非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分散性能量子優(yōu)化算法

王曉晗

(咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 咸陽 712000)

0 引 言

依據(jù)量子力學(xué)理論[1]發(fā)展出的量子算法,由于其具有高并行性的特點(diǎn),目前已開始在智能控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面發(fā)揮重要作用。但因?yàn)榱孔铀惴ㄌ岢鰰r(shí)間較短,其理論依然處于初級(jí)階段[2]。

為提升量子算法的應(yīng)用性能,量子優(yōu)化算法的研究成為一個(gè)熱門研究方向。葉青等[3]提出以協(xié)同決策方法為核心的集成優(yōu)化模型,計(jì)算量子種群內(nèi)個(gè)體權(quán)重,以此為基礎(chǔ),建立優(yōu)化激勵(lì)策略。并且通過設(shè)置合理的學(xué)習(xí)閾值,避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解問題。但該方法全局搜索效率較低。薛文等[4]針對(duì)整個(gè)量子種群進(jìn)行分析,將其按照PSO(Particle Swarm Optimization)算法和混沌機(jī)制劃分為兩個(gè)種群,分別進(jìn)行迭代處理。針對(duì)兩個(gè)量子種群進(jìn)行交叉迭代處理,計(jì)算量子適應(yīng)值并進(jìn)行排序,完成全局極值的更新,實(shí)現(xiàn)量子優(yōu)化算法的全局優(yōu)化。但該算法的收斂效率較低。曾明華等[5]按照布谷鳥算法搜索量子行為,結(jié)合模擬退火原則,設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的優(yōu)化算法。為增強(qiáng)優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力,針對(duì)布谷鳥搜索設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)飛行方案,保證量子優(yōu)化結(jié)果的多樣性。但該方法尋優(yōu)能力較差。

為此,筆者參考傳統(tǒng)量子優(yōu)化算法,提出以非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的優(yōu)化算法。混沌網(wǎng)絡(luò)內(nèi)包含眾多節(jié)點(diǎn),使所提出的量子優(yōu)化算法具有局部分散控制特點(diǎn),利用非線性混沌網(wǎng)絡(luò)子系統(tǒng)控制局部信息,更加快速地完成量子優(yōu)化處理。

1 非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分散性能量子優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

1.1 量子位置的混沌初始化

筆者優(yōu)化算法以非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為基礎(chǔ),考慮到混沌具有非線性運(yùn)動(dòng)狀態(tài),將其遍歷性特點(diǎn)應(yīng)用于優(yōu)化算法中,加強(qiáng)量子優(yōu)化算法的全局搜索性能。為保證混沌搜索在優(yōu)化算法中順利應(yīng)用,采用Logistic混沌映射方法[6],計(jì)算分散性能量子的初始化混沌位置。

通過分段Logistic混沌映射建立混沌序列,以此確定初始化量子所處位置,在確保優(yōu)化算法的隨機(jī)性不受影響的同時(shí),加強(qiáng)全局最優(yōu)搜索的遍歷性,量子混沌映射序列表示為

(1)

其中i表示量子,i=1,2,…,m,m表示量子總數(shù),zi表示量子混沌映射序列,μ表示控制參量。

根據(jù)研究可知,當(dāng)控制參量為4時(shí),Logistic處于完全混沌狀態(tài),與常規(guī)的混沌映射結(jié)果相比,該狀態(tài)下混沌序列具有良好的分布對(duì)稱性。應(yīng)用完全混沌狀態(tài)下的混沌序列,可更加準(zhǔn)確地得到量子初始化位置。

針對(duì)混沌序列的敏感性特點(diǎn),分析初始量子初值,將待優(yōu)化的量子初值代入式(1),設(shè)置合理的迭代次數(shù)得到多個(gè)混沌序列。映射每個(gè)量子混沌分量,利用定義域區(qū)間內(nèi)映射的混沌變量,計(jì)算量子初始化混沌位置

θi=ri(2zi-1)

(2)

其中θi表示量子初始化位置,(-ri,ri)表示量子混沌映射的定義域區(qū)間。

1.2 量子種群進(jìn)化模式構(gòu)建

根據(jù)上述計(jì)算,得到分散性能量子初始化位置后,經(jīng)多次迭代計(jì)算得到每個(gè)量子個(gè)體的適應(yīng)度值,依托于適應(yīng)度值將待優(yōu)化的量子群劃分為頂層和底層種群,二者分別具有局部搜索和全局搜索的能力。

