時到達(dá)峰值約0.19 m，然后在前進(jìn)至55 m時下降至接近0 m，接著在前進(jìn)至82 m時到達(dá)峰值約0.19 m，呈現(xiàn)先增大后減小的周期性變化.三種背景場條件下RMS偏轉(zhuǎn)角均先迅速增加，然后在電子束z向前進(jìn)至5 m后逐漸保持穩(wěn)定.強(qiáng)磁場下電子束z向前進(jìn)至55 m時RMS偏轉(zhuǎn)角有小擾動.由圖2還可以清楚看到，強(qiáng)背景磁場(3900 nT)下，從RMS橫向尺寸的結(jié)果上，我們可以明顯看到電子束的橫向振蕩現(xiàn)象，RMS橫向偏轉(zhuǎn)角有小擾動，發(fā)生擾動時電子束恰好完成一次振蕩循環(huán).而在無背景場和弱背景磁場(390 nT)下，從RMS橫向尺寸的結(jié)果上，沒有觀察到電子束的橫向振蕩現(xiàn)象.

圖2 0 nT(紅色星標(biāo))、390 nT(藍(lán)色圓圈)和3900 nT(黑色實(shí)線)三種背景磁場下電子束運(yùn)動過程中的RMS橫向尺寸與RMS偏轉(zhuǎn)角Fig.2 The RMS transverse size and RMS deflection angle of the moving electron beams with three different magnetic fields: 0 nT (red star), 390 nT (blue circle), and 3900 nT (black solid line)

為了更清晰地展示橫向振蕩現(xiàn)象，圖3給出了橫向振蕩過程中電子束橫向分布.圖3a展示了電子束前進(jìn)0～100 m過程中RMS橫向尺寸變化，t0時刻電子束處于初始狀態(tài)；t1時刻電子束前進(jìn)至14 m處，處于第一個RMS橫向尺寸上升區(qū)間；t2時刻電子束前進(jìn)至28 m處，達(dá)到第一個RMS橫向尺寸峰值；t3時刻電子束前進(jìn)至41 m處，處于第一個RMS橫向尺寸下降區(qū)間；t4時刻電子束前進(jìn)至55 m處，達(dá)到第一個RMS橫向尺寸谷值，完成一個振蕩周期；t5時刻電子束前進(jìn)至69 m處，處于第二個RMS橫向尺寸上升區(qū)間；t6時刻電子束前進(jìn)至82 m處，達(dá)到第二個RMS橫向尺寸峰值；t7時刻電子束前進(jìn)至95 m處，處于第二個RMS橫向尺寸下降區(qū)間.圖3b—i展示了t0至t7時刻電子束的橫向分布.t0至t2時刻電子束橫向尺寸不斷變大，在t2時刻橫向尺寸達(dá)到最大，半徑約為0.4 m.t2到t4時刻電子束橫向尺寸不斷變小，在t4時刻最小，此時完成一次振蕩循環(huán)，之后電子束橫向尺寸如此往復(fù)變化.在電子束平行于背景磁場運(yùn)動過程中，電子束在橫向明顯出現(xiàn)了先膨脹后收縮的周期性變化，即橫向振蕩現(xiàn)象.

圖3 電子束運(yùn)動過程中橫向尺寸和空間分布的演化情況其中(a)電子束運(yùn)動中RMS橫向尺寸變化，t0-t7為選取的特征時刻； (b)—(i) 對應(yīng)(a)中t0-t7時刻的電子束空間分布情況.Fig.3 The evolution of RMS transverse size and spatial distribution of the travelling electron beam(a) shows the change of the RMS transverse size, here t0-t7 are the selected characteristic moments; (b)—(i) show the evolution of the spatial distribution at t0-t7 defined in (a).

2.2 單粒子運(yùn)動軌跡追蹤與分析

為了探究平行于背景磁場運(yùn)動時電子束橫向振蕩現(xiàn)象形成的物理機(jī)制，我們隨機(jī)選取粒子，追蹤電子束平行于背景磁場運(yùn)動過程中該粒子的橫向位置、動量和所受作用力等物理信息.追蹤粒子的橫向初始位置為x0=0.0078 m,y0=0.0071 m, 追蹤粒子的橫向動量以mc為基準(zhǔn)進(jìn)行了歸一化處理，px/mc=2.6408×10-8,py/mc=2.1115×10-8，下文所討論的追蹤粒子均以此粒子為例.圖4a—c展示了追蹤粒子的橫向偏移距離、橫向的位置與動量信息，t0至t4時刻與圖3中t0至t4相同.圖4d中藍(lán)色實(shí)線為追蹤粒子的第一個振蕩周期的軌跡擬合成的圓，藍(lán)色星標(biāo)為t0至t4時刻追蹤粒子的位置.如圖4a所示，振蕩過程中隨著z向距離增加，粒子的橫向坐標(biāo)變化呈現(xiàn)周期性，形狀類似正弦曲線；粒子橫向動量在初始的一段時間迅速增大，這是由于空間電荷效應(yīng)電子間庫倫斥力使電子加速，之后呈現(xiàn)周期性變化，形狀類似正弦曲線；粒子軌跡在x-y平面接近圓，于是我們推測磁場在粒子振蕩過程中占主導(dǎo)作用.

