考慮參數(shù)簡(jiǎn)化的修正鄧肯-張模型

朱彥鵬,趙鈺

(1.蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050)

土體的本構(gòu)模型[1]是反映土體的應(yīng)力-應(yīng)變-時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，一般包括一系列的數(shù)學(xué)表達(dá)式。現(xiàn)階段常用的土體本構(gòu)模型較多，其中鄧肯-張模型[2]得益于其計(jì)算公式形式簡(jiǎn)潔，在土石壩、圍堰等有關(guān)工程的計(jì)算分析中得到廣泛應(yīng)用。鄧肯-張雙曲線模型是非線性彈性模型的典型代表。Duncan等[2]根據(jù)Kondner[3]理論提出鄧肯-張雙曲線模型用以表示土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，研究結(jié)果表明雙曲線關(guān)系能夠準(zhǔn)確地表示砂土在復(fù)雜的三軸加載條件下的力學(xué)行為。Roscoe等[4-5]根據(jù)土體剪切試驗(yàn)并基于此提出了著名的劍橋模型，第一次將土體臨界狀態(tài)的概念引入了土的應(yīng)力-應(yīng)變計(jì)算中。王釗等[6]將鄧肯-張E-ν模型應(yīng)用于三峽工程二期圍堰的混凝土心墻的變形和應(yīng)力計(jì)算分析中，結(jié)果表明該模型具有一定的適用性，但由于該模型未能對(duì)土體的剪脹性給出相應(yīng)表述，其計(jì)算結(jié)果受到一定影響。可以看出，鄧肯-張模型在實(shí)際工程應(yīng)用中得到了廣泛應(yīng)用，但同時(shí)也體現(xiàn)出該模型的局限性。因此，眾多學(xué)者開始針對(duì)鄧肯-張模型進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)。黃文熙等[7]研究表明，采用不同的加工硬化規(guī)律將得到不同形式的屈服函數(shù)，當(dāng)屈服軌跡與塑性勢(shì)函數(shù)重合時(shí)即可得到滿足正交定律的屈服函數(shù)，并基于此建立了包含屈服函數(shù)、塑性勢(shì)函數(shù)、加工硬化模量的彈塑性矩陣本構(gòu)關(guān)系。沈珠江[8]考慮了土和石料的剪脹性，提出一個(gè)由切線單軸壓縮模量、楊氏模量和剪脹系數(shù)3個(gè)參數(shù)組成的增量型非線性應(yīng)力應(yīng)變模型，該模型采用二次拋物線形式描述應(yīng)變關(guān)系，計(jì)算結(jié)果更加貼近土體的體變特征。殷宗澤等[9]以三軸試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)提出了基于剪切屈服面和體積屈服面的新的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系模型，該模型能模擬土的剪脹性。謝曉華等[10]考慮了第三主應(yīng)力增量Δσ3的變化對(duì)于切線模量的影響，根據(jù)三軸試驗(yàn)修正平面應(yīng)變狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角φp對(duì)鄧肯-張模型進(jìn)行修正。羅剛等[11]改進(jìn)了鄧肯-張模型和沈珠江模型，提出可統(tǒng)一模擬低圍壓到高圍壓條件下土體剪脹特性的表達(dá)式。劉軍定等[12]在鄧肯-張非線性本構(gòu)模型中引入聯(lián)合強(qiáng)度準(zhǔn)則，對(duì)破壞比Rf進(jìn)行修正，建立了基于聯(lián)合強(qiáng)度理論的鄧肯-張本構(gòu)模型。曾凱鋒等[13]將相對(duì)破碎指標(biāo)Br與應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，最終得到考慮顆粒破碎因素的修正鄧肯-張E-B模型。前人對(duì)于鄧肯-張模型的修正主要集中于考慮土體本身的結(jié)構(gòu)特性，引入相關(guān)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行修正[14-22]，而對(duì)于模型本身參數(shù)的簡(jiǎn)化和修正的相關(guān)研究較少。

針對(duì)鄧肯-張模型參數(shù)較多以及對(duì)于土體的剪脹性描述不足的問題，以鄧肯-張E-B模型及鄧肯-張E-ν模型為基礎(chǔ)，建立應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式，對(duì)原鄧肯-張模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式進(jìn)行簡(jiǎn)化，以沈珠江模型為基礎(chǔ)建立體積比μt來(lái)表達(dá)體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系，可以更好反映土的剪脹性，并采用粗粒土[11]和黏性土[23]的試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算結(jié)果對(duì)該模型的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 鄧肯-張模型

1.1 鄧肯-張E-B模型

Duncan等[2]在Kondner[3]的研究基礎(chǔ)上提出了以雙曲線形式擬合三軸試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(圖1)，在常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為

圖1 鄧肯-張模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.1 Duncan-Chang model stress-strain relationship curve

