投石問路 遷移轉化
——“多邊形的內角和”的教學實踐與反思

浙江杭州濮家小學教育集團（310020） 胡軼群

【教材分析】

“多邊形的內角和”在人教版教材中沒有設立獨立的章節(jié)，但是在四年級下冊第68頁中有關于求多邊形的內角和的拓展內容，以及六年級下冊第103頁中也有相關練習，但拓展的內容不深，而蘇教版教材在四年級下冊專門設立一個章節(jié)來探索多邊形的內角和的規(guī)律，旨在讓學生經歷探究問題的過程，并從中獲得合情推理的經驗。

【課前思考】

第一，教與學的方式。先引導學生畫圖分析，待學生發(fā)現規(guī)律后，再利用幾何畫板直觀展示，激發(fā)學生自主探究問題的興趣。

第二，課堂氛圍的調控。以解決問題為目的，讓學生在一個寬松愉快的氛圍中自主發(fā)現并解決問題，感受數學與生活的密切聯系。

基于以上兩點思考，筆者確定了以下教學目標：

1.讓學生探索并了解多邊形內角和的計算方法，能運用多邊形內角和的知識解決相關問題。

2.讓學生經歷探索多邊形的內角和的全過程，積累探索和發(fā)現數學規(guī)律的經驗，體會轉化和數形結合的數學思想，激發(fā)他們的探究意識和培養(yǎng)他們的動手能力。

3.讓學生體會轉化、類比、化歸的思想在幾何中的運用，發(fā)展空間觀念，進而體會從特殊到一般的歸納推理方法。

【教學重點】

培養(yǎng)學生的探究意識，用探究的方法獲得解決問題的經驗。

【教學難點】

總結活動過程，形成知識經驗，運用活動經驗解決其他問題。

【教學過程】

一、趣味導入，類比遷移

師：正式上課之前，老師請同學們猜一個謎語——三足鼎立，謎底與數學圖形有關。

生（齊）：三角形。

師：對，謎底是三角形。誰能說一說，我們學了三角形的哪些知識？

生1：三角形有三條邊，三角形具有穩(wěn)定性。

生2：三角形有三個角。

生3：按角分，三角形可以分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

生4：三角形的內角和是180°。

師：同學們對三角形的知識掌握得真牢固??！說到三角形的內角和，你們有什么發(fā)現呢？

生5：三角形有大有小，但無論形狀如何變化，它的內角和卻是固定不變的，都是180°。

師：真棒！同學們想象一下，其他多邊形的內角和會是怎樣的呢？也是一個固定不變的度數嗎？

生6：我覺得其他多邊形的內角和可能會比180°大。

生7：其他多邊形的內角和應該也是一個固定的度數，估計和180°有關系。

生8：有什么好方法可以很快地求出多邊形的內角和呢？

師：下面我們就帶著這些問題走進今天的課堂。

（反思：首先，教師用猜謎語的情境引出三角形，既提高了學生的興趣，又讓學生感受到數學與文學的聯系。然后，通過引導學生對舊知——三角形相關知識的回顧，將重點放在三角形“無論形狀如何變化，它的內角和卻是固定不變的”這一結論上，由此激發(fā)學生進行類比、遷移、猜想活動，并提出問題：其他多邊形的內角和會是怎樣的呢？也是一個固定不變的度數嗎？最后，帶著這些問題進行教學，這些問題就是本節(jié)課的教學目標，是教學活動的靈魂。）

二、學生自主探究四邊形的內角和

1.師生交流，確定研究方法

師：多邊形有很多，你們認為應該從幾邊形開始研究呢？

生1：四邊形。

師：是的，由簡單到復雜是探究新知的一種重要的方法。下面我們就從探究四邊形的內角和開始。誰來說一說“四邊形的內角和”指的是什么？

生2：就是4個角的總度數。

師：四邊形的內角和會是多少度呢？

生3：360°。因為長方形和正方形都是四邊形，它們都有4個直角，內角和就是4個90°，所以四邊形的內角和是90°×4=360°。

師：長方形和正方形是特殊的四邊形，它們的內角和是360°。如果是一般的四邊形，又怎樣求它們的內角和呢？

生4：先用量角器量出4個角的度數，再相加。

師：這個方法當然行得通，但是……

生5：但是操作起來太麻煩，而且有時候也會量不準，這樣結果就會出現誤差。

師：能不能想辦法將四邊形的內角和轉化成三角形的內角和，再來求一求呢？請同學們拿出學習探究單試一試。

（反思：如何提高探究活動的有效性是引導學生自主學習的關鍵。在上述環(huán)節(jié)中，教師首先引導學生從特殊的四邊形入手，猜想出四邊形的內角和是360°，然后讓學生思考如何求一般的四邊形的內角和的問題。對于有學生想到的測量方法，教師在肯定的同時還指出這并不是最佳的研究方法，并提示“能不能想辦法將四邊形的內角和轉化成三角形的內角和”，鼓勵學生大膽嘗試、勇于實踐，把學生的探究活動指向核心——運用轉化的思想解決問題。）

2.學生展示，師生共同交流

師：（出示圖1）請說說你的想法？

圖1

生1：如圖2，用虛線連接四邊形相對的兩個頂點，把四邊形分成兩個三角形。因為一個三角形的內角和是180°，所以四邊形的內角和是180°×2=360°。

圖2

師：老師來補充一下，四邊形本來有4個內角，生1通過分割的方法，把相對的2個角變成了4個角。這樣一來，四邊形的內角和就變成了6個角的和，而這6個角的和恰好是2個三角形的內角和，即180°×2=360°。同學們聽明白了嗎？

