基于弧長法的南瓜型超壓氣球非線性后屈曲分析

卜亞樓， 楊燕初*， 蔡榕， 趙榮， 張向強(qiáng)

(1.中國科學(xué)院大學(xué)航空宇航學(xué)院， 北京 100040； 2.中國科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院， 北京 100094)

南瓜型超壓氣球是目前長航時浮空飛行平臺的主流設(shè)計形式。其通過在歐拉體球形[1]表面均勻鋪設(shè)加強(qiáng)筋、使球膜形成局部高曲率鼓包的方式來減小球膜應(yīng)力，提高承壓能力。因形狀似南瓜，因此被稱作南瓜型超壓氣球。南瓜球具有駐空高度穩(wěn)定、飛行時間長、效費(fèi)比高的特點(diǎn)，是執(zhí)行臨近空間科學(xué)試驗(yàn)和高空飛行任務(wù)最穩(wěn)定的平臺之一[2]。南瓜球雖然在承壓能力和應(yīng)力分布方面具有明顯優(yōu)勢，但在某些情況下卻呈現(xiàn)出扭曲、不對稱的構(gòu)型，使得南瓜球的穩(wěn)定性研究和分析成為其結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要問題。

針對南瓜球的失穩(wěn)現(xiàn)象，Calladine[3]最早從幾何穩(wěn)定性的角度開展研究。通過將球膜的幾何剛度與歐拉梁的抗彎剛度進(jìn)行類比，得到球膜幅數(shù)n與凸出角α(球膜局部凸出鼓包的弧長所對應(yīng)的圓心角)之間的穩(wěn)定性判據(jù)。但在隨后的研究中發(fā)現(xiàn)，Calladine[3]的結(jié)論更適用于按照恒定凸出角度(constant bulge angle, CA)設(shè)計的氣球。Smith等[4]認(rèn)為按照恒定凸出半徑(constant bulge radius, CR)設(shè)計的氣球展開穩(wěn)定性更好；而Schur[5]通過地面試驗(yàn)推斷，過量的幅寬可能導(dǎo)致南瓜球的展開不穩(wěn)定性，并指出按照恒定凸出半徑設(shè)計的氣球更有利于展開；Baginski等[6-9]通過能量最小原理計算氣球的平衡構(gòu)型。對成型氣球進(jìn)行穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn)，如果氣球處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，那么在正常上升過程中可能不會完全展開。

有限元技術(shù)的發(fā)展使得利用數(shù)值方法來求解結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)問題成為可能。文獻(xiàn)[10-11]使用基于動態(tài)松弛求解方法的內(nèi)部有限元程序套件inTENS來模擬南瓜球的失穩(wěn)行為。該方法基于顯式求解技術(shù)，其時間步動態(tài)分析結(jié)合了自動動能阻尼控制技術(shù)，通過給模型設(shè)定內(nèi)部壓力和相應(yīng)的薄膜應(yīng)力進(jìn)行數(shù)值預(yù)測。文獻(xiàn)[10-11]使用該程序套件對直徑為10 m的南瓜球進(jìn)行求解，得到了內(nèi)部壓力為690 Pa時的扭曲形態(tài)，數(shù)值預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)相比有良好的相關(guān)性；Deng[12]基于ABAQUS/Explicit計算了部分充氣氣球的平衡構(gòu)型。其中考慮了球膜材料的非線性行為，對正交各向異性黏彈性材料進(jìn)行了分析和建模，并基于變泊松比的起皺準(zhǔn)則模擬了球膜的褶皺行為，獲得的仿真結(jié)果與試驗(yàn)相比有較好的一致性。Deng[12]還在仿真的基礎(chǔ)上結(jié)合量綱分析構(gòu)建了南瓜球穩(wěn)定性判據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式，是南瓜球穩(wěn)定性研究上的一大進(jìn)展；Pagitz等[13]認(rèn)為南瓜球扭曲的穩(wěn)定平衡構(gòu)型是一個涉及平衡路徑分叉屈曲的問題，他們通過求解整體切線剛度矩陣的特征值和特征向量來研究失穩(wěn)壓強(qiáng)和失穩(wěn)形態(tài)；Xu等[14-15]利用ABAQUS軟件開展特征值屈曲分析，預(yù)測了氣球的臨界失穩(wěn)壓強(qiáng)和相應(yīng)的屈曲模態(tài)，對可能影響南瓜球穩(wěn)定性的因素進(jìn)行靈敏度分析，獲得了重要的研究結(jié)論；之后在特征值屈曲分析的基礎(chǔ)上基于*static, stabilize開展非線性后屈曲分析以模擬氣球超過臨界壓力后的響應(yīng)。

