永磁直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)單連桿柔性臂系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ捅孀R(shí)*

黃旭升, 顏建虎, 應(yīng)展烽

(1.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引 言

隨著工業(yè)生產(chǎn)、航天航空、醫(yī)療手術(shù)、救災(zāi)探測(cè)、生活護(hù)理等領(lǐng)域?qū)Ω咝阅芘c高適應(yīng)性運(yùn)動(dòng)控制需求的提升，具有高柔順性、復(fù)雜環(huán)境適應(yīng)性、高運(yùn)行效率的柔性機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力系統(tǒng)受到國(guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注。目前，該系統(tǒng)通常采用旋轉(zhuǎn)電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)電機(jī)，或采用滾珠絲杠等傳動(dòng)裝置實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)[1]。然而隨著永磁電機(jī)技術(shù)的發(fā)展和突破，在直線運(yùn)動(dòng)場(chǎng)合，永磁直線電機(jī)(PMLM)已逐步替代傳統(tǒng)永磁旋轉(zhuǎn)電機(jī)。與傳統(tǒng)的永磁旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比，PMLM具有高推力密度和高效率，且無(wú)需滾珠絲杠等中間傳動(dòng)裝置，可以有效提升控制精度和響應(yīng)時(shí)間[2-4]。因此，基于PMLM的柔性機(jī)械臂伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有較好的應(yīng)用前景。然而，柔性機(jī)械臂具有阻尼小的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，導(dǎo)致其在PMLM上做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)極易產(chǎn)生形變和較大振幅的彈性振動(dòng)，尤其是在做點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止后振動(dòng)仍會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，從而影響了末端的迅速精準(zhǔn)定位和驅(qū)動(dòng)的操作效率，還會(huì)使柔性臂產(chǎn)生疲勞損傷，影響整個(gè)系統(tǒng)的操作精度和使用壽命[5-6]。因此，對(duì)平動(dòng)柔性臂系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)和振動(dòng)抑制研究成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

柔性機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)剛體大位移和彈性小變形之間的非線性耦合疊加，具有剛?cè)狁詈咸匦?。由于理論建模法中往往含有一些假設(shè)和簡(jiǎn)化條件，基于系統(tǒng)實(shí)際輸入輸出數(shù)據(jù)的試驗(yàn)辨識(shí)建模法更容易描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，因此從試驗(yàn)?zāi)Ｐ捅孀R(shí)的角度研究柔性臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)特性是實(shí)現(xiàn)柔性臂驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)高精度平穩(wěn)運(yùn)行和振動(dòng)抑制的基礎(chǔ)。

