“直觀模型”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值追問(wèn)
——兼談“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的直觀圖示

□劉加霞

運(yùn)用“直觀模型”①直觀模型指小棒、計(jì)數(shù)器、平面圖形及其面積圖、線段圖或者數(shù)線等直觀材料。其本質(zhì)重在“幾何直觀”而非“模型思想”。直觀模型叫“直觀示意圖”更恰當(dāng)，或者叫“直觀圖示”，叫“直觀圖式”則不妥。圖式（schema）是哲學(xué)或者認(rèn)知心理學(xué)中的專有名詞，有特定含義。似乎是小學(xué)階段學(xué)習(xí)運(yùn)算意義、理解算理的“必備武器”，即計(jì)算教學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)的“直觀模型是幫助學(xué)生理解算理的一種重要方式”［1］。直觀模型一定有助于學(xué)生理解算理嗎？學(xué)生讀懂“直觀模型”本身是否就很難？測(cè)評(píng)時(shí)要求學(xué)生“畫圖表示計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果”是否是高水平抑或是“無(wú)理”要求？如何對(duì)學(xué)生的“圖畫作品”進(jìn)行評(píng)分呢？再進(jìn)一步追問(wèn)，直觀模型的育人價(jià)值到底是什么？教師在教學(xué)中如何辯證地使用直觀模型？這一系列問(wèn)題需要結(jié)合案例條分縷析地解釋和說(shuō)明。

一、引子：“畫圖表示計(jì)算過(guò)程與結(jié)果”適合紙筆測(cè)評(píng)嗎？

下面是某地區(qū)六年級(jí)期末檢測(cè)的一道題以及對(duì)某學(xué)生作答的評(píng)分情況（如圖1）。某學(xué)校教學(xué)主任向筆者“求救”：

圖1

老師，我的同事問(wèn)我“為啥要扣2分”？（滿分4分）

同事們又追問(wèn)我“題目中不是讓‘畫圖’表示嗎，為啥要寫出分?jǐn)?shù)的“數(shù)字符號(hào)”？學(xué)生理解題意沒錯(cuò)呀”。

該主任無(wú)奈地問(wèn)我：老師，我該怎么解釋呀？老師們“打起來(lái)”了。

過(guò)了一段時(shí)間該主任又問(wèn)我：老師，下面這道題（如圖2）該不該扣分？我覺得應(yīng)該扣分，但領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“別扣分了”。我徹底糊涂了！

如何解決該主任的困惑與“痛苦”呢？為何“不應(yīng)該扣分的卻扣分，應(yīng)該扣分的卻不扣分”呢？第二題學(xué)生的作答顯然要扣分的，因?yàn)闆]有“直觀表示”出“9+1”。當(dāng)然，這樣的“題目”適合作為紙筆作業(yè)或測(cè)評(píng)任務(wù)嗎？是否是領(lǐng)導(dǎo)意識(shí)到不應(yīng)該用“畫一畫你的計(jì)算過(guò)程”這樣的問(wèn)題來(lái)“難為學(xué)生”，所以學(xué)生畫成圖2那樣也不扣分？

圖2

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題是否扣分爭(zhēng)議確實(shí)很大。通過(guò)對(duì)一線教師進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)他們的答案主要有三類即劉曉婷［2］文中的前三種，幾乎沒有后三種。也就是說(shuō)一線教師的答案跟該學(xué)生的答案基本一致，看來(lái)教師作答該題也很難得到“滿分”。到底如何“畫圖”，連教師“都有不同觀點(diǎn)”甚至“都拿不準(zhǔn)”，為何要測(cè)評(píng)學(xué)生呢？即使測(cè)評(píng)了，哪種畫法算是“標(biāo)準(zhǔn)答案”呢？如何制定“寬容的”評(píng)分規(guī)則呢？