Koiter[16]提出了考慮初始缺陷的非完善結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一般準(zhǔn)則和缺陷敏感度的概念，指出實(shí)際結(jié)構(gòu)不可避免地存在初始缺陷，這會降低結(jié)構(gòu)的屈曲載荷。具體地，Baginski等[7]指出南瓜球制造的不精確性、球膜和加強(qiáng)筋材料的不均勻性，以及外界環(huán)境的變化(如溫度)對穩(wěn)定性有很大影響。這表明，初始缺陷對南瓜球穩(wěn)定性的影響不可忽略。Xu等[15]中雖構(gòu)造了初始缺陷開展非線性后屈曲分析，但其側(cè)重點(diǎn)在于研究氣球超過臨界壓力后的響應(yīng)，無法獲得缺陷模式、缺陷幅值等對南瓜球極限承壓能力的影響。因此，目前對于初始缺陷如何影響南瓜球穩(wěn)定性的問題僅停留在定性認(rèn)識上，尚未開展深入研究。

較多的薄膜結(jié)構(gòu)分析采用顯式準(zhǔn)靜態(tài)算法[17]，而南瓜球由于整體結(jié)構(gòu)尺寸較大、球膜具有較強(qiáng)的幾何非線性且球膜和加強(qiáng)筋彈性模量相差懸殊，傳統(tǒng)計算方法面臨著計算量大、計算不易收斂的問題。更重要的是，顯式準(zhǔn)靜態(tài)算法無法獲得缺陷模式、缺陷幅值等對南瓜球極限承壓能力的影響。而基于弧長法的非線性后屈曲分析是研究結(jié)構(gòu)缺陷敏感性的重要方法，其在追蹤失穩(wěn)路徑、捕捉極限承壓力方面具有明顯優(yōu)勢。文獻(xiàn)[18]采用弧長法對膜結(jié)構(gòu)雷達(dá)罩進(jìn)行了穩(wěn)定性研究，取得了較好的結(jié)果，是弧長法在膜結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的最新應(yīng)用。此外，該方法在球殼受外壓屈曲[19-20]、網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)屈曲[21-22]、復(fù)合材料加筋壁板受軸壓屈曲[23-25]等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用。

因此，在前人研究的基礎(chǔ)上，現(xiàn)將弧長法應(yīng)用到南瓜球穩(wěn)定性研究上?；谠摲椒饶塬@得南瓜球的缺陷敏感特性，也能獲得南瓜球前后屈曲的全部信息,是南瓜球穩(wěn)定性研究的一種新的方法。采用弧長法對受內(nèi)壓南瓜球的非線性屈曲過程進(jìn)行數(shù)值模擬，基于特征值屈曲模態(tài)位移構(gòu)建了兩種缺陷模式，對模態(tài)缺陷下受壓南瓜球的穩(wěn)定性進(jìn)行研究。通過對比不同缺陷幅值和缺陷模式下南瓜球的臨界載荷，研究南瓜球?qū)缀稳毕莸拿舾行浴ａ槍￠L法下降段難以收斂的問題，使用重啟動方法結(jié)合顯式動力學(xué)計算南瓜球屈曲后的響應(yīng)，獲得南瓜球的失穩(wěn)形態(tài)和應(yīng)力分布，為南瓜球在工程領(lǐng)域的設(shè)計制造提供參考。

