學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教學(xué)整合的出發(fā)點(diǎn)
——以北師大版教材四年級(jí)上冊“角的認(rèn)識(shí)”為例

□余慶玲

“學(xué)生立場、單元視角、有機(jī)整合、適度拓展”是實(shí)現(xiàn)“生本課堂”提高教師專業(yè)水平的有效途徑。教學(xué)中，教師需要理清教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系，透析數(shù)學(xué)本質(zhì)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)找準(zhǔn)教學(xué)的著力點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)或內(nèi)容重構(gòu)，幫助學(xué)生建立有結(jié)構(gòu)的知識(shí)體系。按照結(jié)構(gòu)化的思路教學(xué)時(shí)，可聯(lián)結(jié)單元內(nèi)或單元間的內(nèi)容，提升教學(xué)的系統(tǒng)性，以使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有張力和厚度。下面以北師大版教材四年級(jí)上冊“角的認(rèn)識(shí)”相關(guān)內(nèi)容為例，談?wù)勅绾胃鶕?jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)實(shí)施單元教學(xué)整合。

【教學(xué)思考】

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

“角的認(rèn)識(shí)”是平面幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容。教學(xué)前教師自己先要清晰地理解角的概念。在平面幾何中，角有靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種基本定義。角的靜態(tài)定義為：具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。角的動(dòng)態(tài)定義為：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。

理解了角的定義后，可以發(fā)現(xiàn)在本單元教學(xué)內(nèi)容中的“相交與垂直、旋轉(zhuǎn)與角”之間存在著一些隱性的“邏輯關(guān)系”。平行和相交表示的都是兩條直線的位置關(guān)系。可以想象，一條直線在平面上運(yùn)動(dòng)，其基本運(yùn)動(dòng)方式有平移和旋轉(zhuǎn)兩種。一條直線平移后，運(yùn)動(dòng)的起始位置與終止位置的兩條線相互平行。如果在直線上任取一個(gè)點(diǎn)，直線繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，那么直線的起始位置與終止位置的兩條線相交，線相交自然會(huì)形成角。

二、學(xué)習(xí)難點(diǎn)分析

在北師大版教材中，角的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括“認(rèn)識(shí)角、角的分類、角的度量”三大板塊，其中有關(guān)“認(rèn)識(shí)角”的內(nèi)容，教材分別在二年級(jí)下冊安排了《認(rèn)識(shí)角》，在四年級(jí)上冊安排了《旋轉(zhuǎn)與角》兩課，從靜態(tài)定義和動(dòng)態(tài)定義兩個(gè)層面，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行角的初步認(rèn)識(shí)和再認(rèn)識(shí)。

在二年級(jí)下冊教學(xué)《認(rèn)識(shí)角》時(shí)，學(xué)生要借助具體的事物來認(rèn)識(shí)角。因?yàn)閺纳钪姓业降慕峭季哂小靶巍钡奶刭|(zhì)，所以在學(xué)生的心目中就容易產(chǎn)生“能看到的邊越長角越大”的錯(cuò)覺。如圖1中，學(xué)生常會(huì)覺得“鱷魚嘴巴的開口比人的嘴巴開口大”，理由是鱷魚嘴巴能裝進(jìn)去的東西比人嘴巴能裝進(jìn)去的東西多?？梢妼W(xué)生容易把“容納的大小、開口的間距”錯(cuò)當(dāng)角的大小。

圖1

三、解決難點(diǎn)的路徑

為突破“角的大小與畫出的邊長短無關(guān)，只跟兩條邊張口的大小有關(guān)”這一教學(xué)難點(diǎn)，筆者嘗試通過“讓角的概念跟旋轉(zhuǎn)相連，建立兩條邊的位置關(guān)系”的方式重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容。

在二年級(jí)教學(xué)《角的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師應(yīng)盡量選擇與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的物體作為教學(xué)素材，讓學(xué)生感受因旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的位置關(guān)系，與角的形成有密切關(guān)系。教學(xué)四年級(jí)“線與角”單元時(shí)，教師把“相交與垂直”“旋轉(zhuǎn)與角”整合為一課時(shí)，讓學(xué)生通過“旋轉(zhuǎn)”理解“相交、角、垂直”三個(gè)概念，并感悟它們之間的聯(lián)系。通過角的動(dòng)態(tài)形成過程，賦予“始邊”和“終邊”的概念，再在比較不同大小的角的過程中，明確“角的大小與畫的邊長短無關(guān)，只跟兩條邊張口的大小有關(guān)”。

整合后的教學(xué)路徑為：在直線上任取一點(diǎn)，直線繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線的起始位置與終止位置是一種相交的關(guān)系，相交后的圖形上有角；將一條射線繞其端點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其起始位置與終止位置形成了角。旋轉(zhuǎn)的張口越大，形成的這個(gè)角就越大，因此就形成了各種大小不同的角。整合后“線與角”單元的教學(xué)順序調(diào)整為表1。

