直線電機(jī)推力波動補(bǔ)償技術(shù)

沈海濤, 汪 奇, 吉曉凱, 張 凱, 周 原

(蘇州維嘉科技股份有限公司，江蘇 蘇州 215000)

0 引 言

永磁同步直線電機(jī)因其推力密度高、功耗低、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于印刷電路板(PCB)鉆孔機(jī)、鑼機(jī)、分板機(jī)、鉆孔檢測等高速、高精度數(shù)控系統(tǒng)，并得到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注與研究[1-4]。

因初級鐵心開斷引起的邊端力和因齒槽效應(yīng)引起的齒槽力(合稱磁阻力)[5-7]是引起直線電機(jī)推力波動的主要因素。而推力波動是直線電機(jī)產(chǎn)生振動和噪聲的主要原因，特別是在低速運(yùn)行時(shí)，推力波動會導(dǎo)致運(yùn)動控制跟隨誤差變大[8]。因此，國內(nèi)外學(xué)者對直線電機(jī)的推力波動進(jìn)行了大量的研究。

文獻(xiàn)[9]通過分析永磁同步直線電機(jī)推力波動的機(jī)理，指出推力紋波、齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)是引起永磁同步直線電機(jī)推力波動的最主要原因，探討了減小永磁同步直線電機(jī)推力波動的技術(shù)措施。文獻(xiàn)[10]采用半無限單端結(jié)構(gòu)建立了由邊端效應(yīng)引起的磁阻力分析模型，并提出了優(yōu)化初級長度從而降低磁阻力的原理與方法。文獻(xiàn)[11]提出一種將磁極錯(cuò)位與V型磁極相結(jié)合的優(yōu)化方法來改善其性能。同樣地，也有學(xué)者在控制算法上對直線電機(jī)推力波動進(jìn)行分析、抑制[12-13]與補(bǔ)償[8,14-15]。

綜上，本文提出一種直線電機(jī)推力波動補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ砸慌_6槽8極電機(jī)為研究對象，結(jié)合解析計(jì)算理論基礎(chǔ)與有限元建模，分析并歸納永磁直線電機(jī)邊端力與齒槽力的影響因素與一般規(guī)律。合理設(shè)置補(bǔ)償器關(guān)鍵參數(shù)，有效補(bǔ)償傳統(tǒng)永磁直線電機(jī)磁阻力。通過試驗(yàn)，驗(yàn)證該補(bǔ)償方法對直線電機(jī)推力波動抑制的正確性與精確性。

1 邊端力分析與計(jì)算

考慮直線電機(jī)鐵心開斷的緣故，直線電機(jī)左右兩端分別受到了兩個(gè)邊端力，其效果滿足磁阻最小原理，即磁通總是沿著磁阻最小的路徑閉合[15]。

1.1 直線電機(jī)邊端力分析

對于直線電機(jī)邊端力分析，其模型等效于無槽直線電機(jī)[10]，如圖1(a)所示，其中初級鐵心截面等效為一個(gè)矩形，因不存在齒槽結(jié)構(gòu)，所以實(shí)現(xiàn)了分離齒槽力，僅分析直線電機(jī)邊端力。初級鐵心在不同位置受到的邊端力不同，且分別受到兩側(cè)端部的力Fend_L和Fend_R，由于次級永磁體周期排列，相應(yīng)的邊端力就是次級極距的周期函數(shù)。同理補(bǔ)償器模型亦可看作無槽直線電機(jī)，如圖1(b)所示，其邊端力特性與直線電機(jī)相同，唯一區(qū)別在于兩者之間位置不同導(dǎo)致存在相位差，且補(bǔ)償器尺寸更小。

圖1 邊端力分析等效模型

為簡化解析計(jì)算過程，作如下假設(shè)：

(1) 假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率無窮大，且不考慮飽和問題；

(2) 忽略漏磁，即漏磁系數(shù)σ=1；

(3) 永磁體的相對磁導(dǎo)率為1，也就是和真空狀態(tài)保持一致；

(4) 只考慮法相磁場，不考慮運(yùn)動方向和鐵心疊壓方向磁場變化。

根據(jù)電磁場相關(guān)理論可知，單位體積的氣隙磁場儲能為

(1)