頂層量子種群的進(jìn)化,通常情況下會(huì)表現(xiàn)出停滯狀態(tài)。筆者針對(duì)該情況進(jìn)行擾動(dòng)變異處理,實(shí)現(xiàn)優(yōu)化算法的局部搜索能力提高[7]。此外,選取底層量子種群內(nèi)適應(yīng)度較低的量子,通過混沌變異方式擴(kuò)展量子優(yōu)化搜索空間,達(dá)到提升優(yōu)化結(jié)果多樣性的目的。

其中頂層種群擾動(dòng)變異處理的前提是判斷量子種群停滯性,本質(zhì)上是分析種群內(nèi)量子是否出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象,當(dāng)量子聚集程度較高時(shí),就會(huì)出現(xiàn)迭代停滯問題。筆者通過群體適應(yīng)度方差計(jì)算量子聚集程度,得到種群停滯性判斷結(jié)果的同時(shí),不會(huì)對(duì)量子分散性能優(yōu)化算法的收斂速度產(chǎn)生負(fù)面影響[8]。群體適應(yīng)度方差計(jì)算公式為

(3)

(4)

其中σ表示群體適應(yīng)度方差,di表示量子適應(yīng)度,davg表示當(dāng)前量子群平均適應(yīng)度,d表示歸一化因子。但式(3)計(jì)算結(jié)果低于預(yù)先設(shè)置的閾值,代表當(dāng)前量子聚集較為密集,當(dāng)前迭代出現(xiàn)停滯。

種群停滯問題會(huì)造成量子優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)局部最優(yōu)化,筆者針對(duì)每個(gè)維度的全局極值添加高斯擾動(dòng),促進(jìn)粒子優(yōu)化結(jié)果避免局部極值點(diǎn),高斯擾動(dòng)添加后表達(dá)公式為

Pgi=Pgi+εR

(5)

其中ε表示擾動(dòng)系數(shù),R表示均值和方差分別為0和1的隨機(jī)數(shù),P表示量子種群,g表示全局極值維度。根據(jù)式(5)計(jì)算結(jié)果可知,高斯擾動(dòng)的添加有助于優(yōu)化算法的應(yīng)用性能提升。

針對(duì)底層種群,為有效增大最優(yōu)解搜索空間,將變異概率應(yīng)用于分段Logistic混沌映射中,得到均勻分布的量子。量子優(yōu)化過程中,需要預(yù)先確定搜索區(qū)域,筆者為避免收斂速度受到負(fù)面影響,設(shè)置混沌搜索區(qū)域半徑為

L=S|pg-pi|

(6)

其中S表示比例系數(shù),pg表示全局極值,pi表示量子個(gè)體極值,混沌搜索區(qū)域半徑同全局極值和變異粒子之間的聯(lián)系如圖1所示。

圖1 影響半徑和全局極值的變異粒子關(guān)系圖Fig.1 Variation particle relationship between influence radius and global extreme value

根據(jù)圖1可知,采用分段Logistic混沌映射模式生成的混沌序列內(nèi)包含的變異量子,即為需要進(jìn)行混沌變異處理的量子,按照量子所處維度,得到變異量子位置計(jì)算公式

(7)

1.3 非線性混沌優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)

筆者針對(duì)量子的優(yōu)化處理,設(shè)計(jì)以非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為核心的優(yōu)化控制方法[9]。采用多個(gè)連續(xù)時(shí)間子系統(tǒng),形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如下

βλ=ηλ(aλ,uλ),λ=1,2,…,N

(8)

其中N表示非線性連續(xù)時(shí)間子系統(tǒng)數(shù)量,λ表示子系統(tǒng),aλ表示子系統(tǒng)狀態(tài),uλ表示子系統(tǒng)輸入值,ηλ表示光滑系數(shù),βλ表示非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

參考線性化原理,可針對(duì)非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)平衡點(diǎn),分析平衡點(diǎn)附近局部區(qū)域的穩(wěn)定性。當(dāng)平衡點(diǎn)附近的線性近似評(píng)估結(jié)果具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性,表明非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)具有局部穩(wěn)定平衡點(diǎn)。根據(jù)非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性,生成最優(yōu)化控制方法,確保閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)混沌行為。