1 穩(wěn)定性分析的有限元法

1.1 線性特征值屈曲分析

特征值屈曲分析是一種線性攝動分析，它基于小位移線彈性理論，可以計算包含桁架單元、梁單元、板殼單元、實(shí)體單元的結(jié)構(gòu)臨界載荷系數(shù)和相應(yīng)的屈曲模態(tài)。結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程為

K+λKGu=Q

(1)

式(1)中：K為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣；KG為結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣；λ為特征值；u為結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征向量；Q為作用在結(jié)構(gòu)上的載荷。

平衡方程[式(1)]失穩(wěn)的條件是方程存在奇異性，即等效剛度矩陣的行列式的值為零。

|K+λKG|=0

(2)

線性屈曲分析即為求解式(2)的特征值，所求得的特征值即為臨界載荷系數(shù)。將某一階屈曲模態(tài)特征值與施加的計算載荷相乘，就得到該階模態(tài)下結(jié)構(gòu)的特征值屈曲臨界載荷。u為結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征向量，即屈曲模態(tài)位移，它預(yù)測了結(jié)構(gòu)可能的失效形式。由于線性特征值屈曲以小位移小應(yīng)變的線彈性理論為基礎(chǔ)，沒有考慮結(jié)構(gòu)在受載過程中結(jié)構(gòu)構(gòu)型的變化，在外力施加的各個階段，平衡方程始終建立在初始構(gòu)型上，忽略了實(shí)際加載過程中結(jié)構(gòu)剛度矩陣的變化。因此，線性特征值屈曲分析計算結(jié)果偏保守，對于缺陷敏感結(jié)構(gòu)需要進(jìn)行非線性后屈曲分析。

1.2 弧長法

弧長法是結(jié)構(gòu)非線性分析中計算穩(wěn)定高效的一種數(shù)值方法，能夠有效地分析結(jié)構(gòu)非線性前后屈曲并跟蹤后屈曲路徑，從而獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后的全部信息，并有效捕捉極限載荷。

在非線性后屈曲分析中，針對Newton-Raphson迭代方法在屈曲臨界點(diǎn)附近結(jié)構(gòu)剛度接近奇異時迭代不易收斂的情況，通過結(jié)合修正的弧長法可以穩(wěn)定求解通過極值點(diǎn)的結(jié)構(gòu)分析全過程。假設(shè)載荷成比例加載，迭代方程為

(3)

將位移增量ΔUi與載荷比例因子λt+Δt通過弧長半徑L聯(lián)系起來可得到求解λt+Δt的約束方程，即

ω(Δλi)2‖PW‖2+β‖ΔUi‖2=(ΔL)2

(4)

式(4)中：‖PW‖、‖ΔUi‖為外載荷向量和位移增量的二范數(shù)；Δλi為第i次迭代的載荷比例因子增量；ΔL為弧長增量的半徑；ω、β為尺度因子，在不同的弧長控制方法中取值不同。

2 有限元建模與特征值屈曲分析

2.1 數(shù)值模型建模

取某一南瓜球作為算例，其幾何參數(shù)如表1所示。

表1 南瓜球幾何參數(shù)

圖1為赤道平面處相鄰加強(qiáng)筋之間球膜的截面形狀。氣球的加強(qiáng)筋位于相鄰兩幅球膜的焊縫處，氣球的赤道半徑用R表示。對于n幅球膜的情況，赤道對角為θ=2π/n。

s為鼓包的弧長；c為弦長；r為凸出半徑；α為凸出角圖1 赤道平面處的凸出截面形狀Fig.1 Lobe geometry at equator

根據(jù)幾何關(guān)系，弦長c可用赤道半徑和赤道對角表示：

(5)

此外，弦長也可用凸出半徑和凸出角表示：

(6)

根據(jù)式(5)和式(6)，可得出赤道半徑與凸出半徑的關(guān)系為

(7)

鼓包弧長為

s=αr

(8)