畫直觀圖示的根本目的是什么呢？用“直觀圖”表示計(jì)算過(guò)程與結(jié)果對(duì)學(xué)生而言是“容易”還是“更困難”？操作“直觀模型”得到計(jì)算結(jié)果本身是一種算法，既然“允許算法多樣化”，那為何要求所有的學(xué)生都會(huì)“畫圖”呢？這是否是小學(xué)數(shù)學(xué)教育悖論？如此看來(lái)，需要進(jìn)一步追問(wèn)“直觀模型”是什么、承載哪些價(jià)值。

二、追問(wèn)：“直觀模型”是什么？?jī)r(jià)值何在？

（一）什么是直觀模型？

如前所述，直觀模型是各類直觀的、有結(jié)構(gòu)或無(wú)結(jié)構(gòu)的可視化材料，具體指小棒、計(jì)數(shù)器、平面圖形及其面積圖、線段圖、數(shù)線等直觀材料。運(yùn)用直觀模型是指用“畫圖、列表”等可視化方式“表示”出思考過(guò)程、數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵和問(wèn)題解決過(guò)程的手段。既然是“表示”，不同的人就有不同的表示方法，即有“人為約定”的成分。例如，關(guān)于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，人教版教材六年級(jí)上冊(cè)［3］中采用圖3中的表示方法，北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)［4］中采用圖4中的表示方法，都能直觀解釋其運(yùn)算意義、計(jì)算過(guò)程與結(jié)果，不能說(shuō)“誰(shuí)對(duì)、誰(shuí)錯(cuò)”，各有其合理性。

圖4

北師大版教材“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的情境”中，沒有具體的數(shù)量，第一個(gè)因數(shù)表示“陰影部分占整個(gè)圖形的（用虛線表示平均分4份）”，“陰影”與“整個(gè)圖形”都是“客觀存在”，再將其“平均分4份”，必然是“陰影”與“整個(gè)圖形”同時(shí)被“平均分4份”，用“實(shí)線”表示第二次“平均分4份”的過(guò)程。

之所以闡述上述內(nèi)容，只想強(qiáng)調(diào)當(dāng)脫離現(xiàn)實(shí)情境，用“畫圖”表示“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時(shí)，沒必要糾纏用“實(shí)線”還是“虛線”表示平均分、第二次平均分一定要先“平均分陰影部分”再“平均分整體”，也就不能說(shuō)只有像人教版教材那樣畫圖才算“正確”，而北師大版教材那樣畫圖是“錯(cuò)誤”，實(shí)際教學(xué)中一定不用“嚴(yán)格”區(qū)分這些不同的畫圖方法。只要學(xué)生的“思考過(guò)程”是正確的就行，畢竟畫圖有“約定成分”，不同的“直觀圖示”可能表示了“相同的思考過(guò)程”，不存在唯一正確的“圖示”。如果將“畫圖”作為考試內(nèi)容來(lái)檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，評(píng)分規(guī)則一定要遵循“寬容原則”，畫出圖1的學(xué)生不應(yīng)該被扣2分。

用直觀模型表示能揭示“運(yùn)算本質(zhì)”嗎？顯然不能。它只是理解運(yùn)算意義、算法與算理的表征方式之一，還有其他不同的表征方式。例如，鞏子坤［6］提出分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算有三種表征方式：直觀表征、抽象表征、形式表征。直觀模型或直觀圖示是表征計(jì)算過(guò)程的方式之一，它首先是一種直觀表征，當(dāng)學(xué)生能夠借助直觀操作（直觀圖示）解釋、說(shuō)明計(jì)算的道理可稱之為“借助直觀模型理解算理”。如果學(xué)生沒有“解釋、說(shuō)明計(jì)算道理”的行為，只是根據(jù)數(shù)的意義、運(yùn)算的意義而畫出直觀圖示、通過(guò)“計(jì)數(shù)”得到計(jì)算結(jié)果，這時(shí)的直觀操作就是一種算法。