式中：B為氣隙磁密；μ0為真空磁導(dǎo)率。

因此對于直線電機(jī)，根據(jù)虛位移原理可得，直線電機(jī)左側(cè)邊端力為

(2)

且有：

(3)

式中：La為電機(jī)初級鐵心疊厚；δ為電機(jī)氣隙長度；C為初級鐵心長度;Br2P為2P次電機(jī)氣隙磁密；τ為極距(N-S);kc為電機(jī)氣隙系數(shù)。

同理，將x′=x+Δx代入式(2)(Δx=C-kτ，k為整數(shù))，同時(shí)考慮右端力方向?yàn)檎?，因此可以得到右端部力?/p>

Fend_R(x)=

(4)

因此直線電機(jī)邊端力為

(5)

根據(jù)直線電機(jī)邊端力解析式(5)可得如下結(jié)論：

(1) 邊端力的基波頻率為1/τ，即直線電機(jī)邊端力頻率為電機(jī)運(yùn)行頻率的兩倍頻；

(2) 當(dāng)Δx=ατ時(shí)，其中α為整數(shù)，電機(jī)合成邊端力幅值最大；

(3) 當(dāng)Δx=(2m-1)τ/2時(shí)，其中m為正整數(shù)，電機(jī)合成邊端力幅值最小，其基波幅值理論為0。

圖2所示為無槽電機(jī)邊端力幅值在Δx=(0～2)τ范圍內(nèi)的有限元和解析計(jì)算結(jié)果。由圖2可見，邊端力的基波頻率為1/τ，且仿真結(jié)果和解析計(jì)算結(jié)果基本一致。為了獲得最低的邊端力以及最短的直線電機(jī)長度(直線電機(jī)長度會影響行程)，因而Δx=τ/2，即電機(jī)長度(初級鐵心長度)C=kτ+τ/2。

圖2 無槽電機(jī)邊端力幅值

1.2 補(bǔ)償器邊端力分析

為了能抵消直線電機(jī)產(chǎn)生的邊端力，因而期望補(bǔ)償器能產(chǎn)生一個(gè)與直線電機(jī)邊端力頻率相同、幅值相同、相位相反的邊端力。

補(bǔ)償器模型如圖1(b)所示，同理補(bǔ)償器亦可看作是一個(gè)無槽直線電機(jī)，因此其邊端力為

(6)

式中：H為補(bǔ)償器氣隙長度;W2為補(bǔ)償器長度;B′r2P為2P次補(bǔ)償器氣隙磁密;k′c為補(bǔ)償器氣隙系數(shù)。

顯而易見補(bǔ)償器邊端力與直線電機(jī)具有相同的頻率和分布特性，邊端力分布與圖2類似?？紤]到更小尺寸的補(bǔ)償器產(chǎn)生更大的邊端力F′end用以抵消直線電機(jī)產(chǎn)生的邊端力Fend，因此參見圖2，補(bǔ)償器最佳長度為W2=τ。

圖3所示為直線電機(jī)及其補(bǔ)償器等效模型，其中補(bǔ)償器無齒槽結(jié)構(gòu)。根據(jù)上述分析，此結(jié)構(gòu)補(bǔ)償器可以產(chǎn)生一個(gè)與電機(jī)邊端力波長τ相同的邊端力諧波，因而只需補(bǔ)償器產(chǎn)生的邊端力諧波與電機(jī)的幅值相同，相序相反。

圖3 直線電機(jī)及其補(bǔ)償器等效模型

根據(jù)式(5)與式(6)，令∠Fend-∠F′end=180°得直線電機(jī)與補(bǔ)償器中心線之間的距離W1為

(7)

因W1≥W2/2，綜合考慮電機(jī)初級總長度，最佳的距離在k=1時(shí)，W1=5τ/4。

同理，令|Fend|=|F′end|，可得補(bǔ)償器氣隙長度H為

(8)

2 齒槽力分析與計(jì)算

由初級鐵心齒槽結(jié)構(gòu)和永磁體相互作用產(chǎn)生的齒槽力，是永磁直線電機(jī)的另一重要參數(shù)，其存在同樣能造成電機(jī)的推力波動，進(jìn)而產(chǎn)生速度波動、振動和噪聲。

