數(shù)學(xué)專業(yè)“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的有效銜接*

周俊超 曾梅蘭 周浩

（1.湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北孝感 432000；2.湖北省孝感高級中學(xué) 湖北孝感 432000）

數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和空間解析幾何被稱作是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的“三基”課程，它們是該專業(yè)大一新生首先接觸到的三門專業(yè)基礎(chǔ)課，也是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ)，對學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用。學(xué)生通過“三基”課程的學(xué)習(xí)，可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、推理能力和嫻熟的運(yùn)算能力，拓寬知識面，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和開拓精神。“三基”課程與高中數(shù)學(xué)相比，難度上有一定的跳躍性，內(nèi)容上比較抽象，邏輯性強(qiáng)，是大一新生普遍反映難學(xué)的三門課程。通過調(diào)查本校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，筆者發(fā)現(xiàn)了同學(xué)們在學(xué)習(xí)中普遍存在的一些問題，并深入地分析了其原因。

一、數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生“三基”課程學(xué)情分析

筆者通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，大學(xué)新生剛?cè)雽W(xué)往往會(huì)覺得這三門課程入門很困難，學(xué)起來很吃力，很難與高中所學(xué)知識接軌。分析其原因主要有以下幾點(diǎn)：

1.中學(xué)數(shù)學(xué)“淺薄”，“三基”課程“艱深”

從知識內(nèi)容廣度和深度上看，“三基”課程在內(nèi)容上完全涵蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容，并有所提升和推廣。以高中數(shù)學(xué)教材人教版A為例，中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)部分，內(nèi)容上省略了三角函數(shù)積化和差公式、反三角函數(shù)和極坐標(biāo)等內(nèi)容，只要求對三角函數(shù)進(jìn)行簡要介紹。然而在數(shù)學(xué)分析課程中，反三角函數(shù)和極坐標(biāo)等內(nèi)容貫穿課程的始終，不管是在計(jì)算極限、微分、積分，還是在級數(shù)和微分方程部分，都經(jīng)常用到。又如，中學(xué)數(shù)學(xué)介紹微積分初步，包括簡單的求極限方法、求導(dǎo)公式與積分公式，但是，對極限不存在、導(dǎo)____數(shù)不存在以及不可求積分的情形忽略不講。而這些內(nèi)容卻是數(shù)學(xué)分析課程中教師需要花費(fèi)大量時(shí)間講解的內(nèi)容。另外，“三基”課程邏輯性強(qiáng)，比較抽象，內(nèi)容上與中學(xué)數(shù)學(xué)相比有一定的跳躍性。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)重技巧，“三基”課程重結(jié)構(gòu)

由于高考壓力，中學(xué)數(shù)學(xué)與“三基”課程在知識講授上有著截然不同的特點(diǎn)。中學(xué)課堂上，教師以知識點(diǎn)傳授為主，對知識點(diǎn)做細(xì)致分析，將知識點(diǎn)講深講透，便于學(xué)生及時(shí)理解消化，同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生將知識點(diǎn)反復(fù)練習(xí)，追求對解題技巧的掌握，對概念和理論推理較少做詳細(xì)討論和拓廣。而“三基”課程的教學(xué)更側(cè)重于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建立和學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

3.中學(xué)數(shù)學(xué)重應(yīng)試，“三基”課程重能力

由于高考升學(xué)壓力，中學(xué)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)化的是學(xué)生的應(yīng)試能力，而高等教育則是圍繞就業(yè)這根“現(xiàn)實(shí)指揮棒”，著重培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力，從而增強(qiáng)學(xué)生的就業(yè)競爭力。因此，作為數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的“三基”課程，其核心目標(biāo)是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和綜合素質(zhì)的提升。

根據(jù)前面分析，如何處理好“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接性，在教學(xué)過程中利用學(xué)生已有的中學(xué)數(shù)學(xué)知識啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“三基”課程的相關(guān)內(nèi)容，探究“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)知識融合的有效教學(xué)策略是一項(xiàng)需要深入思考的重要課題。我們有必要做一些研究工作，針對地方院校的辦學(xué)層次和辦學(xué)特色，讓剛進(jìn)入大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生能夠更好、更快適應(yīng)“三基”課程的授課方式和思維方式。為此，我們給出“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)有效銜接的一些教學(xué)策略。

二、“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)有效銜接的教學(xué)策略

1.注意“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的差異，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)

與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，“三基”課程的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式有明顯差異：“三基”課程課堂容量大、學(xué)習(xí)內(nèi)容多、前后連貫性強(qiáng)、課堂進(jìn)度快、教學(xué)課時(shí)長，這些使剛剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生難以適應(yīng)“三基”課程的學(xué)習(xí)。因此，在教學(xué)初期，教師要認(rèn)識到“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的差異，教學(xué)過程中把握好課堂節(jié)奏，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)“三基”課程的課堂。