每種直觀模型各有其現(xiàn)實(shí)情境背景，又有“約定”的成分，為何非讓學(xué)生“洞察”到各種不同直觀圖示的差別甚至判斷出“誰(shuí)對(duì)、誰(shuí)錯(cuò)”呢？即使通過(guò)訓(xùn)練學(xué)生能夠掌握各種“畫圖”，但有必要嗎？因?yàn)槔斫膺\(yùn)算的意義、算法與算理本來(lái)就有不同的方式或途徑，直觀模型只是其中的一種，是“手段”不是“目的”，教育中把“手段”當(dāng)作“目的”豈不是“本末倒置、南轅北轍”？

（二）直觀模型對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值

使用直觀模型能夠?qū)W(xué)生“內(nèi)隱的”思考“外顯化”，便于學(xué)習(xí)過(guò)程中的交流討論與分享，這一點(diǎn)已為廣大教師所認(rèn)同。它的另外兩方面價(jià)值也需要廣大教師關(guān)注和了解。

1.通過(guò)“計(jì)數(shù)”直觀材料獲得正確的計(jì)算結(jié)果是算法多樣化的根本保證

四則運(yùn)算源于“計(jì)數(shù)”，即“數(shù)出”計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，人們對(duì)“數(shù)出”的結(jié)果“堅(jiān)信不疑”，這類似于“公理”，即不再追問(wèn)計(jì)數(shù)出的結(jié)果“為什么正確”。由于所有運(yùn)算都是“一一映射”即“操作”兩個(gè)運(yùn)算對(duì)象（數(shù)）之后，能得到唯一的“數(shù)”與之對(duì)應(yīng)，也就是所有運(yùn)算的結(jié)果都具有唯一性。運(yùn)算結(jié)果唯一性，是運(yùn)算可以“算法多樣化”的前提。通過(guò)不同的計(jì)算方法或方式得到的結(jié)果如果相同，就說(shuō)明每一種算法都是正確的。如果某種算法與其他算法得到的結(jié)果不同，說(shuō)明該算法“出錯(cuò)”了，需要重新計(jì)算或者檢查計(jì)算過(guò)程是否是某一步驟“出錯(cuò)”，所謂“出錯(cuò)”就是違背了數(shù)或運(yùn)算的意義、不符合運(yùn)算的性質(zhì)或定律，更可能是“看錯(cuò)數(shù)”即改變了運(yùn)算對(duì)象。

當(dāng)用不同算法得到的結(jié)果不同時(shí)，學(xué)生才有“理解算理”的需求，有借助“直觀模型”檢查或解釋每一步計(jì)算是否正確，從而感悟到直觀模型的作用。在學(xué)生已經(jīng)正確計(jì)算也能夠口頭解釋每一步的道理的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生“直觀操作”，或者考試時(shí)專門考查“畫一畫計(jì)算過(guò)程”都不是數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的。這易導(dǎo)致學(xué)生厭惡數(shù)學(xué)，畢竟“畫圖”比“口算、列式計(jì)算”更麻煩。當(dāng)然，如果是作為“過(guò)程性評(píng)價(jià)”的檢測(cè)題，要求“畫一畫計(jì)算過(guò)程”也是必要的。

2.用直觀模型“定義”分?jǐn)?shù)乘法

伍鴻熙［7］認(rèn)為，分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)該舍棄“現(xiàn)實(shí)意義”，以“定義”的方式界定分?jǐn)?shù)乘法的含義。他給出了分?jǐn)?shù)乘法的兩個(gè)“定義”或稱之為“解釋”：

前述這兩個(gè)定義都可以看作是分?jǐn)?shù)乘法的直觀模型——面積模型、數(shù)線模型，但是，目前現(xiàn)行的各個(gè)版本的教材中沒有直接“定義”分?jǐn)?shù)乘法，而是基于分?jǐn)?shù)意義以及自然數(shù)乘法理解分?jǐn)?shù)乘法。前述兩個(gè)定義脫離現(xiàn)實(shí)背景，比較抽象，尤其是定義2，小學(xué)生較難理解。但是定義1特別值得借鑒，下面簡(jiǎn)要論述。