由于鼓包的圓弧與凸出角或凸出半徑有關(guān)，目前南瓜球的設(shè)計主要采用兩種方式，一是凸出半徑沿子午線保持恒定的凸出半徑設(shè)計，二是凸出角沿子午線保持恒定的凸出角度設(shè)計。祝榕辰[26]證明了恒定凸出半徑的設(shè)計方法能使球膜表面的應(yīng)力分布更加均勻；文獻(xiàn)[5]從展開穩(wěn)定性的角度論證了恒定凸出半徑設(shè)計的氣球具有更好的穩(wěn)定性。因此，恒定凸出半徑設(shè)計方法得到了較廣泛應(yīng)用。本文的計算模型采用恒定凸出半徑設(shè)計。根據(jù)以上幾何參數(shù)及幾何關(guān)系完成建模，三維模型圖如圖2所示。

圖2 南瓜球三維模型示意圖Fig.2 Schematic layout of a 3D pumpkin balloon

氣球球膜和加強(qiáng)筋對其所用的材料有多種特性要求，隨著材料科學(xué)的發(fā)展，球膜和加強(qiáng)筋的特性在不斷改善。線性低密度聚乙烯以其優(yōu)越的性質(zhì)取代了以前的低密度聚乙烯作為球膜材料；PBO(p-phenylene benzobisoxazole)以其優(yōu)越的力學(xué)性能、熱穩(wěn)定性和優(yōu)異的強(qiáng)度重量比被選擇作為加強(qiáng)筋的材料。目前，世界上幾個開展高空氣球項目的國家均在采用這種材料，如ULDB(ultra long duration balloon)項目。具體材料屬性如表2所示。

南瓜球的線彈性各向同性球膜采用M3D4R膜單元建模。這是由于膜單元僅有平面內(nèi)剛度，沒有彎曲剛度，且M3D4R是一個4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，為減縮積分單元，具有計算高效的優(yōu)點(diǎn)；桁架單元通常用于模擬僅在軸向承受拉伸或壓縮應(yīng)力的細(xì)長結(jié)構(gòu)，氣球中的加強(qiáng)筋雖然無法承受壓應(yīng)力，但在超壓狀態(tài)下所承受的拉應(yīng)力與桁架單元沿軸向傳遞的拉伸特性是相同的，因此采用桁架單元T3D2對加強(qiáng)筋進(jìn)行建模，其中加強(qiáng)筋的剛度定義為彈性模量和橫截面的乘積。

南瓜球超壓時，載荷會從球膜轉(zhuǎn)移到位于焊縫處的加強(qiáng)筋上，并連接到位于氣球頂部和底部的剛性法蘭盤上。位于焊縫處的加強(qiáng)筋通過封套約束在球膜表面，加強(qiáng)筋和球膜之間沿軸向?yàn)榛瑒幽Σ良s束。但實(shí)際數(shù)值仿真中，由于筋膜之間的滑動摩擦約束關(guān)系不易建模，且筋膜之間容易相互穿透導(dǎo)致計算不收斂，因此通常將筋膜建模為共節(jié)點(diǎn)約束以代替滑動摩擦約束來傳遞軸向力。趙榮等[27]已通過數(shù)值仿真證明了加強(qiáng)筋和膜單元之間采用共節(jié)點(diǎn)約束與采用滑動摩擦約束對球膜承力并無很大差別；文獻(xiàn)[28]同樣采用共節(jié)點(diǎn)約束開展靜力學(xué)分析，取得了較為合理的結(jié)果。因此，為了建模簡單起見，本研究同樣采用共節(jié)點(diǎn)約束。頂部法蘭盤和底部法蘭盤均為全約束。此外，為了獲得較好的網(wǎng)格質(zhì)量，本分析中沒有構(gòu)建法蘭盤部件，而是以桁架單元代替法蘭，這樣做可以提高計算的收斂性而不影響計算結(jié)果。單元數(shù)量對于模擬結(jié)果的準(zhǔn)確度影響很大，需要進(jìn)行無關(guān)性驗(yàn)證，一般認(rèn)為單元數(shù)量的選取應(yīng)該使前后兩次分析結(jié)果相對浮動量小于等于1%。經(jīng)計算比較，最后選擇的劃分單元數(shù)量為T3D2：13 600個，M3D4R：64 600個。取單位載荷1 Pa為計算載荷，以均布力形式施加在氣球內(nèi)表面。