圖4 追蹤粒子在運(yùn)動過程中橫向截面上的位置、動量和軌跡變化(a) 追蹤粒子在橫向上偏離參考粒子的距離； (b)和(c) 分別為追蹤粒子在橫向截面上的位置和動量； (d) 為追蹤粒子在橫向截面上的運(yùn)動軌跡.Fig.4 The evolution of the position, momentum, and trajectory of the selected particle in the transverse plane(a) shows the distance between the tracing particle and the reference particle at the transverse plane; (b) and (c) show the evolution of the position and momentum of the selected electron at the transverse plane; (d) shows the trajectory of the electron at the transverse plane.

為了進(jìn)一步分析電子束振蕩過程的物理機(jī)制，驗(yàn)證粒子振蕩過程中磁場的主導(dǎo)作用，我們分析了追蹤粒子的受力情況.圖5(a，b)分別展示了追蹤粒子的x向和y向所受洛倫茲力、電場力以及合外力，其中洛倫茲力由追蹤粒子速度和背景磁場計(jì)算得到，電場力由粒子間相對位置計(jì)算得到，合外力為二者之和.以圖4d中藍(lán)色實(shí)線所代表的粒子軌跡擬合圓的圓心為原點(diǎn)，構(gòu)建圓坐標(biāo)系，圖5c展示了追蹤粒子在圓坐標(biāo)系中徑向和切向受力，圖5d展示了追蹤粒子在徑向所受洛倫茲力、電場力以及合外力.從圖5(a，b)中可以看出在開始 0～2 m距離內(nèi)，電子所受靜電斥力(紅色實(shí)線)開始遠(yuǎn)大于洛倫茲力(藍(lán)色實(shí)線)，電子總受力(綠色實(shí)線)由靜電斥力支配，而且靜電斥力隨著電子束橫向尺寸變大而迅速降低.之后2～100 m距離中，電子所受靜電斥力一致接近于0， 而電子總受力由洛倫茲力支配.只有在電子束完成一個振蕩周期時(即55 m附近)，由于電子束的橫向尺寸變小匯聚，因此靜電斥力才相對變大.綜上可知，靜電斥力主要是在電子束運(yùn)動的初始發(fā)散階段起主要作用，而洛倫茲力在之后的電子束橫向振蕩過程中起主要作用.從圖5c可以看出粒子前進(jìn)5 m后，粒子受力主要在徑向且?guī)缀醣３植蛔?，結(jié)合圖5d中徑向受力的貢獻(xiàn)主要來自洛倫茲力，這也證實(shí)了電子束振蕩過程中洛倫茲力占主導(dǎo)作用.

圖5 追蹤粒子的橫向受力情況(a)和(b) 分別為橫向截面上追蹤粒子運(yùn)動過程中在x和y方向上所受洛倫茲力(藍(lán)色實(shí)線)、靜電斥力(紅色實(shí)線)和合力(綠色實(shí)線)； (c) 為追蹤粒子在運(yùn)動過程中的徑向受力(藍(lán)色實(shí)線)與切向受力(紅色實(shí)線)； (d) 為追蹤粒子徑向所受的洛倫茲力(藍(lán)色實(shí)線)、靜電斥力(紅色實(shí)線)和合力(綠色實(shí)線).Fig.5 Transverse force of the selected electron(a) and (b) show the Lorenz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line); (c) shows the radial force (blue solid line) and the tangential force (red solid line); (d) shows the Lorentz force (blue solid line), electrostatic force (red solid line), and total force (green solid line) along the radial direction.