圖5

再將這個(gè)“單位長(zhǎng)方形”每行擺k個(gè)，擺這樣m行，所得到的就是邊長(zhǎng)為和的矩形，它的面積是mk個(gè)“單位長(zhǎng)方形”即，所以，就得到分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算法則，如圖6所示。

圖6

雖然都用“矩形的面積”表示分?jǐn)?shù)乘法，但是定義1與人教版、北師大版教材上所畫的直觀模型完全不一樣。通俗地說(shuō)，定義1是“根據(jù)定義先得到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的新單位，再計(jì)數(shù)新單位的個(gè)數(shù)”，現(xiàn)行教材是“先規(guī)定‘單位1’，再根據(jù)分?jǐn)?shù)意義以及自然數(shù)的乘法，理解分?jǐn)?shù)乘法”。定義1是先根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法定義產(chǎn)生新單位，再一行一行地排列產(chǎn)生邊長(zhǎng)分別是和的矩形，它的面積就是的乘積?，F(xiàn)行教材的解釋則是先規(guī)定“單位1（單位正方形）”，延垂直方向?qū)⑵淦骄殖蒼份，得到第一個(gè)因數(shù)，新單位是；再將按水平方向平均分l（再次得到新單位，這樣的k份就是按照分?jǐn)?shù)的算子含義即“的就是

伍鴻熙給出的分?jǐn)?shù)乘法定義確實(shí)更為嚴(yán)謹(jǐn)、具有一般意義，可以脫離現(xiàn)實(shí)背景。該定義的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是先進(jìn)行“分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位”得到“新單位”，再計(jì)數(shù)“新單位”的個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的“一致性”。定義了分?jǐn)?shù)乘法之后，再根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”（運(yùn)用代數(shù)推理）得到分?jǐn)?shù)除法的定義以及運(yùn)算法則。正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》[8]中“例16”論證的“為什么4÷2可以寫成”：首先，可以通過(guò)除法運(yùn)算的意義和分?jǐn)?shù)的意義理解它們之間的等價(jià)關(guān)系。其次，根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”“等式性質(zhì)”以及基本事實(shí)“等量的等量相等”即可推理得到最后，根據(jù)表示相加，所以寫成”，再根據(jù)“等量的等量相等”即可證明，也能得到“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

借助直觀模型根據(jù)分?jǐn)?shù)意義以及除法的意義（等分除、包含除）解釋分?jǐn)?shù)除法的算理，還是根據(jù)“商不變的性質(zhì)”或用“除法是乘法的逆運(yùn)算、代數(shù)推理”的方法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法？顯然，最后一種方法的推理過(guò)程非常嚴(yán)謹(jǐn)，每一步都“有根有據(jù)”，但是，小學(xué)生能否“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，到底用哪種方法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法等問(wèn)題都需要在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步研究，成人不能想當(dāng)然地做決定。

三、建議：要正確認(rèn)識(shí)且辯證地使用直觀模型

（一）辯證地看待用“直觀模型”表示思考過(guò)程

布魯納提出學(xué)習(xí)的多元表征理論，即動(dòng)作表征、表象表征與符號(hào)表征，其后Lesh批判并修正了布魯納的多元表征理論，將其分別改為操作模型表征、圖像表征、書面符號(hào)表征，并提出口頭語(yǔ)言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征在學(xué)習(xí)過(guò)程中扮演重要角色，并提出多種表征方式的相互轉(zhuǎn)換[9]。因此，學(xué)生不僅僅要能夠直觀表征，還能通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)來(lái)描述、解釋數(shù)學(xué)概念、技能、性質(zhì)以及規(guī)律等。