目前柔性臂系統(tǒng)的模型辨識(shí)可分為2類場(chǎng)景。第一類場(chǎng)景是柔性臂相對(duì)于大地處于靜止?fàn)顟B(tài)，屬于靜止的懸臂梁，只有彈性振動(dòng)，沒(méi)有剛體運(yùn)動(dòng)。Jalil等[7]對(duì)有限微分模型進(jìn)行施加載荷并記錄輸出的仿真試驗(yàn)，并運(yùn)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。婁軍強(qiáng)等[8-10]分別采用對(duì)壓電制動(dòng)器注入控制電壓信號(hào)引起柔性臂振動(dòng)的方法對(duì)柔性臂系統(tǒng)做系統(tǒng)辨識(shí)，建立輸入控制電壓和柔性臂振動(dòng)傳感器振動(dòng)信號(hào)之間的傳遞函數(shù)，并用壓電制動(dòng)器做主動(dòng)抑振控制。然而，壓電控制系統(tǒng)的加入意味著在電機(jī)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上附加了另一套控制系統(tǒng)，增加了整個(gè)柔性臂系統(tǒng)的控制成本，不僅控制系統(tǒng)復(fù)雜，還會(huì)帶來(lái)控制溢出甚至控制系統(tǒng)不穩(wěn)定等風(fēng)險(xiǎn)。因此，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、可靠的控制算法，僅利用電機(jī)的合理驅(qū)動(dòng)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)柔性臂的平穩(wěn)控制及振動(dòng)抑制很有必要。第二類場(chǎng)景是柔性臂相對(duì)于大地處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，屬于運(yùn)動(dòng)的懸臂梁，剛體運(yùn)動(dòng)和彈性振動(dòng)同時(shí)存在且相互耦合。賈振等[11]對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂做等效到末端的集中質(zhì)量法建立的小變形動(dòng)力學(xué)方程，建立旋轉(zhuǎn)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的輸入控制電壓和柔性臂根部的應(yīng)變片輸出振動(dòng)信號(hào)電壓的傳遞函數(shù)，使用電機(jī)對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性臂系統(tǒng)進(jìn)行模型辨識(shí)。王林源[12]將驅(qū)動(dòng)電壓輸入給直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)器制造電機(jī)推力，得到柔性梁上應(yīng)變傳感器的振動(dòng)信號(hào)輸出，運(yùn)用最小二乘法對(duì)已建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行辨識(shí)。該直線電機(jī)柔性臂系統(tǒng)平臺(tái)還增加了磁流可控阻尼器抑制柔性臂振動(dòng)，與上述提到的壓電制動(dòng)器一樣屬于附加的控制系統(tǒng)。在建立其動(dòng)力學(xué)方程時(shí)需要考慮該阻尼器對(duì)系統(tǒng)的影響，從而導(dǎo)致系統(tǒng)模型復(fù)雜。Yatim等[13-15]分別對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性臂系統(tǒng)的偏微分方程離散化，對(duì)帶額外輸入的自回歸系統(tǒng)(ARX)模型輸入Bang-Bang力矩后得到的輸出結(jié)果與理論模型的前三階頻率作比較，比較分析了傳統(tǒng)最小二乘法、遺傳算法、粒子群算法和帶搜索器的粒子群算法在模型辨識(shí)上的優(yōu)劣。Hizarci等[16]通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的輸入控制電壓和柔性臂彎曲傳感器振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識(shí)。文獻(xiàn)[17-18]用通用運(yùn)動(dòng)和自動(dòng)化控制器(UMAC)驅(qū)動(dòng)帶單連桿柔性臂的直線電機(jī)系統(tǒng)，輸入掃頻位移控制信號(hào)，得到用于測(cè)量柔性臂位移的激光雷達(dá)和相機(jī)的輸出信號(hào)與理論模型仿真結(jié)果有較好的吻合度。然而，該集成系統(tǒng)成本很高，而且激光測(cè)距設(shè)備和攝像頭在有些場(chǎng)合安裝測(cè)量不方便，如沒(méi)有足夠的視角則無(wú)法完整觀察柔性臂的整個(gè)運(yùn)動(dòng)范圍，而且出現(xiàn)遮擋或高濕度環(huán)境還會(huì)造成無(wú)法獲取振動(dòng)信號(hào)等嚴(yán)重問(wèn)題。因此，低成本高可靠性的粘貼式振動(dòng)傳感器如壓電片、應(yīng)變片等適合電機(jī)驅(qū)動(dòng)柔性臂運(yùn)動(dòng)和振動(dòng)抑制的場(chǎng)合。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文基于PMLM的伺服控制系統(tǒng)，推導(dǎo)動(dòng)子位移和應(yīng)變傳感器振動(dòng)信號(hào)之間的傳遞函數(shù)，利用給定位置指令做階躍輸入和掃頻激勵(lì)輸入辨識(shí)得到等效模型，將同樣的位置指令輸入等效模型得到的仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果作比較，驗(yàn)證該系統(tǒng)辨識(shí)方法的有效性。

1 PMLM伺服驅(qū)動(dòng)模型

1.1 PMLM的數(shù)學(xué)模型

理想情況下，PMLM的電磁推力為

(1)

式中：τ為極距；λPM為永磁勵(lì)磁磁鏈；Ld、Lq為d-q軸電感；id、iq為d-q軸電流。

本文選用的電機(jī)為表貼式PMLM，因此Ld=Lq，即：

(2)