(9)

其中a*表示子系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn),T表示非線性連續(xù)時(shí)間。假設(shè)子系統(tǒng)鄰域內(nèi)包含一個(gè)混沌吸引子,則可將子系統(tǒng)內(nèi)的局部線性化系統(tǒng)表示為

(10)

其中δ表示局部線性化系統(tǒng)。針對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行分析,設(shè)置目標(biāo)函數(shù)為

(11)

其中J表示子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù),∞表示正無窮,Q表示任意正定對(duì)稱矩陣。采用非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)控制分散性的量子優(yōu)化時(shí),目標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果越小,表明優(yōu)化算法的收斂速度越快。因此,可以在量子優(yōu)化過程中尋找最佳控制方案。

在子系統(tǒng)內(nèi)隨機(jī)選取兩個(gè)局部線性化系統(tǒng),結(jié)合最優(yōu)控制理論,得出代數(shù)Riccati方程對(duì)稱正定解計(jì)算公式

(12)

(13)

(14)

(15)

綜合式(13)～式(15),可得出具有分散性能的非線性混沌優(yōu)化控制公式

?=KH

(16)

其中?表示控制參數(shù),K表示最優(yōu)化函數(shù)。

1.4 分散性能量子優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

非線性混沌優(yōu)化控制方法運(yùn)行時(shí),當(dāng)某一個(gè)量子確定一點(diǎn)為最優(yōu)解,其他量子會(huì)向該點(diǎn)聚集,表現(xiàn)出局部最優(yōu)現(xiàn)象。針對(duì)該問題,采用早熟收斂判斷機(jī)制,幫助量子種群避開局部最優(yōu)點(diǎn)[10]。判斷機(jī)制的設(shè)計(jì),主要包括預(yù)防早熟收斂、處理早熟收斂?jī)蓚€(gè)環(huán)節(jié),將兩個(gè)環(huán)節(jié)相連接,運(yùn)用于優(yōu)化算法中,早熟收斂判斷機(jī)制整體框架如圖2所示。

圖2 早熟收斂預(yù)防與處理框架圖Fig.2 Framework diagram of premature convergence prevention and treatment

根據(jù)圖2可知,早熟收斂判斷結(jié)果是早熟處理的核心。經(jīng)過分析可知,早熟收斂與全局收斂?jī)煞N現(xiàn)象的出現(xiàn),都會(huì)造成量子群內(nèi)個(gè)體量子出現(xiàn)“聚集”問題。因此,筆者將早熟收斂判斷的約束條件設(shè)置為量子最佳位置狀態(tài)。再結(jié)合式(3)與式(4)進(jìn)行計(jì)算,得到量子的“聚集”程度。選定一個(gè)合理的常數(shù)充當(dāng)判斷閾值,當(dāng)計(jì)算結(jié)果低于判斷閾值時(shí),進(jìn)行早熟處理。

考慮筆者設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法以非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為基礎(chǔ),針對(duì)早熟收斂問題運(yùn)用混沌搜索技術(shù)進(jìn)行處理。運(yùn)用混沌搜索技術(shù)重復(fù)進(jìn)行多次搜索,得到最優(yōu)解位置,并將其作為量子全局最優(yōu)位置,引導(dǎo)量子跳出局部最優(yōu)點(diǎn)。通過混沌搜索處理模式,提升量子優(yōu)化算法的收斂速度,完成量子優(yōu)化計(jì)算。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證分散性能量子優(yōu)化算法的實(shí)際應(yīng)用效果,筆者引用一個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理,明確所提優(yōu)化算法的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。該實(shí)驗(yàn)所采用的測(cè)試函數(shù)為

(17)

其中f(x)表示測(cè)試函數(shù),sin表示正弦函數(shù)。將測(cè)試函數(shù)以圖像的形式描述如圖3所示。

圖3 測(cè)試函數(shù)圖像Fig.3 Test function image

將上述測(cè)試函數(shù)應(yīng)用于優(yōu)化算法測(cè)試實(shí)驗(yàn)中,驗(yàn)證筆者提出優(yōu)化算法的應(yīng)用性能。本次實(shí)驗(yàn)除了使用筆者所提出的優(yōu)化算法外,同時(shí)采用文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]中的算法進(jìn)行量子優(yōu)化處理。對(duì)比不同算法的優(yōu)化效果,保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的合理性。