2.關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，了解學(xué)生已有知識基礎(chǔ)

為了實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)與“三基”課程的平穩(wěn)銜接，教師要掌握教學(xué)學(xué)生實(shí)際的基礎(chǔ)情況，以便合理安排教學(xué)內(nèi)容及進(jìn)程。為了了解學(xué)生已有知識基礎(chǔ)，教師應(yīng)該時(shí)刻關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課改情況，關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)新課程的要求對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響，以便對“三基”課程的教學(xué)內(nèi)容做相應(yīng)調(diào)整。例如，中學(xué)課改中刪除了反三角函數(shù)和極坐標(biāo)的相關(guān)內(nèi)容，但這部分內(nèi)容在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到。因此，教師在數(shù)學(xué)分析的講授過程中應(yīng)先為學(xué)生補(bǔ)充這一部分相關(guān)的基礎(chǔ)知識，同時(shí)，對于高中教材中涉及的導(dǎo)數(shù)、積分等概念，教師應(yīng)該了解中學(xué)數(shù)學(xué)這一部分內(nèi)容講解的深度，有針對性地補(bǔ)充講解相關(guān)知識。

3.通過學(xué)生已有的中學(xué)數(shù)學(xué)知識，逐步滲透“三基”課程中抽象的數(shù)學(xué)概念

由于高中的數(shù)學(xué)思維比較直觀，對于剛剛進(jìn)入大學(xué)的大一新生來說，短期內(nèi)從概念性的抽象思維來建立“三基”課程中一系列抽象概念是有困難的。在“三基”課程的教學(xué)過程中，如果能夠從客觀現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，通過學(xué)生高中所學(xué)知識來建立概念，就可以克服入門難的問題。

例如，教師在講解空間解析幾何中橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可結(jié)合學(xué)生高中階段所學(xué)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來進(jìn)行。在平面直角坐標(biāo)系下，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為有兩條漸近線，然后將二維情形推廣到三維情形，那么學(xué)生不難想到，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程即為

又如，教師在講解數(shù)學(xué)分析中曲線的漸近線時(shí)，可以由高中數(shù)學(xué)平面解析幾何中雙曲線的漸近線引入，高中階段學(xué)生已熟知雙曲線，雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與漸近線的距離趨于0。在此基礎(chǔ)上，教師再來講解一般曲線的漸近線：若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線C的漸近線。

同樣，教師在講解高等代數(shù)中向量的概念的時(shí)候，可以從學(xué)生們高中階段所熟知的二維、三維向量出發(fā)，引出n維向量的概念。首先，帶領(lǐng)學(xué)生回顧二維、三維向量的概念。現(xiàn)實(shí)生活中很多事物的性質(zhì)不能用一個(gè)數(shù)來刻畫。例如，為了刻畫一個(gè)點(diǎn)在平面的位置需要兩個(gè)數(shù)，一個(gè)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)數(shù)，也就是要知道它們的坐標(biāo)。又如，力學(xué)中的力、速度和加速度等，它們既有大小又有方向，在取定坐標(biāo)系后，它們可以用三個(gè)數(shù)來刻畫。但是，還有很多事物用三個(gè)數(shù)來刻畫是不夠的。例如，為了刻畫一個(gè)球的大小和位置，需要四個(gè)數(shù)來刻畫，其中三個(gè)數(shù)刻畫球心的坐標(biāo)，另一個(gè)數(shù)來表示球的半徑。再比如，一個(gè)n元方程組的解需要用n個(gè)數(shù)來刻畫，這n個(gè)數(shù)作為方程組的解是一個(gè)整體。接下來，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生給出n維向量的定義，即數(shù)域P中n個(gè)有次序的數(shù) a1,a2,…,an所組成的數(shù)組 (a1,a2,…,an)稱為數(shù)域P上的一個(gè)n維向量。向量空間可進(jìn)一步抽象為線性空間，此時(shí)線性空間的元素也稱為向量，但是比幾何中所謂的向量的含義要廣泛得多。線性空間是高等代數(shù)中學(xué)生遇到的第一個(gè)抽象的概念，在引入它的定義之前，教師可以用數(shù)的運(yùn)算啟發(fā)學(xué)生分析三維空間中的向量、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)及矩陣的運(yùn)算，通過比較、分析找到它們的共同點(diǎn)，把它們統(tǒng)一起來研究，由此給出線性空間的定義，再利用數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)和全體實(shí)函數(shù)等例子，幫助學(xué)生逐步建立起線性空間的概念，把握概念的本質(zhì)。