生（齊）：明白了。

師：這種方法是數學上一種非常重要的思想方法——轉化法。這條分割四邊形的虛線，在數學上叫輔助線。

（反思：本環(huán)節(jié)的重點是轉化法的思維過程。通過展示學生的作品，強調轉化的方法，用一條虛線把四邊形分成2個三角形，則四邊形的4個內角的和剛好是2個三角形的內角和，即180°×2=360°。）

師：只要將四邊形轉化為2個三角形，是不是就可以得到四邊形的內角和？生（齊）：是的。（學生毫不猶豫地回答）師：再來看看另一位同學的分割方法（出示圖3）。你有什么想說的？

圖3

生2：這樣分割，得到3個三角形，四邊形的內角和是540°。

生3：我覺得不對。

師：是哪里出了問題？

生4：四邊形被分割成了3個三角形，但有的三角形的內角并不是四邊形的內角。

師：太棒了，你真是個善于發(fā)現問題、積極思考的好孩子！誰能指一指哪些角不是四邊形的內角？請用筆做上標記。

生5：在四邊形的一條邊上的3個角不是四邊形的內角（上臺指）。

師：原來有3個角不是四邊形的內角，導致求得的四邊形的內角和出錯。對于這個錯誤，同學們可不可以進行修正呢？生6：可以，只要從540°中減去180°即可。師：請你說說理由。

生6：因為多數的3個角剛好是一個平角（如圖4），平角等于180°。

圖4

師：太厲害了！為你的精彩發(fā)言鼓掌（師生鼓掌）。看來，我們在分割時，轉化后的三角形的內角必須是四邊形的內角，不能多也不能少。

師：老師發(fā)現還有同學是這樣算的（出示圖5）。

圖5

（反思：精彩能容“錯”，借助學生的“錯例”，教師進一步引導學生思考轉化法的本質，不僅是把四邊形分割成三角形，還要看分割后的三角形的所有內角是不是四邊形的內角。教師給予足夠的時間讓學生修正錯誤，加深了學生對轉化法的理解——不能多也不能少。

三、小組合作探索五邊形、六邊形的內角和

1.小組探究

師：我們已經知道了四邊形的內角和是360°，同學們想知道更多關于多邊形內角和的問題嗎？

（學生在學習探究單上找到五邊形、六邊形，小組內交流方法）

2.展示匯報

生1：我把五邊形分割成3個三角形（如圖6），得到五邊形的內角和是180°×3=540°。

圖6

生2：我把五邊形分割成1個三角形和1個四邊形（如圖7），得到五邊形的內角和是180°+360°=540°。

圖7

生3：六邊形可以分割成4個三角形（如圖8），它的內角和是180°×4=720°。

圖8

生4：六邊形還可以分割成2個四邊形（如圖9），360°+360°=720°。

圖9

師：大家的想法都非常妙！看來求多邊形的內角和并不難，只要會用分割的方法，把多邊形轉化為三角形或四邊形來計算，就可以得到正確的結果。

3.歸納推理，揭示規(guī)律

（1）豎著看表1。多邊形的邊數越多，分成的三角形的個數就越多，內角和就越大。

表1 將多邊形分成幾個三角形來計算內角和

（2）橫著看表1。多邊形的邊數比分成的三角形的個數多2，則多邊形的內角和=180°×分成的三角形的個數=180°×（邊數-2）。

（反思：在學生充分理解了四邊形的內角和為360°的基礎上，教師放手讓學生自主探究五邊形、六邊形的內角和。這說明教師很好地把握了教學內容的“寬度”與學生理解的“深度”之間的關系。在展示匯報環(huán)節(jié)，教師要求學生根據轉化的圖形說出問題解決的思路，以了解學生思維的差異，把自主探究環(huán)節(jié)與之前探究四邊形的內角和的活動進行鏈接，形成一個完整的知識體系。在歸納推理的過程中，引導學生通過填表格，揭示多邊形的內角和與邊數之間的關系，成就了課堂的精彩。）

四、鞏固提升，學以致用

出示鞏固練習題：

1.一個多邊形的內角和等于720°，這個多邊形有（）條邊。

2.一個多邊形的邊數增加1，則內角和增加的度數是（）。

3.選擇題：將一個四邊形截去一個角后，得到的多邊形的內角和（）。

A.不變 B.增加 C.減少 D.無法確定

（反思：本環(huán)節(jié)的練習題既有基礎知識的運用，又有開放性思考的拓展，很好地展示了拓展類練習題的作用。）

【整體反思】

“多邊形的內角和”雖然在各版教材中側重不同，但教師都應以學生現有的知識水平為起點，通過滲透方法、凸顯過程，使學生充分感受結論的得出及規(guī)律產生的過程，掌握多邊形內角和的計算方法，進而培養(yǎng)學生解決數學問題的意識。

綜上所述，在探究四邊形內角和時，學生從用量角器測量求內角和到分割轉化成三角形求內角和，是一個重要的思維跨越，說明學生對規(guī)律有了初步感知。教師用問題來引導學生自主探究，注重滲透數學思想方法，遵循由特殊到一般、由個性到共性、由猜想到驗證的探究規(guī)律，讓學生“知其然，更“知其所以然”。