式中：Kf為推力系數(shù)。

PMLM運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中：M為動(dòng)子及所帶柔性臂前端裝配部分的總質(zhì)量；y(t)為動(dòng)子位移；B為黏滯摩擦系數(shù)；Ffriction為摩擦力；Fripple為推力波動(dòng)；Fd為負(fù)載擾動(dòng)主要包括系統(tǒng)模型不確定性、電機(jī)動(dòng)子質(zhì)量變化及測(cè)量擾動(dòng)等非線性因素引起的隨機(jī)擾動(dòng)。

直線電機(jī)動(dòng)子位置y(t)和電磁推力Fe之間的傳遞函數(shù)為

(4)

1.2 PMLM的控制器設(shè)計(jì)

為了獲得PMLM高性能伺服控制，通常采用三閉環(huán)矢量控制方法對(duì)PMLM進(jìn)行解耦控制。圖1給出了典型的PMLM三閉環(huán)矢量伺服控制框圖。其中外環(huán)為位置環(huán)，中環(huán)為速度環(huán)，內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，三環(huán)均采用經(jīng)典的PID控制方案。

圖1 PMLM伺服控制系統(tǒng)

作為一個(gè)伺服控制系統(tǒng)，其輸入位置指令和磁柵編碼器位置輸出之間存在著一個(gè)等效傳遞函數(shù)，可以將其結(jié)合后面的柔性臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)，通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)的方法得到等效模型。

2 柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖2(a)給出了基于PMLM的平動(dòng)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)示意圖。其中PMLM為動(dòng)初級(jí)結(jié)構(gòu)，即定子為永磁次級(jí)，動(dòng)子為電樞初級(jí)。其剛?cè)狁詈蟿?dòng)力等效物理模型如圖2(b)所示，整個(gè)系統(tǒng)處于固定全局坐標(biāo)系XOY中，動(dòng)子及柔性臂沿Y方向做直線運(yùn)動(dòng)，柔性臂通過(guò)裝置固定在PMLM動(dòng)子上，其根部關(guān)聯(lián)隨動(dòng)坐標(biāo)系xoy，y與Y重合；m為末端負(fù)載質(zhì)量；w(l,t)為柔性臂末端在隨動(dòng)坐標(biāo)系下的撓度；p(l,t)為末端在全局坐標(biāo)系下的位移，即有p(l,t) =y(t)+w(l,t)；柔性臂的體密度、彈性模量、厚度、高度、長(zhǎng)度和截面慣性矩分別用ρ、E、b、h、l、I表示。

圖2 平動(dòng)柔性臂系統(tǒng)及其等效物理模型示意圖

在PMLM驅(qū)動(dòng)柔性臂做直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，柔性臂的彈性振動(dòng)對(duì)電機(jī)動(dòng)子具有耦合反力Fcoup的作用。因此，式(3)應(yīng)改為

(5)

不考慮重力影響，狹長(zhǎng)矩形等截面勻質(zhì)柔性機(jī)械臂在其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于截面寬度的情況下可看作歐拉-伯努利梁模型。由于柔性臂的彈性振動(dòng)以一階模態(tài)振動(dòng)為主，且在小變形條件下，可以采用分布模型中的集中質(zhì)量法來(lái)近似描述柔性臂末端的振動(dòng)響應(yīng)[11]。在耦合反力作用下，柔性臂振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型可表述為

(6)

式中：meq為柔性臂等效到其末端的集中質(zhì)量，其值為104×ρbhl/405；ξ為柔性臂等效結(jié)構(gòu)阻尼。

柔性臂末端等效質(zhì)量的移動(dòng)位移為

p(l,t)=y(t)-w(l,t)

(7)

根據(jù)梁的彎曲變形理論，耦合力可以表述為

(8)

綜合式(6)～式(8)可得直線平動(dòng)柔性臂系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型：

(9)

經(jīng)過(guò)Laplace變換后得：

(10)

結(jié)合式(8)可得：

(11)