表1

【教學(xué)實(shí)踐過程】

根據(jù)以上分析確定本內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)為：（1）通過旋轉(zhuǎn)認(rèn)識(shí)相交、角、垂直與垂線等概念，明確各類角之間的大小關(guān)系，感受知識(shí)的生長性和整體性。（2）能正確判斷兩條直線是否相交，能準(zhǔn)確辨認(rèn)各類角，并能按要求畫出已知直線的垂線。

一、復(fù)習(xí)圖形的運(yùn)動(dòng)方式

教師在黑板上畫一條直直的線。

師：黑板上有一條直直的線，如果它在黑板上運(yùn)動(dòng)，可以有哪些不同的運(yùn)動(dòng)方式？

生：平移和旋轉(zhuǎn)。

師：如果做平移運(yùn)動(dòng)，它運(yùn)動(dòng)前所在的位置我們稱之為“起始位置”，運(yùn)動(dòng)后停留的位置我們稱之為“終止位置”。想象一下，它的起始位置與終止位置所在的兩條直線之間有怎樣的位置關(guān)系？

生：平移后，它的起始位置與終止位置所在的直線是一組平行線。

師：如果做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)前的直線和運(yùn)動(dòng)后的直線又會(huì)產(chǎn)生怎樣的位置關(guān)系呢？

師：今天我們就研究研究。

二、體會(huì)旋轉(zhuǎn)與相交、旋轉(zhuǎn)與角的關(guān)系

教師提供操作板（自制學(xué)具）。出示圖2，圖中有一根可旋轉(zhuǎn)的磁棒，并描出這根磁棒的起始位置。

圖2

師：請每位同學(xué)在操作板上用自己喜歡的方式將這根磁棒進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并畫出磁棒的起始位置與終止位置。

（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視收集、呈現(xiàn)兩種不同旋轉(zhuǎn)情況的學(xué)生作品）

師：說說剛才你是怎么進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的？

生：我是繞磁棒上的一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的。（邊比畫邊說明，如圖3）

圖3

師：此時(shí)你是把這根磁棒看作一條什么線繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的？

生：直線。

師：有跟他不一樣的旋轉(zhuǎn)嗎？

生：我是繞磁棒的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。（邊比畫邊說明，如圖4）

圖4

師：此時(shí)你又是把這根磁棒看作一條什么線繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的？

生：射線。

師：兩位同學(xué)磁棒的旋轉(zhuǎn)有什么共同的地方。

生：都會(huì)得到角。

小結(jié)：將小棒繞小棒上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，起始位置與終止位置所在的直線可以形成角；將小棒繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，起始位置與終止位置也形成了一個(gè)角。

三、了解角的屬性與類別

教師呈現(xiàn)“繞著磁棒的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的學(xué)生作品。

師：接下來，我們重點(diǎn)研究一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角的情況。

師：這么多的角相互間有什么區(qū)別嗎？

生：它們的位置不同。

生：角的大小不同。

師：你所說的角的大小指的是什么？

生：兩條射線之間的張口大小就是角的大小。

師：在這些旋轉(zhuǎn)而成的角中，你覺得哪個(gè)角最特別？特別在哪里？

師：根據(jù)兩條邊相交的位置關(guān)系，可以把角分為銳角、直角、鈍角、平角、周角。

師：結(jié)合前面的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，說說“關(guān)于角，你有了哪些體會(huì)？”

小結(jié)：角是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，兩條射線的交點(diǎn)就是角的頂點(diǎn)，射線的起始位置是角的始邊，射線的終止位置是角的終邊。旋轉(zhuǎn)的幅度越大，形成的角越大。角的大小和旋轉(zhuǎn)幅度有關(guān)，和邊畫的長短無關(guān)。

四、認(rèn)識(shí)垂直與垂線

教師介紹：當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條是另一條的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。

學(xué)生操作：過直線上一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)分別作已知直線的垂線。

學(xué)生反饋并交流作圖方法。

五、鞏固練習(xí)（略）

【教學(xué)反思】

將“相交與垂直、旋轉(zhuǎn)與角”整合，引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)角，學(xué)生會(huì)更容易理解無論射線怎么延伸，其位置關(guān)系不會(huì)改變。“角的大小”這一教學(xué)難點(diǎn)不攻自破。

“相交與垂直、旋轉(zhuǎn)與角”整合后，為學(xué)生后繼量角與畫角的學(xué)習(xí)積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于實(shí)現(xiàn)前后知識(shí)的相通和學(xué)習(xí)的遷移，體現(xiàn)知識(shí)的生長性和系統(tǒng)性。

單元整合是課程與教學(xué)之間的橋梁，是教師對課程的二度開發(fā)，是讓教學(xué)更有系統(tǒng)性、時(shí)效性的有效策略和途徑。教學(xué)整合，要真正做到從學(xué)生的需要出發(fā)，在找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)后進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生感悟知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展思維能力。