表2 材料屬性

2.2 線性特征值屈曲分析

首先對南瓜球進(jìn)行線性特征值屈曲分析，得到屈曲壓強(qiáng)和模態(tài)位移。在非線性后屈曲分析中，需要用模態(tài)位移構(gòu)造初始幾何缺陷。

計算得到前8階屈曲壓強(qiáng)和屈曲模態(tài)，結(jié)果如表3所示。從表3中看出，在前8階屈曲模態(tài)中存在著模態(tài)形狀相似、特征壓強(qiáng)相近的4組相鄰模態(tài)，如1階和2階、3階和4階，其屈曲模態(tài)構(gòu)型除了在位移幅值上有微小的差別外，相近特征值下的兩個模態(tài)為繞豎直軸旋轉(zhuǎn)約15°(圖3)，說明即使在相等的外載荷作用下，南瓜球仍存在多種可能的屈曲位移趨勢，證明南瓜球具有分支屈曲的特性。

圖4顯示了南瓜球前4組相近特征值對應(yīng)的屈曲模態(tài)。需要注意的是屈曲模態(tài)u為歸一化向量，最大位移分量為1.0，這并不代表在臨界載荷下變形的實(shí)際大小，但能夠表明結(jié)構(gòu)的可能失穩(wěn)模式。屈曲模態(tài)構(gòu)型表現(xiàn)出整體對稱的n上n下(n為自然數(shù))形態(tài)。高階模態(tài)對應(yīng)更大的n值；隨著n的增大，需要更大的臨界壓強(qiáng)通過分叉加載點(diǎn)，但臨界壓強(qiáng)與n值并非簡單的線性關(guān)系。n不超過4時，相鄰特征壓強(qiáng)相差較?。划?dāng)n大于4時，相鄰特征壓強(qiáng)表現(xiàn)出顯著的差距。

表3 南瓜球特征值屈曲分析結(jié)果

圖3 具有相近特征值的兩個屈曲模態(tài)對比圖Fig.3 Comparison diagrams of two buckling modes with similar eigenvalues

圖4 前四組特征模態(tài)的總位移等值線圖Fig.4 Contourplots of total displacements of the first four eigenmodes

3 非線性后屈曲分析

3.1 初始缺陷的建立

氣球受壓時，在屈曲前主要受均勻的面內(nèi)力，保持其球形均勻擴(kuò)張的平衡狀態(tài)；到達(dá)屈曲臨界點(diǎn)時，有多個可能的失穩(wěn)分支路徑；當(dāng)受到擾動時，將沿某一路徑發(fā)生變形失穩(wěn)，進(jìn)入到新的平衡狀態(tài)，屬于分支點(diǎn)屈曲問題。基于線性屈曲分析的模態(tài)位移構(gòu)造初始缺陷分布用以誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)的后屈曲行為，利用弧長法進(jìn)行非線性后屈曲分析，獲得南瓜球的缺陷敏感特性。

其中應(yīng)用式(9)來表述缺陷幾何的擾動網(wǎng)格：

(9)

式(9)中：ψi為第i階模態(tài)形狀；θi為相應(yīng)的縮放因子，即缺陷比例系數(shù)，表示對模態(tài)位移進(jìn)行縮放；Δxi為縮放后的模態(tài)位移。

由式(9)可知，構(gòu)建初始缺陷的方式是多樣的，既可以對某一階模態(tài)位移進(jìn)行縮放，也可以對多階模態(tài)位移縮放后進(jìn)行線性組合。因此在進(jìn)行非線性后屈曲分析時，采用了兩種方法來構(gòu)造初始缺陷。第一種是臨界缺陷模態(tài)法，即基于4上4下臨界模態(tài)位移的缺陷氣球。該理論認(rèn)為，臨界屈曲模態(tài)對應(yīng)最小勢能狀態(tài)，當(dāng)結(jié)構(gòu)缺陷分布形式與臨界模態(tài)吻合時，結(jié)構(gòu)最容易發(fā)生屈曲，即最低階模態(tài)缺陷是最不利的幾何缺陷構(gòu)型。運(yùn)用臨界缺陷模態(tài)法對模型進(jìn)行分析時，先后引入5種缺陷幅值進(jìn)行對比分析，最小缺陷比例系數(shù)為0.01。