(1)

初始切線模量與圍壓的關(guān)系可表示為[24]

(2)

式(2)中：pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓力；K、n分別為無(wú)因次基數(shù)和無(wú)因次指數(shù)，其大小取決于土質(zhì)的試驗(yàn)常數(shù)，其值分別為lg(Ei/pa)與lg(σ3/pa)直線關(guān)系的截距和斜率。

偏應(yīng)力極限值表達(dá)式為

(3)

式(3)中：Rf為破壞比；(σ1-σ3)f為土體的破壞強(qiáng)度，一般依據(jù)Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則定義，有

(4)

式(4)中：c為黏聚力；φ為土的內(nèi)摩擦角。

將式(2)、式(3)代入式(1)可得

(5)

由式(5)可得

(6)

鄧肯-張(E-B)模型中，定義切線模量為

(7)

將式(6)代入式(7)可得

(8)

體積變形模量表達(dá)式為

(9)

式(9)中：Kb為體積模量系數(shù)；m為體積模量指數(shù)，二者均為試驗(yàn)材料常數(shù)。

1.2 鄧肯-張E-v模型

鄧肯-張E-v模型中假定常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中軸向應(yīng)變?chǔ)臿與側(cè)向應(yīng)變-ε3之間也存在雙曲線關(guān)系，可表示為

(10)

可寫為

(11)

E-v中切線泊松比的計(jì)算公式為

(12)

式(12)中：Δε3為側(cè)向應(yīng)變?cè)隽?；Δεa為軸向應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

(13)

式(13)中：G、F為試驗(yàn)常數(shù)，其中G為σ3=pa時(shí)初始泊松比的值，F(xiàn)為初始泊松比f(wàn)與lg(σ3/pa)直線關(guān)系的斜率。

將式(6)、式(13)代入式(12)可得

(14)

鄧肯-張非線性彈性模型是基于廣義胡克定律及三軸壓縮試驗(yàn)的結(jié)果而提出的，包括E-B模型和E-v模型。其中E-B模型和E-v模型均假定偏應(yīng)力(σ1-σ3)與軸向應(yīng)變?chǔ)臿之間的關(guān)系呈雙曲線型，故E-B模型和E-v模型中切線彈性模量Et的表達(dá)式[式(7)]中模型參數(shù)均相同。針對(duì)體應(yīng)變?chǔ)舦的表達(dá)兩個(gè)模型則有所差異：在E-B模型中假定體應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)臿為雙曲線關(guān)系，從而得到體積模量的表達(dá)式；而E-v模型中假定軸向應(yīng)變?chǔ)臿與側(cè)向應(yīng)變-ε3之間也為雙曲線關(guān)系，從而得到切線泊松比的計(jì)算公式[式(13)]。鄧肯-張模型中對(duì)于體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變之間關(guān)系的描述應(yīng)用單調(diào)增加的雙曲線關(guān)系來(lái)描述，只能反應(yīng)土的剪縮性，而不能更好反應(yīng)土的剪脹性；Et計(jì)算公式[式(7)]與νt計(jì)算公式[式(13)]共包含c、φ、K、n、Rf、D、F、G8個(gè)模型參數(shù)，確定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中計(jì)算參數(shù)較多且面臨參數(shù)確定的復(fù)雜過程。針對(duì)上述問題，在鄧肯-張模型基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)模型。

2 改進(jìn)模型建立

2.1 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

(15)

可寫為

(16)

經(jīng)整理可得

(17)

由式(16)可得

(18)

改進(jìn)模型同鄧肯-張E-B模型，定義切線彈性模量為

(19)

將式(18)代入式(19)可得

(20)

初始切線模量可表示為

(21)

該模型的參數(shù)為a′、b′，相較于鄧肯-張(E-B)模型，偏應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的參數(shù)相對(duì)減少。

2.2 體應(yīng)變-軸應(yīng)變關(guān)系

鄧肯-張E-ν模型對(duì)于體應(yīng)變-軸向應(yīng)變的關(guān)系表達(dá)中可在一定程度上反應(yīng)土體的剪脹性，但剪應(yīng)變過大時(shí)，體應(yīng)變與試驗(yàn)結(jié)果實(shí)際值偏離較大?；谏蛑榻璠8]模型，考慮隨剪應(yīng)變?cè)龃笸馏w剪脹性質(zhì)逐漸明顯，采用二次拋物線形式對(duì)體應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)臿之間的關(guān)系進(jìn)行擬合。

體應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系如圖2[8]所示，其表達(dá)式為

(22)

式(22)中：εvm為最大剪縮體應(yīng)變；εam為體應(yīng)變極值對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變。

(23)

(24)