為了更清晰地展示追蹤粒子運(yùn)動過程中所受場的作用，圖6展示了隨著時間的推進(jìn)，參考粒子在z向前進(jìn)0、0.5、1 和2 m時空間中電子束結(jié)構(gòu)的電場分布情況.左邊兩列為以參考粒子為中心，電子束結(jié)構(gòu)在x-y平面(即橫向截面)上Ex和Ey，第三列為x-z平面(即縱向截面)上的Ez.需要說明的是，第三列的橫坐標(biāo)Δz為相對于參考粒子的z向空間坐標(biāo).紅色(或綠色)圓圈指出了追蹤粒子的位置.追蹤粒子位置處的電場值如表1所示，將表中電場值的等值線在圖6中用白色虛線表示.以追蹤粒子位置處的Ex為例，參考粒子前進(jìn)0、0.5、1和2 m時，對應(yīng)的Ex分別為5.5414、2.2650、0.7338和0.1904 V·m-1，可以看出隨著粒子的前進(jìn)，粒子周圍電場迅速下降，驗(yàn)證了圖5中電場力在模擬開始的0～2 m內(nèi)占主導(dǎo)作用且在迅速下降這一結(jié)論.等值線對應(yīng)的電場值是由圖5中電場力(即根據(jù)粒子位置計(jì)算得到的靜電斥力的解析值)計(jì)算得到.圖6中電場分布是由全粒子模擬得到的.追蹤粒子恰好位于電場等值線上，表明全粒子模擬得到的電場與解析方法計(jì)算得到的電場一致，驗(yàn)證了beamPIC程序的可靠性.

表1 追蹤粒子分別位于0、0.5、1和2 m處所對應(yīng)的橫向電場Table 1 Transverse electric fields on the tracing particle at 0, 0.5, 1 and 2 m, respectively

圖6 電子束的參考粒子運(yùn)動至0、0.5、1和2 m時束結(jié)構(gòu)的空間電場分布(a)—(d) 表示參考粒子從0運(yùn)動至2 m，從左到右三列依次代表橫截面上的電場Ex和Ey以及縱截面上的電場Ez，顏色代表電場強(qiáng)度.圓圈代表追蹤粒子所處位置，白色虛線為電場的等值線.Fig.6 The spatial distribution of the electric field when the reference particle reaches 0, 0.5, 1 and 2 m(a) to (d) show the electric field when the reference particle moving at 0 to 2 m, respectively. From left to right, the three columns represent the electric fields Ex and Ey on the transverse plane, and Ez on the longitudinal plane, respectively. The color represents the electric field strength. The circle shows the position of the tracing-particle, and the white dash line is the contour line of the electric field.

2.3 不同背景磁場下驗(yàn)證對橫向振蕩現(xiàn)象的物理解釋

為了證實(shí)平行于背景磁場運(yùn)動的電子束橫向振蕩現(xiàn)象是洛倫茲力所驅(qū)動，我們增大背景磁場強(qiáng)度，并將結(jié)果與原振蕩現(xiàn)象進(jìn)行對比分析.圖7展示了將背景磁場分別調(diào)整為原來(3900 nT)的2倍(7800 nT)和5倍(19500 nT)后與原來RMS橫向尺寸的對比.電子束仍出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象，RMS橫向尺寸隨背景磁場增強(qiáng)而減小.背景磁場為7800 nT時，RMS橫向尺寸的谷值出現(xiàn)在電子束前進(jìn)28、55和82 m處，平均一個周期內(nèi)電子束前進(jìn)距離為27.33 m；當(dāng)背景磁場為19500 nT時，RMS橫向尺寸的谷值出現(xiàn)在電子束前進(jìn)11、22、33、44、55、66、77、88和99 m處，平均一個周期內(nèi)電子束前進(jìn)距離為11 m.

圖7 不同背景磁場下電子束的RMS橫向尺寸對比藍(lán)色實(shí)線, 紅色實(shí)線以及綠色實(shí)線分別代表背景磁場為3900，7800以及19500 nT的結(jié)果.Fig.7 Comparison of the RMS transverse sizes of electron beams with different magnetic fields Blue solid line, red solid line, and green solid line represent the results of 3900, 7800, and 19500 nT, respectively.

基于本文中所提出的洛倫茲力支配電子束振蕩現(xiàn)象這一物理解釋，我們可以計(jì)算電子回旋周期作為電子束振蕩周期，進(jìn)而推斷出一個振蕩周期中電子束前進(jìn)距離的預(yù)期值.我們還可以推斷出當(dāng)背景磁場為原來的n倍時，振蕩周期變?yōu)樵瓉淼?/n，一個振蕩周期中電子束前進(jìn)的距離會變?yōu)樵瓉淼?/n.例如，0.1 keV電子的速度為5.93×106m·s-1，在平行于3900 nT的背景磁場運(yùn)動時，電子回旋周期為9.16×10-6s，在一個橫向回旋周期內(nèi)前進(jìn)的距離為54.32 m，模擬結(jié)果中電子束RMS橫向尺寸的谷值出現(xiàn)在55 m處，與此相吻合.當(dāng)背景磁場由3900 nT增大至2倍即7800 nT時，電子回旋周期變?yōu)?.58×10-6s，模擬結(jié)果中平均一個周期內(nèi)電子束前進(jìn)距離為27.33 m，與理論值54.32/2 m=27.16 m較為吻合.當(dāng)背景磁場由3900 nT增大至5倍, 即19500 nT時，電子回旋周期變?yōu)?.83×10-6s，模擬結(jié)果中平均一個周期內(nèi)電子束前進(jìn)距離為11 m，與理論值54.32/5 m=10.86 m也較為吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了振蕩現(xiàn)象是洛倫茲力支配電子運(yùn)動產(chǎn)生的集體效應(yīng).