圖5顯示了帶有1%初始缺陷的氣球的幾何形狀，可以看出，氣球輕微變形，但足以觸發(fā)后屈曲行為。由于缺陷均是基于臨界模態(tài)位移，所以5種缺陷幅值所對應(yīng)的構(gòu)型一致，只是初始撓度不同。

圖5 基于臨界屈曲模態(tài)的初始缺陷氣球Fig.5 Balloon with initial imperfection based on first buckling eigenmode

另一種是組合缺陷模態(tài)法。Triantafyllidis等[29]發(fā)現(xiàn)，在一些不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)中，由于其特殊的幾何形狀，在相同的載荷水平下會出現(xiàn)整體屈曲和局部屈曲。對于這些結(jié)構(gòu)，不穩(wěn)定點(diǎn)對初始缺陷的形狀非常敏感。該理論認(rèn)為，不止一階屈曲模態(tài)用來構(gòu)造初始缺陷，多階屈曲模態(tài)的組合也可用來構(gòu)造幾何缺陷。因此，本文的第二種初始缺陷的構(gòu)造方法是使用前8階模態(tài)位移進(jìn)行線性組合來觸發(fā)后屈曲行為，其中每種模態(tài)的缺陷比例系數(shù)均為0.01。

3.2 缺陷敏感度分析

采用弧長法對缺陷氣球進(jìn)行非線性有限元分析。圖6為某一缺陷幅值下載荷和應(yīng)變能隨迭代弧長變化的曲線。當(dāng)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時，載荷-位移曲線出現(xiàn)負(fù)剛度，對應(yīng)的載荷-弧長曲線出現(xiàn)下降段，結(jié)構(gòu)同時釋放應(yīng)變能維持平衡。由圖6可知，載荷和應(yīng)變能在同一時刻發(fā)生轉(zhuǎn)折，說明結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)。

圖6 載荷和應(yīng)變能隨迭代弧長變化曲線Fig.6 Curve of load and strain energy with iteration arc length

圖7和圖8分別為臨界缺陷模態(tài)法和組合缺陷模態(tài)法在5種缺陷幅值下氣球的載荷-弧長曲線。屈曲載荷結(jié)果對比如表4所示。

圖7 基于臨界缺陷模態(tài)法不同缺陷幅值下的載荷- 弧長曲線Fig.7 Load-arc length curves under different defect amplitudes based on critical defect mode method

圖8 基于組合缺陷模態(tài)法不同缺陷幅值下的載荷- 弧長曲線Fig.8 Load-arc length curves under different defect amplitudes based on combined defect mode method

由表4可知，缺陷狀態(tài)下非線性屈曲臨界載荷小于線性特征值屈曲臨界載荷，特征值屈曲分析結(jié)果偏保守。因此，工程實(shí)際中有必要對南瓜球進(jìn)行非線性后屈曲分析。

表4 屈曲載荷結(jié)果對比

對比相同缺陷模式下不同缺陷幅值所對應(yīng)的屈曲載荷發(fā)現(xiàn)，臨界載荷隨缺陷幅值的增加而減小。假設(shè)實(shí)際制造的南瓜球其初始缺陷符合臨界屈曲模態(tài)構(gòu)型1%的情況，其屈曲臨界載荷為224.5 Pa。當(dāng)缺陷比例系數(shù)為0.02時，其屈曲臨界載荷為215 Pa，承載力相對下降約4.2%。當(dāng)缺陷比例系數(shù)為0.05時，承載力相對下降13%，說明幾何缺陷幅值對屈曲臨界載荷有顯著影響。