試驗(yàn)中利用粘貼在柔性臂根部的應(yīng)變?nèi)珮螂娐窓z測(cè)柔性臂的振動(dòng)信息，并通過(guò)儀表放大器將應(yīng)變信號(hào)ε調(diào)理為電壓信號(hào)：

(12)

式中：s0為應(yīng)變片靈敏度系數(shù)；E0為全橋電路橋電壓；xs為應(yīng)變傳感器位置；γ0為柔性臂的應(yīng)變轉(zhuǎn)換系數(shù)；w(x,t)為柔性臂在隨動(dòng)坐標(biāo)系下坐標(biāo)x處的撓度，當(dāng)x=l時(shí)為末端的撓度。

在集中質(zhì)量法和小變形假設(shè)的前提下，只考慮柔性臂的一階振動(dòng)模態(tài)，其根部與末端振動(dòng)位移具有近似線性關(guān)系，結(jié)合式(12)可得：

(13)

結(jié)合式(10)可得：

(14)

得到PMLM的位置輸出和應(yīng)變傳感器輸出電壓信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。再結(jié)合1.2節(jié)提出的PMLM伺服控制系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)，可以認(rèn)為從位置指令輸入到應(yīng)變檢測(cè)電路輸出電壓之間存在等效傳遞函數(shù)關(guān)系。

3 試驗(yàn)平臺(tái)與系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果

3.1 試驗(yàn)平臺(tái)

為了開(kāi)展基于PMLM柔性臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型辨識(shí)、柔性臂驅(qū)動(dòng)殘余振動(dòng)抑制等試驗(yàn)，搭建了基于PMLM驅(qū)動(dòng)的柔性臂試驗(yàn)平臺(tái)。試驗(yàn)所用PMLM為湖南長(zhǎng)沙一派生產(chǎn)的PMLM模組，其主要參數(shù)如表1所列。

表1 PMLM模組參數(shù)表

柔性機(jī)械臂根部通過(guò)剛性結(jié)構(gòu)固定在該P(yáng)MLM的動(dòng)子上，柔性機(jī)械臂采用環(huán)氧聚酯加工而成，其參數(shù)如表2所列。

表2 動(dòng)柔性臂系統(tǒng)參數(shù)表

該試驗(yàn)平臺(tái)包括：基于TI公司DSP芯片TMS320F28062的電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、環(huán)氧聚酯單連桿柔性臂、應(yīng)變片全橋電路及儀表放大器采集模塊、PMLM電機(jī)、分辨率為1 μm的雷尼紹磁柵尺位置傳感器以及測(cè)量設(shè)備，如圖3所示。

圖3 基于DSP的PMLM試驗(yàn)系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)

PMLM伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)硬件結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。主要包括：系統(tǒng)電源、DSP芯片、基于場(chǎng)效應(yīng)管MOSFET的三相逆變橋、IR2812S驅(qū)動(dòng)電路、相電流采樣電路、應(yīng)變片全橋振動(dòng)信號(hào)采集電路、正交編碼器采集電路。

圖4 基于DSP的PMLM控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

分別對(duì)伺服控制系統(tǒng)輸入2種位置指令信號(hào)：0.1 m階躍信號(hào)和1～3 Hz幅值為0.05 m的正弦掃頻激勵(lì)信號(hào)，得到PMLM動(dòng)子的響應(yīng)位移和柔性臂根部的應(yīng)變檢測(cè)電路振動(dòng)信號(hào)，運(yùn)行時(shí)間為3.2 s，采樣時(shí)間為0.001 6 s。將輸入位移信號(hào)和振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換后的末端位移信號(hào)即末端全局坐標(biāo)p(l,t)用MATLAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，得到等效模型。

其中，輸入階躍位移指令信號(hào)得到的結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出動(dòng)子的階躍響應(yīng)阻尼性能較好，不存在欠阻尼振蕩的現(xiàn)象。末端全局坐標(biāo)能體現(xiàn)柔性臂小阻尼彈性振動(dòng)特性及和剛體運(yùn)動(dòng)的耦合，柔性臂末端最終在指定位移處衰減振蕩。