4.以中學(xué)數(shù)學(xué)知識為背景，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式學(xué)習(xí)“三基”課程，在回顧中學(xué)數(shù)學(xué)知識與探究新知識的過程中，理解和消化“三基”課程的有關(guān)概念和性質(zhì)

“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上有著很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。因此，在教學(xué)過程中，教師可以從學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生通過類比和歸納等方法來探究新問題，從而引出概念的定義，總結(jié)其性質(zhì)。這樣更利于學(xué)生理解和接收新知識，而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

此外，還可讓學(xué)生由高中階段所學(xué)平面上兩平行直線間的距離公式類比記憶空間中兩平行平面間的距離公式[4]。

在講解空間中兩個(gè)平面的相關(guān)位置的時(shí)候，教師可類比高中階段所學(xué)的平面上兩條直線的位置關(guān)系。空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系和平面上兩條直線的位置關(guān)系均有三種，即相交、平行和重合。教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識，基于平面上的兩條直線 l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x +B2y+C2=0相交、平行和重合的等價(jià)刻畫來探究空間中的兩個(gè)平面e1:A1x+B1y+C1z+D1=0與e2:A2x+B2y+C2z+D2=0間位置關(guān)系。

教師在講授過程中可以以中學(xué)數(shù)學(xué)知識為背景，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式學(xué)習(xí)“三基”課程，這樣學(xué)生在回顧中學(xué)數(shù)學(xué)知識與探究“三基”課程相關(guān)內(nèi)容的過程中，更容易理解和記憶“三基”課程的有關(guān)概念和性質(zhì)，鞏固所學(xué)的知識，鍛煉抽象思維能力和空間想象力。

5.結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，多舉實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生逐步理解“三基”課程中比較抽象的概念和結(jié)論

教學(xué)過程中，教師要注重講授概念的形成過程，概念產(chǎn)生的背景、方法和意義，利用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容多舉實(shí)例，讓學(xué)生逐步理解比較抽象的概念，探討解題的思想方法，同時(shí)結(jié)合實(shí)際問題來引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

例如，教師在講解高等代數(shù)中歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念時(shí)，可以用高中數(shù)學(xué)平面和空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基來舉例講解，并作圖給出其幾何直觀。在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸、y軸方向分別相同的兩個(gè)單位向量即構(gòu)成了此平面的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這兩個(gè)向量是正交的單位向量。在空間直角坐標(biāo)系中，與x軸、y軸和z軸方向分別相同的三個(gè)單位向量即構(gòu)成了空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這三個(gè)向量是兩兩正交的單位向量。那么在此基礎(chǔ)上，學(xué)生不難理解，在n維歐氏空間中，由n個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

又如，教師在講解歐式空間中基的擴(kuò)充定理時(shí)，可以用中學(xué)數(shù)學(xué)中三維空間的基來舉例，從二維平面中兩個(gè)正交的向量出發(fā)，任意添加一個(gè)與已知的兩個(gè)向量均正交的向量，即得三維空間的一組正交基。這些都是形象思維的好材料。教師通過利用幾何圖形，讓學(xué)生直觀形象地理解定理的內(nèi)容。這樣學(xué)生就更容易理解和掌握定理的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而準(zhǔn)確地運(yùn)用該定理。

6.運(yùn)用“三基”課程中的思想和方法，從更高的觀點(diǎn)來認(rèn)識和處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題

學(xué)完“三基”課程后，學(xué)生再來重新審視中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些問題時(shí)，會(huì)有不一樣的理解和處理方式，學(xué)生將會(huì)運(yùn)用“三基”課程中的思想和方法，從更高的觀點(diǎn)來認(rèn)識和處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題。

例如，在中學(xué)階段，要作出函數(shù)圖像，可以用描點(diǎn)法作圖，或者結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值等作圖，得到的只是函數(shù)的大致圖像，而學(xué)完數(shù)學(xué)分析后，學(xué)生則可利用函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)、漸近線以及對稱軸等信息更加精確地畫出函數(shù)的草圖。

結(jié)語

本文對當(dāng)前數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生“三基”課程的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行分析，提出了“三基”課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程銜接及教學(xué)實(shí)施的一些建議和舉措。教師在教學(xué)中要不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，改進(jìn)教學(xué)方法，挖掘中學(xué)數(shù)學(xué)與“三基”課程的內(nèi)在聯(lián)系，注重“三基”課程和中學(xué)數(shù)學(xué)的有效銜接，以便讓該專業(yè)學(xué)生能夠更好、更快適應(yīng)“三基”課程的授課方式和思維方式，提高學(xué)生“三基”課程相關(guān)知識的掌握程度，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程及今后從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而為教育改革的進(jìn)一步深化做出努力。