式中：cd為沈珠江[8]模型參數(shù)，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應(yīng)變?chǔ)舦m和(σ3/pa)的值描繪在雙對(duì)數(shù)紙上，所形成的線性關(guān)系的截距是cd；K1和m為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；g為修正系數(shù)，取0.1。

函數(shù)的取值為：當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)取x的值；當(dāng)x≤εam時(shí)，函數(shù)取x=0。εam為體應(yīng)變達(dá)到極值εvm時(shí)土體開始剪脹時(shí)的軸向應(yīng)變(圖2)，其大小與圍壓σ3有關(guān)，采用冪函數(shù)形式表達(dá)為

圖2 沈珠江模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線[8]Fig.2 Shen Zhujiang model stress-strain curve[8]

(25)

體應(yīng)變與軸向應(yīng)變之間的關(guān)系采用體積比來(lái)表述，體積比μt可表示為

(26)

式(26)中：n2為沈珠江[8]模型參數(shù)，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應(yīng)變?chǔ)舦m和(σ3/pa)的值描繪在雙對(duì)數(shù)紙上，所形成的線性關(guān)系的斜率是n2；a″為模型引入?yún)?shù)，其確定方法是：將不同圍壓下的開始發(fā)生剪脹時(shí)的軸向應(yīng)變?chǔ)臿m與(σ3/pa)的值描繪在雙對(duì)數(shù)紙上，所形成的直線關(guān)系的截距為a″；ξ為模型引入系數(shù)。

該模型的參數(shù)為c、φ、K、n、Rf、cd、a″、n1、n2、K1、m和g，共12個(gè)。其中對(duì)于粗粒土，黏聚力c=0時(shí)，內(nèi)摩擦角φ=φ0-Δφl(shuí)g(σ3/pa)，其中φ0為自然休止角，Δφ為內(nèi)摩擦角隨σ3增加而降低的幅度。模型中所有參數(shù)的確定方法如圖3所示。

圖3 體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系式中模型參數(shù)確定方法流程圖Fig.3 Flow chart of the method for determining the model parameters in the volume strain-axial strain relationship

圖3中，c、φ、K、n、Rf為鄧肯-張模型中的參數(shù)，K、n分別為lg(Ei/pa)與lg(σ3/pa)直線關(guān)系的截距和斜率。參數(shù)cd、n2為沈珠江[8]模型參數(shù)，其確定方法為：將不同圍壓下的最大剪縮體應(yīng)變?chǔ)舦m和(σ3/pa)的值描繪在雙對(duì)數(shù)紙上，所形成的線性關(guān)系的截距和斜率分別是cd和n2。參數(shù)a″和n1的確定方法是：將不同圍壓下的開始發(fā)生剪脹時(shí)的軸向應(yīng)變?chǔ)臿m與(σ3/pa)的值描繪在雙對(duì)數(shù)紙上，所形成的直線關(guān)系的截距和斜率分別為a″和n1，如圖4所示。

圖4 參數(shù)a″和n1的確定Fig.4 Determination of parameters a″ and n1

3 模型驗(yàn)證

引用粗粒土[11]的大型三軸排水試驗(yàn)結(jié)果以及黏性土[23]的平面應(yīng)變排水試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證改進(jìn)模型的正確性。鄧肯-張模型以及改進(jìn)模型所涉及的各參數(shù)值如表1所示。數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖5～圖7所示。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

圖5(a)為大柳樹堆石料的大型三軸壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)值及模型計(jì)算曲線，試驗(yàn)中圍壓分別為0.2、0.7、1.0 MPa，當(dāng)圍壓等于0.7 MPa時(shí)鄧肯-張模型的計(jì)算曲線值大于新模型的計(jì)算值；當(dāng)圍壓等于1.0 MPa時(shí)鄧肯-張模型計(jì)算曲線值小于新模型計(jì)算值，相較而言σ3=1.0 MPa時(shí)新模型的計(jì)算曲線更接近試驗(yàn)值，圍壓值相對(duì)比較大時(shí)新模型的應(yīng)力計(jì)算值較鄧肯-張模型更貼近試驗(yàn)實(shí)測(cè)值。

圖5(b)為大柳樹堆石料的三軸試驗(yàn)體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系曲線。從圖5(b)中可以看出鄧肯-張模型的體應(yīng)變-軸向應(yīng)變計(jì)算曲線呈單調(diào)遞增形式，隨著軸向應(yīng)變?cè)龃篌w應(yīng)變逐漸增大至一定值時(shí)趨于平緩；真實(shí)試驗(yàn)值顯示，體應(yīng)變一開始隨軸向應(yīng)變的增大而增大，當(dāng)體應(yīng)變達(dá)到峰值后呈現(xiàn)隨軸向應(yīng)變?cè)龃蠖鴾p小的趨勢(shì)，這是由于粗粒土在壓縮開始時(shí)土體擠密粒間孔隙縮小呈現(xiàn)剪縮性，當(dāng)土體達(dá)到一定變形后粒間孔隙再無(wú)縮小空間，此時(shí)土體呈現(xiàn)出剪脹性；鄧肯-張模型中體應(yīng)變-軸向應(yīng)變?yōu)殡p曲線關(guān)系，無(wú)法體現(xiàn)土體的剪脹性，故后半段計(jì)算值與試驗(yàn)值偏離較大；新模型中采用二次拋物線形式表述體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系，模型[式(26)]引入系數(shù)ξ，對(duì)于體應(yīng)變給出合理模擬，與粗粒土的剪脹性質(zhì)更加符合。