2.1 直線電機(jī)齒槽力分析

與旋轉(zhuǎn)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩類似，直線電機(jī)齒槽力是電機(jī)在不通電的情況下，永磁體和齒槽間的相互作用力，其齒槽力表達(dá)式為[16-20]

(9)

2.2 補(bǔ)償器齒槽力分析

將補(bǔ)償器同樣開出齒槽結(jié)構(gòu)，如圖4所示。其齒槽力表示如下：

圖4 電機(jī)及補(bǔ)償器(帶齒)模型

(10)

前面分析到，補(bǔ)償器最佳長度為W2=τ，即對于補(bǔ)償器，其極對數(shù)2p=1，因此式(10)中的整數(shù)a最小值為1。也就是說，補(bǔ)償器齒槽力基波次數(shù)與其齒數(shù)Nt一致。此時(shí)公式(10)可改寫為

(11)

表1為不同單元電機(jī)補(bǔ)償器齒數(shù)匯總，從表1中可發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償器齒數(shù)與單元電機(jī)初級齒數(shù)相等。

表1 不同單元電機(jī)補(bǔ)償器的齒數(shù)

3 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證上述解析方法的正確性與準(zhǔn)確度，以6槽8極電機(jī)為例，如圖4所示，對電機(jī)進(jìn)行有限元仿真分析，電機(jī)與補(bǔ)償器基本參數(shù)見表2。其中6槽8極電機(jī)單元電機(jī)為3槽4極電機(jī)，參見表1，Nt=3。

表2 電機(jī)與補(bǔ)償器參數(shù)

3.1 邊端力仿真計(jì)算

前述提到，在分析邊端力時(shí)，可將電機(jī)和補(bǔ)償器均看作無槽直線電機(jī)，如圖1所示。

圖5(a)為單獨(dú)直線電機(jī)與補(bǔ)償器邊端力有限元仿真和解析計(jì)算結(jié)果，可以看出在一個(gè)電周期2τ內(nèi)，電機(jī)與補(bǔ)償器邊端力均波動了2次，也就說明邊端力波長為τ，與前述分析結(jié)果一致。同時(shí)可以看出直線電機(jī)邊端力與補(bǔ)償器邊端力相位相反，因而能起到抑制電機(jī)邊端力的作用，且解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致。

圖5(b)為搭配所述補(bǔ)償器后，直線電機(jī)合成邊端力有限元仿真與解析計(jì)算結(jié)果。解析計(jì)算合成邊端力為0，而仿真數(shù)據(jù)仍含有幅值為1.3 N的4次諧波，主要原因是解析計(jì)算只計(jì)算了2次諧波，而有限元仿真還包含4次、6次、8次等諧波。但是從效果上看，邊端力23.6 N降低到1.2 N，降幅高達(dá)94.9%，效果顯著。

圖5 邊端力計(jì)算曲線圖

3.2 齒槽力仿真計(jì)算

對直線電機(jī)齒槽力進(jìn)行仿真分析，需對仿真模型作如下設(shè)置，如圖6所示，即設(shè)置周期邊界，此時(shí)可忽略動子鐵心開斷引入的邊端力。同樣地對補(bǔ)償器亦作類似設(shè)置。

圖6 齒槽力仿真模型

圖7(a)為單獨(dú)直線電機(jī)與補(bǔ)償器齒槽力有限元仿真和解析計(jì)算結(jié)果，可以看出，6槽8極直線電機(jī)在一個(gè)電周期2τ內(nèi)，齒槽力周期數(shù)為6，即符合前述分析一個(gè)極距τ內(nèi)，齒槽力周期為nNs/2P=4×6/8=3。且補(bǔ)償器齒槽力周期同樣滿足上述分析。但補(bǔ)償器齒槽力幅值較直線電機(jī)齒槽力小得多，具體見圖7(a)和圖7(b)。圖7(c)為直線電機(jī)與補(bǔ)償器合成齒槽力，齒槽力仿真數(shù)據(jù)從5.5 N降低為4.4 N，僅降低20%，結(jié)合式(7)和式(8)，可以發(fā)現(xiàn)齒槽力幅值與直線電機(jī)初級長度C(對于補(bǔ)償器為W2)正相關(guān)，而本文中C?W2。因此，補(bǔ)償器對齒槽力削弱效果不明顯，且解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致。