3 結(jié)論與討論

本文基于PIC方法，對平行于背景磁場運(yùn)動的電子束結(jié)構(gòu)的時空演化進(jìn)行模擬，發(fā)現(xiàn)強(qiáng)磁場(3900 nT)下電子束出現(xiàn)了橫向振蕩現(xiàn)象，并進(jìn)一步對該現(xiàn)象背后的物理機(jī)制進(jìn)行了探究，給出了合理的解釋并予以證實(shí).在相同輸入的條件下，我們計(jì)算對比了我們所開發(fā)的beamPIC程序與開源ASTRA程序的結(jié)果，證明了beamPIC程序的可靠性.對比無磁場、弱磁場(390 nT)和強(qiáng)磁場(3900 nT)下的模擬結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)強(qiáng)磁場下電子束橫向尺寸先發(fā)散后收縮，電子束存在橫向振蕩現(xiàn)象.為了進(jìn)一步探究電子束橫向振蕩現(xiàn)象的形成原因，我們隨機(jī)追蹤了模擬過程中某個粒子的位置和動量變化，發(fā)現(xiàn)在模擬過程初期的短時間內(nèi)，粒子動量迅速增加，之后粒子動量和位置呈周期性變化，形狀類似正弦曲線，且粒子的橫向軌跡十分接近圓.我們對追蹤粒子的受力分析結(jié)果表明電子束的靜電自場力是初期電子動量快速增加的主要原因，之后洛倫茲力是產(chǎn)生電子束振蕩現(xiàn)象的主導(dǎo)因素.通過增大背景磁場強(qiáng)度，我們發(fā)現(xiàn)電子束振蕩周期與理論預(yù)期吻合很好，進(jìn)一步證實(shí)了振蕩現(xiàn)象是洛倫茲力支配粒子運(yùn)動產(chǎn)生的集體效應(yīng).

本文主要結(jié)論如下：

(1)基于PIC方法對平行于背景磁場運(yùn)動的電子束結(jié)構(gòu)演化進(jìn)行了模擬，發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)背景磁場(L=2,B0=3900 nT)情況時電子束(Ek=0.1 keV)出現(xiàn)了橫向方向上的約束與周期性振蕩現(xiàn)象.當(dāng)電子束沿磁力線運(yùn)動時，其RMS橫向尺寸先變大，到達(dá)峰值后又逐漸變小，然后再變大，如此反復(fù).

(2)通過追蹤電子束中單個電子并分析其空間坐標(biāo)、動量和受力情況，我們發(fā)現(xiàn)在電子束前進(jìn)0～2 m過程中，粒子間電場力占主導(dǎo)作用，且隨電子束前進(jìn)距離迅速下降，在電子束前進(jìn)2 m后，洛倫茲力占主導(dǎo)作用，振蕩現(xiàn)象主要發(fā)生在這一階段，說明是洛倫茲力驅(qū)動振蕩現(xiàn)象.

(3)改變背景磁場強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)電子束橫向振蕩周期符合理論預(yù)期，證實(shí)了振蕩現(xiàn)象是洛倫茲力支配粒子運(yùn)動產(chǎn)生的集體效應(yīng).當(dāng)背景磁場為原來的n倍時，振蕩周期變?yōu)樵瓉淼?/n，一個振蕩周期中電子束前進(jìn)的距離變?yōu)樵瓉淼?/n，模擬結(jié)果符合理論預(yù)期.

上述研究結(jié)果表明特定能量(本文中為0.1 keV)的電子束在沿著特定背景磁場(本文中為3900 nT)運(yùn)動中其橫向運(yùn)動會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，這種振蕩現(xiàn)象是由洛倫茲力支配粒子運(yùn)動所產(chǎn)生的集體效應(yīng).為了簡化問題，本文只探討了電子束前進(jìn)方向與背景磁場方向夾角為0、電子束能量為0.1 keV這一特定情況，同時驗(yàn)證了beamPIC模型可以準(zhǔn)確有效地模擬帶電粒子束在地球磁場環(huán)境下的運(yùn)動特征和結(jié)構(gòu)演化.在接下來的研究中我們將進(jìn)一步研究不同夾角、不同能量的粒子束空間結(jié)構(gòu)在不同背景磁場強(qiáng)度和分布情況下演化情況，以獲取人工調(diào)制帶電粒子束在真實(shí)地球磁場下的傳播特性.