圖9 充氣過程中位移等高線圖Fig.9 Contours of displacement during inflation

此外，缺陷幅值相同時，不同缺陷模式對應(yīng)的非線性臨界屈曲載荷各不相同?；诮M合特征缺陷模態(tài)法構(gòu)造的幾何缺陷所對應(yīng)的屈曲載荷要低于同幅值下的臨界缺陷模態(tài)法。同樣地，假設(shè)實(shí)際制造的南瓜球其初始缺陷符合組合屈曲模態(tài)構(gòu)型1%的情況，其屈曲臨界載荷為212 Pa。當(dāng)缺陷比例系數(shù)為0.02時，其屈曲臨界載荷為193.5 Pa，承載力相對下降約8.7%，當(dāng)缺陷比例系數(shù)為0.05時，承載力相對下降53.5%。下降幅值高于相同缺陷比例系數(shù)下的臨界缺陷模態(tài)情況，且隨著比例系數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)承壓力大幅度下降，這表明：①缺陷幅值和缺陷模式對失穩(wěn)載荷有顯著影響，南瓜球是一種缺陷敏感性結(jié)構(gòu)；②第一階模態(tài)缺陷不一定是最不利的幾何缺陷構(gòu)型，求解的臨界載荷有可能高估結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷；組合模態(tài)缺陷也有出現(xiàn)的可能，其對應(yīng)的屈曲臨界載荷有可能更低，對南瓜球屈曲特性的研究應(yīng)考慮多種模態(tài)缺陷情況，以便找出最低承載力對應(yīng)的缺陷模式。

3.3 失穩(wěn)形態(tài)和應(yīng)力分布分析

針對弧長法下降段難以收斂的情況，利用重啟動方法結(jié)合顯示動力學(xué)計算了兩種缺陷模式下屈曲之后的失穩(wěn)形態(tài)和應(yīng)力分布隨載荷的變化情況。需要注意的是，由于球膜的大變形，球膜之間會發(fā)生接觸，需對接觸進(jìn)行設(shè)置。

對于單個臨界缺陷模態(tài)的初始構(gòu)型，發(fā)現(xiàn)氣球最終穩(wěn)定為4上4下的整體屈曲構(gòu)型。圖9顯示了氣球從初始缺陷構(gòu)型充氣到500 Pa的過程中位移變化情況。在充氣剛開始時(100 Pa之前)，氣球僅發(fā)生輕微變形，位移變化較小，位移云圖開始出現(xiàn)不均勻性；繼續(xù)充氣，壓力從100 Pa變化到230 Pa的過程中氣球仍未出現(xiàn)明顯變形；從230 Pa開始，變形速率顯著增大；在300 Pa之后再次減小。氣球變形速率變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)位于230 Pa附近，大約為非線性后屈曲的臨界失穩(wěn)壓強(qiáng)。在整個充氣過程中，氣球的缺陷模式被逐漸放大。

球膜的Mises應(yīng)力云圖如圖10所示。高應(yīng)力區(qū)位于氣球凸起的波峰，這可能是試驗(yàn)氣球在高壓下爆裂的區(qū)域。低應(yīng)力區(qū)位于波峰之間的接觸區(qū)域。觀察應(yīng)力圖例條可知，應(yīng)力值出現(xiàn)兩極分化，應(yīng)力分布極不均勻，且最大應(yīng)力值(近似取22.1 MPa)遠(yuǎn)高于未失穩(wěn)狀態(tài)時的最大應(yīng)力值(約 4 MPa，可參考文獻(xiàn)[27])。南瓜球在承壓能力、應(yīng)力分布方面的優(yōu)勢，在面對失穩(wěn)問題時消失。

圖10 Mises應(yīng)力云圖Fig.10 Mises stress contour

對于組合缺陷模態(tài)的構(gòu)型，氣球在500 Pa壓強(qiáng)下呈現(xiàn)局部變形，如圖11所示。與整體變形構(gòu)型(4上4下)不同，圖11顯示了一種非均勻變形模式，其中幾幅球膜形成局部塌陷，而球體表面的其他部分比較均勻。與整體變形模式中應(yīng)力分布不同，高應(yīng)力區(qū)位于局部塌陷的區(qū)域，并且應(yīng)力水平高于整體變形構(gòu)型中的應(yīng)力水平。