圖7 齒槽力計(jì)算曲線圖

3.3 磁阻力仿真計(jì)算

圖8為補(bǔ)償前后(模型如圖4)直線電機(jī)磁阻力有限元仿真與解析計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，補(bǔ)償前后，直線電機(jī)磁阻力仿真數(shù)據(jù)從23.9 N降到了7.2 N，補(bǔ)償效果達(dá)到69.9%，十分顯著。解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致，其中補(bǔ)償前仿真數(shù)據(jù)較解析數(shù)據(jù)大的原因在于解析僅對邊端力的2次諧波、以及齒槽力的6次諧波進(jìn)行分析，而仿真數(shù)據(jù)包含其他高次諧波。

圖8 6槽8極直線電機(jī)合成磁阻力波形

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析計(jì)算與有限元分析的合理性與準(zhǔn)確性，利用直線電機(jī)測試臺并配合高精度力傳感器，分別對測試臺、電機(jī)、補(bǔ)償器以及搭配補(bǔ)償器的直線電機(jī)磁阻力進(jìn)行了測試。測試數(shù)據(jù)參數(shù)如表3所示。圖9(a)所示為對拖電機(jī)拉著被測電機(jī)安裝板情況下的測試臺自身的磁阻力波形，分為正、反兩個(gè)方向，因?yàn)閷ν想姍C(jī)本身同為有鐵心直線電機(jī)，同樣具有磁阻力，同時(shí)因?yàn)闇y試臺的抖動、摩擦力不均勻等，所以此時(shí)磁阻力波形為非理想恒值波形，具有些許波動，波動力達(dá)到14.5 N。

表3 電機(jī)與補(bǔ)償器磁阻力測試數(shù)據(jù)

圖9(b)所示為本文所述6槽8極電機(jī)磁阻力測試波形，顯而易見磁阻力主要諧波含量為2倍頻(τ=15 mm)，且磁阻力諧波的幅值為28.7 N，為仿真數(shù)據(jù)的83.7%(前述仿真數(shù)據(jù)為23.9 N)。其中正、反方向波形相位、幅值、頻率均基本保持一致，存在的偏置主要是由摩擦力造成的。圖9(c)所示為補(bǔ)償器磁阻力測試波形，其磁阻力波形與直線電機(jī)波形諧波含量相同，但相位相反。因此，補(bǔ)償器能夠?qū)崿F(xiàn)直線電機(jī)磁阻力補(bǔ)償，且與理論分析結(jié)果一致。圖9(d)為本文所述補(bǔ)償器與直線電機(jī)相配合下的磁阻力測試波形，此時(shí)的磁阻力僅為11.8 N，補(bǔ)償器補(bǔ)償磁阻力效果達(dá)到60.8%(仿真為69.9%)，且合成磁阻力的2倍頻諧波已經(jīng)基本消除。仿真數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)的差別主要在于前述分析的測試臺本身誤差以及有限元仿真剖分等綜合因素造成的。

圖9 6槽8極直線電機(jī)磁阻力測試波形

5 結(jié) 語

本文提出一種直線電機(jī)推力波動補(bǔ)償?shù)姆椒?。將引起直線電機(jī)推力波動的力(本文稱之為磁阻力)分為兩種分量:(1) 由于直線電機(jī)初級鐵心的開斷而產(chǎn)生的力，稱之為邊端力；(2) 由于齒槽效應(yīng)而產(chǎn)生的力，稱之為齒槽力。其次通過解析法，精確計(jì)算并歸納邊端力與齒槽力的一般規(guī)律，并合理設(shè)置補(bǔ)償器參數(shù)。然后，以一臺6槽8極電機(jī)為例，將解析結(jié)果與仿真結(jié)果相比較，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明本文所述補(bǔ)償器能實(shí)現(xiàn)直線電機(jī)磁阻力補(bǔ)償，對直線電機(jī)推力波動具有較好的抑制效果。