2.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

筆者設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法應(yīng)用前,需要計(jì)算量子停滯閾值以及與搜索區(qū)域半徑相關(guān)的比例系數(shù)。筆者針對(duì)上述兩個(gè)試驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行分析,并進(jìn)行合理設(shè)置。

假設(shè)量子的初始種群規(guī)模為40,將停滯閾值設(shè)置為從0開始,不斷增長(zhǎng)至0.025。針對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行6次優(yōu)化,得到圖4所示的停滯閾值對(duì)測(cè)試函數(shù)的影響示意圖。

由圖4可知,停滯閾值的大小直接影響優(yōu)化算法的應(yīng)用效果,尤其在停滯閾值范圍為0.005～0.015時(shí),函數(shù)優(yōu)化結(jié)果最好,這是由于停滯閾值參數(shù)設(shè)置結(jié)果會(huì)影響頂層量子聚集程度,[0.005,0.015]的范圍既避免了局部極值問題,也保持了算法的局部搜索能力。該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行時(shí)將停滯閾值選定為該范圍內(nèi)。

圖4 停滯閾值對(duì)測(cè)試函數(shù)的影響示意圖 圖5 比例系數(shù)對(duì)測(cè)試函數(shù)的影響示意圖Fig.4 Effect of stagnation threshold on test function Fig.5 Effect of scale coefficient on test function

設(shè)置量子初始種群規(guī)模為40,停滯閾值為0.01,分別將比例系數(shù)選定為0.1～0.8,針對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行8次優(yōu)化,得到結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知,比例系數(shù)取值在0.5以下時(shí),測(cè)試函數(shù)優(yōu)化效果較差,當(dāng)比例系數(shù)大于0.5,可得到較好的優(yōu)化結(jié)果,并且之后比例系數(shù)的增長(zhǎng)不會(huì)導(dǎo)致測(cè)試函數(shù)最優(yōu)解產(chǎn)生較大起伏。因此,該實(shí)驗(yàn)將比例系數(shù)設(shè)置為0.05。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)所采用的測(cè)試函數(shù)類型為單模態(tài)函數(shù),應(yīng)用筆者所提出的優(yōu)化算法得到的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果Tab.1 Test function optimization calculation results

根據(jù)表1可知,筆者提出分散性能量子優(yōu)化算法在不同量子數(shù)量、不同維度條件下,均可得出測(cè)試函數(shù)的最佳優(yōu)化結(jié)果,充分表明所提出優(yōu)化算法的可行性。通過分析最優(yōu)解計(jì)算結(jié)果可知,優(yōu)化難度隨維度的增加而增長(zhǎng),導(dǎo)致算法優(yōu)化效果較差。

除了筆者提出的優(yōu)化算法外,應(yīng)用文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]中的優(yōu)化算法進(jìn)行多次優(yōu)化測(cè)試,分析不同優(yōu)化算法的收斂情況,得到結(jié)果如圖6所示。

圖6 3種優(yōu)化算法的收斂曲線圖Fig.6 Convergence curves of three optimization algorithms

由圖6可知,3種優(yōu)化算法的收斂時(shí)間分別為t1、t2和t3。其中筆者提出的優(yōu)化算法收斂時(shí)間為10 s,其余兩種優(yōu)化算法的收斂時(shí)間為20 s與30 s。綜上所述,筆者設(shè)計(jì)優(yōu)化算法有效提升了收斂速度,使優(yōu)化算法收斂時(shí)間減少了50%與67%,促進(jìn)了量子算法的推廣應(yīng)用。

3 結(jié) 語

筆者針對(duì)具有分散性能的量子優(yōu)化問題深入分析,提出將非線性混沌網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)應(yīng)用于優(yōu)化過程中,生成新的優(yōu)化算法。對(duì)量子初始化混沌位置進(jìn)行分析,并分析量子種群停滯性。采用非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),建立一種優(yōu)化控制機(jī)制,早熟判定機(jī)制完成量子優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)。依托于混沌網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)性、便利性,彌補(bǔ)傳統(tǒng)優(yōu)化算法的不足,將其應(yīng)用于實(shí)際求解過程中,有效減少算法所需的收斂時(shí)間。