直觀模型是動(dòng)作表征、表象表征的“產(chǎn)物”。學(xué)生會(huì)用直觀模型表示自己的思考過(guò)程，讀懂別人的直觀模型，對(duì)他們來(lái)說(shuō)都屬于“較高水平”的要求。因?yàn)橛袝r(shí)候的“直觀”并不“真正的直觀”而是“抽象的直觀”。如“畫一畫9+4的計(jì)算過(guò)程”，學(xué)生通過(guò)口算知道結(jié)果，也知道可以拆分為“9+1+3=13”的湊十法，卻很難畫出“小棒圖”表示這個(gè)計(jì)算過(guò)程。又如，各地區(qū)經(jīng)常檢測(cè)圖7中的題目，如果沒有直觀“點(diǎn)子圖”，很多學(xué)生能否回答豎式中第二個(gè)“部分積”每個(gè)數(shù)字的意義（即能夠解釋算理）？為何非要考查用“點(diǎn)子圖”解釋“豎式中每個(gè)數(shù)字的含義”呢？評(píng)價(jià)的目的難道是“必須用多種方式”計(jì)算？這與用“自己喜歡的方法”不是矛盾嗎？

圖7

學(xué)生能夠用“自己喜歡的方式”理解、完成學(xué)習(xí)任務(wù)是最基本的教育目標(biāo)，即用一種方式正確表達(dá)或解釋即可。能夠用多種表征方式表達(dá)他的理解過(guò)程，說(shuō)明學(xué)生達(dá)到了“深度學(xué)習(xí)、深度理解”，是高水平思維的表現(xiàn)，但不能期望學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)即能達(dá)到這個(gè)水平。

（二）“畫圖表示思考過(guò)程”不適合作為紙筆測(cè)評(píng)的任務(wù)或要求

如前所述，畫“直觀示意圖”的任務(wù)不適合紙筆測(cè)評(píng)。紙筆測(cè)評(píng)時(shí)，學(xué)生畫出來(lái)的都是“結(jié)果”，難以考查學(xué)生的“過(guò)程”，難道只有多畫幾個(gè)“圖”并用“箭頭”表示出“前后畫圖順序”才能表明“過(guò)程”嗎？只有“一幅圖”，也有“畫的過(guò)程（分別用實(shí)線、虛線表示）”只不過(guò)“老師沒有看到”或“沒有讀懂學(xué)生的畫法”，為何就不行呢？顯然糾纏這樣的“問(wèn)題”不是教育的明智之舉。

該類任務(wù)應(yīng)該作為“表現(xiàn)性任務(wù)”用于課堂教學(xué)中，教師可以觀察學(xué)生“畫圖過(guò)程”了解學(xué)生的思維步驟以及難點(diǎn)，直觀模型將學(xué)生“內(nèi)隱的”思考“外顯化”，便于同伴之間、師生之間的交流探討與經(jīng)驗(yàn)分享。

如果非要測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的直觀模型是否理解，用如下方式測(cè)評(píng)更合適：小明用下圖表示了一個(gè)乘法算式的含義，這個(gè)算式是（）。

（三）隨著年級(jí)的升高，直觀模型應(yīng)該逐步“退出”學(xué)習(xí)歷程

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有四個(gè)水平［10］：直觀理解、程序理解、抽象理解與形式理解，它們是循序漸進(jìn)的。由于小學(xué)生的思維是具象的、自我中心的，所以在低年級(jí)需要借助直觀手段理解抽象的數(shù)學(xué)概念、原理等。但隨著學(xué)生年齡增長(zhǎng)，思維越來(lái)越抽象、結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)逐步舍棄直觀操作、直觀模型的支撐，依靠計(jì)算、幾何推理、代數(shù)推理、類比遷移等方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，解決問(wèn)題。

要避免讓高年級(jí)學(xué)生在低水平（前二者）上停留的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的做法，更要避免明明學(xué)生已經(jīng)達(dá)到“抽象理解”，卻非要人為地將他們“拉回”到直觀理解水平的做法。更不適合用“低理解水平”的素材來(lái)測(cè)評(píng)已處于“高理解水平”的學(xué)生，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候不是學(xué)生“不懂”數(shù)學(xué)知識(shí)而是學(xué)生“怕麻煩”不愿意“畫圖”，甚至是學(xué)生“看不懂”題目要求，尤其是一些“人為約定”的直觀圖示。用類似的測(cè)評(píng)任務(wù)得不到真實(shí)的評(píng)價(jià)效果。