中外南瓜球的地面試驗(yàn)曾多次出現(xiàn)以上兩種失穩(wěn)構(gòu)型。一種是整體變形模式，氣球具有循環(huán)對稱的變形形狀，如4上4下；另一種是局部變形模式，美國國家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration，NASA)在氣球試驗(yàn)中多次發(fā)生S形裂縫的失穩(wěn)形態(tài)，中國科學(xué)院在地面試驗(yàn)中曾出現(xiàn)過局部塌陷(圖12)的失穩(wěn)形態(tài)。兩種不同的失穩(wěn)形態(tài)可能是由于初始缺陷模式不同造成的。

圖11 Mises應(yīng)力云圖Fig.11 Mises stress contour

圖12 地面試驗(yàn)中南瓜球出現(xiàn)局部失穩(wěn)Fig.12 Local instability of pumpkin balloon in ground test

在整體屈曲和局部屈曲構(gòu)型中，加強(qiáng)筋出現(xiàn)嚴(yán)重變形。圖13顯示了裂縫區(qū)域周圍嚴(yán)重變形的加強(qiáng)筋形狀。其應(yīng)力云圖顯示，無論是整體屈曲還是局部屈曲，在球膜接觸區(qū)域內(nèi)，加強(qiáng)筋應(yīng)力要相對偏低，并且其他區(qū)域內(nèi)的加強(qiáng)筋具有幾乎均勻的應(yīng)力值。這可以解釋為，在球膜的接觸區(qū)域，加強(qiáng)筋均位于較低位置，處于相對“松弛”狀態(tài)，這將導(dǎo)致應(yīng)力降低。

圖13 加強(qiáng)筋應(yīng)力分布Fig.13 Stress distribution of tendons

4 結(jié)論

通過有限元中的弧長法對基于屈曲模態(tài)位移構(gòu)造的缺陷南瓜球進(jìn)行非線性后屈曲分析，得到以下結(jié)論。

(1)南瓜球是缺陷敏感性結(jié)構(gòu)，其屈曲特性的數(shù)值分析需要考慮初始缺陷。南瓜球的屈曲臨界載荷隨缺陷幅值的增大而降低，對于臨界缺陷模態(tài)法，在缺陷系數(shù)為0.02時，南瓜球的承壓力相對理想氣球下降約4.2%，表明提高南瓜型超壓氣球穩(wěn)定性需要提高氣球的加工精度。

(2)采用臨界缺陷模態(tài)法和組合缺陷模態(tài)法模擬氣球初始缺陷構(gòu)型，相同缺陷幅值下組合缺陷模態(tài)法比臨界缺陷模態(tài)法求得的屈曲臨界載荷低了至少4.5%，表明第一階模態(tài)缺陷不一定是最不利的幾何缺陷構(gòu)型，對南瓜球屈曲特性的研究應(yīng)考慮多種缺陷模式，避免單一缺陷模式求解的承壓力高估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

(3)不同的缺陷模式在相同的壓強(qiáng)下形成的失穩(wěn)構(gòu)型不同。由臨界缺陷模態(tài)法模擬的初始缺陷構(gòu)型，在500 Pa時穩(wěn)定為整體失穩(wěn)；由組合缺陷模態(tài)法模擬的初始缺陷構(gòu)型，在500 Pa時穩(wěn)定為局部失穩(wěn)。

(4)南瓜球在內(nèi)壓下失穩(wěn)后應(yīng)力分布極不均勻。整體屈曲構(gòu)型中高應(yīng)力區(qū)位于凸起的波峰上，局部屈曲構(gòu)型中高應(yīng)力區(qū)位于局部失穩(wěn)區(qū)域，且失穩(wěn)狀態(tài)下高應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力水平遠(yuǎn)高于相同載荷下未失穩(wěn)狀態(tài)的應(yīng)力水平(前者約為后者的5倍)。失穩(wěn)現(xiàn)象大大降低了氣球的承壓能力，是南瓜球設(shè)計過程中急需解決的問題。