圖5 階躍輸入位置指令、動(dòng)子位移和末端全局坐標(biāo)的時(shí)域圖

將輸入位置指令和末端全局坐標(biāo)代入MATLAB辨識(shí)工具箱，得到等效傳遞函數(shù)為

G(s)=

(15)

式中：B0～B6以及A0～A6為擬合系數(shù)。其中B6=-0.165、B5=19.6、B4=-2 519、B3=1.129×105、B2=-5.257×106、B1= 1.498×108、B0=7.963×108,A6=1、A5=37.86、A4=8 605、A3=2.556×105、A2=1.723×107、A1=2.835×108、A0=7.973×108。

將原始輸入信號(hào)輸入模型后得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際末端全局坐標(biāo)信號(hào)作對(duì)比，得到如圖6(a)所示。從圖6中可以看出，用已辨識(shí)得到的系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)的仿真輸出值與試驗(yàn)得到的實(shí)際值吻合度較高。圖6(b)給出了其誤差曲線，可以看出誤差大部分時(shí)間在±4 mm以內(nèi)。

圖6 階躍輸入條件下末端全局坐標(biāo)仿真和實(shí)際輸出及其誤差曲線

為了定量比對(duì)辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的近似程度，引入模型吻合度指標(biāo)如下[9]：

(16)

輸入1～3 Hz掃頻激勵(lì)信號(hào)得到的結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出動(dòng)子位移輸出的幅值隨著輸入頻率的增加而衰減，且有相移，體現(xiàn)了幅頻特性和相頻特性，末端全局坐標(biāo)體現(xiàn)了柔性臂的彈性振動(dòng)疊加在動(dòng)子運(yùn)動(dòng)曲線上。

圖7 掃頻激勵(lì)輸入位置指令、動(dòng)子位移和末端全局坐標(biāo)的時(shí)域圖

將輸入位置指令和末端全局坐標(biāo)代入MATLAB辨識(shí)工具箱，得到等效傳遞函數(shù)為

G(s)=

(17)

式中：K、B0～B6以及A0～A6為擬合系數(shù)。其中K=-0.025 6、B6=-2.77、B5=-995.6、B4=7 792、B3=-4.245×106、B2=2.544×108、B1=7.184×109、B0=3.702×109,A6=1、A5=48.27、A4=2.268×105、A3=1.746×106、A2=1.072×109、A1=7.039×109、A0=4.618×109。

將原始輸入信號(hào)輸入模型后得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際末端全局坐標(biāo)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，得到如圖8(a)所示。從圖8(a)中可以看出，用已辨識(shí)得到的系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)的仿真輸出值與試驗(yàn)得到的實(shí)際值吻合度較高，運(yùn)用式(16)得到吻合度為89.59%。其誤差曲線如圖8(b)所示，誤差約在±5 mm以內(nèi)。

圖8 掃頻激勵(lì)輸入條件下末端全局坐標(biāo)仿真和實(shí)際輸出及其誤差曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

為了解決PMLM驅(qū)動(dòng)SLFM做點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在殘余振動(dòng)從而影響柔性臂末端迅速精準(zhǔn)定位的問(wèn)題，本文研究了平動(dòng)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模及等效模型辨識(shí)問(wèn)題，建立了從PMLM的動(dòng)子位移到柔性臂根部應(yīng)變振動(dòng)信號(hào)的傳遞函數(shù)模型，采用階躍輸入法和掃頻激勵(lì)法進(jìn)行了試驗(yàn)辨識(shí)得到等效模型。試驗(yàn)結(jié)果表明辨識(shí)模型的仿真輸出與實(shí)際輸出有較高的吻合程度，驗(yàn)證了模型辨識(shí)結(jié)果的正確性，反映了基于PMLM的平動(dòng)柔性臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，為開(kāi)展基于PMLM的平動(dòng)柔性臂系統(tǒng)抑制殘余振動(dòng)控制提供了模型基礎(chǔ)。