圖5 大柳樹堆石料關(guān)系曲線Fig.5 Relation curve of Daliushu rockfill

圖6(a)為糯扎渡堆石料的大型三軸壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)值及模型計(jì)算曲線，計(jì)算方法采用鄧肯-張E-B模型及應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系改進(jìn)模型。在圍壓分別在0.1、0.5、2.5 MPa的試驗(yàn)條件下，當(dāng)圍壓為0.1 MPa和0.5 MPa時(shí)鄧肯-張模型的計(jì)算曲線均大于新模型的計(jì)算值，當(dāng)圍壓為2.5 MPa時(shí)新模型的偏應(yīng)力計(jì)算值較鄧肯模型計(jì)算值更貼合試驗(yàn)值。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)圍壓為2.5 MPa時(shí)新模型的計(jì)算值與試驗(yàn)點(diǎn)最為吻合，圍壓為0.5 MPa時(shí)新模型計(jì)算值與試驗(yàn)點(diǎn)吻合程度次之，圍壓為0.1 MPa時(shí)新模型計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值，3種圍壓下新模型的計(jì)算值均符合試驗(yàn)值的應(yīng)力-應(yīng)變變化趨勢(shì)，但當(dāng)圍壓較低時(shí)新模型式的偏應(yīng)力計(jì)算值普遍小于試驗(yàn)值。

圖6(b)為糯扎渡堆石料的三軸試驗(yàn)體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系曲線。散點(diǎn)為試驗(yàn)值，實(shí)線為鄧肯-張模型計(jì)算曲線，虛線為新模型[式(26)]計(jì)算曲線。鄧肯-張模型中體應(yīng)變與軸向應(yīng)變?yōu)殡p曲線關(guān)系，如圖6(b)所示，隨著軸向應(yīng)變?cè)龃螅€呈增長(zhǎng)趨勢(shì)；新模型考慮土體的剪脹性采用二次拋物線描述體應(yīng)變-軸應(yīng)變關(guān)系，與試驗(yàn)值更加貼近。

圖6 糯扎渡堆石料關(guān)系曲線Fig.6 Relation curve of Nuozhadu rockfill

圖7(a)為黃河前葦園黏性土的平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線及模型計(jì)算曲線，與糯扎渡堆石料應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算方法一致，圍壓分別為0.1、0.2、0.4 MPa的試驗(yàn)條件下，新模型的計(jì)算曲線與鄧肯-張模型的計(jì)算曲線均與試驗(yàn)點(diǎn)變化趨勢(shì)一致且數(shù)值較為吻合，相較于鄧肯-張模型應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的計(jì)算，新模型對(duì)于應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的計(jì)算參數(shù)更為簡(jiǎn)單且與試驗(yàn)點(diǎn)吻合良好。

圖7(b)為黃河前葦園黏性土的平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系曲線。圍壓為0.1 MPa和0.2 MPa時(shí)，當(dāng)軸向應(yīng)變大于5.0%時(shí)體應(yīng)變隨軸向應(yīng)變的增大而減小，土體呈現(xiàn)出剪脹性，鄧肯-張曲線在軸向應(yīng)變大于5.0%的后半段曲線中與試驗(yàn)值偏差較大，新模型考慮了土體剪脹性其計(jì)算曲線更符合試驗(yàn)值。

圖7 黃河前葦園黏性土關(guān)系曲線Fig.7 Relation curve of Yellow River Qianweiyuan clay

4 結(jié)論

針對(duì)土的體變特征以及應(yīng)用本構(gòu)模型對(duì)土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行描述。在鄧肯-張模型以及沈珠江模型的基礎(chǔ)上，提出了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和體應(yīng)變-軸向應(yīng)變關(guān)系的改進(jìn)模型，并運(yùn)用土體三軸試驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，得出如下結(jié)論。

(1)改進(jìn)的模型公式較以往模型參數(shù)較少，公式更加簡(jiǎn)化。在不同圍壓下計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合程度較好，計(jì)算曲線均符合試驗(yàn)值的變化趨勢(shì)。

(2)經(jīng)土體三軸試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，此改進(jìn)模型較原鄧肯-張模型可以更為合理的描述土的體變特征。