GeoGebra環(huán)境下一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)探究的思維可視化教學(xué)實(shí)驗(yàn)

鹿亞梅

（寧波市北侖區(qū)泰河中學(xué) 浙江寧波 315800）

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性，在日常教學(xué)中，想要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)積極性，就需要新的教學(xué)理念以及新的教學(xué)工具來(lái)輔助教學(xué)。GeoGebra作為一款“專(zhuān)為教與學(xué)的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件”，能實(shí)現(xiàn)幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等的跨平臺(tái)聯(lián)動(dòng)，是實(shí)現(xiàn)思維可視化教學(xué)的有力工具[1]。所謂思維可視化，指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見(jiàn)的思維結(jié)構(gòu)、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來(lái)，使其清晰可見(jiàn)的過(guò)程[2]。

新課程改革不僅在教學(xué)理念上進(jìn)行了變革，更在教學(xué)模式上進(jìn)行了拓展與創(chuàng)新。部分高中數(shù)學(xué)教師對(duì)信息技術(shù)輔助教學(xué)的認(rèn)識(shí)不夠深入，主要分為以下兩種錯(cuò)誤觀念。一是錯(cuò)誤地認(rèn)為使用信息技術(shù)對(duì)輔助日常教學(xué)無(wú)任何意義，依然堅(jiān)持使用傳統(tǒng)教學(xué)方式，拒絕使用任何信息技術(shù)手段。只有當(dāng)應(yīng)付上級(jí)教研部門(mén)聽(tīng)課或調(diào)研時(shí)，才做出適當(dāng)改變。另一種是認(rèn)為信息技術(shù)作為一種現(xiàn)代化的教學(xué)手段，代表著教學(xué)的進(jìn)步，故應(yīng)該摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)手段，充分利用信息技術(shù)。新課標(biāo)指出，教師要適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

本人對(duì)一些一線(xiàn)教師進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)許多教師未聽(tīng)說(shuō)過(guò)GeoGebra這個(gè)軟件，更不必說(shuō)用GeoGebra輔助教學(xué)了。教師缺乏專(zhuān)業(yè)的信息素養(yǎng)，將導(dǎo)致在日常教學(xué)中，無(wú)法有效地利用信息技術(shù)輔助教學(xué)。教師是課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，創(chuàng)新教學(xué)的前提是教師具備完善的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。適當(dāng)使用信息技術(shù)，能提高課堂教學(xué)效率，加強(qiáng)和學(xué)生之間的交流互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，調(diào)動(dòng)課堂學(xué)習(xí)氣氛，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，在新課改背景下，將GeoGebra教學(xué)軟件應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)課程中至關(guān)重要。

一、課題選題背景

浙江的高考中，圓錐曲線(xiàn)是每年的必考內(nèi)容。筆者所任教的非重點(diǎn)學(xué)校的兩個(gè)高三文科班在解決解析幾何大題時(shí)，經(jīng)常因?yàn)闆](méi)有解題思路或者運(yùn)算能力較弱失分過(guò)重。尤其在今年五月份我校自主命題的高二下月考考試中，兩個(gè)班級(jí)圓錐曲線(xiàn)大題均獲得了平均分不到5分的成績(jī)?；诖嗽颍P者痛定思痛，思考如何能有效提升學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)相關(guān)內(nèi)容題目的解題能力、解題自信以及重拾對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。

以月考這道涉及相似橢圓的大題——已知點(diǎn) p(xo,yo)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且在橢圓C的外部，其中橢圓C:上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足P A,P B 的中點(diǎn)E，F(xiàn)均在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）若M為AB的中點(diǎn)，求證：P，O，M三點(diǎn)共線(xiàn)；

（2）若xo,yo為定值，求直線(xiàn)AB的方程；

（3）若P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：ΔPAB的面積為定值，并求出該定值”為背景，筆者通過(guò)GeoGebra教學(xué)軟件探究出了一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，并思考能否通過(guò)GeoGebra輔助圓錐曲線(xiàn)教學(xué)。基于以上設(shè)想，設(shè)計(jì)了GeoGebra環(huán)境下一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)探究的思維可視化教學(xué)實(shí)驗(yàn)。

二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程

1.前期準(zhǔn)備——圓錐曲線(xiàn)章節(jié)學(xué)習(xí)情況的診斷分析

（1）調(diào)查對(duì)象

該問(wèn)卷調(diào)查對(duì)象為筆者所任教的兩個(gè)班級(jí)，現(xiàn)共有78人（原共有95人，調(diào)查時(shí)美術(shù)生在外培訓(xùn)，故不予統(tǒng)計(jì)）。

在進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)前，對(duì)兩個(gè)班級(jí)發(fā)放問(wèn)卷，學(xué)生填完問(wèn)卷后立即收回。本次調(diào)查共發(fā)放問(wèn)卷78份，回收有效問(wèn)卷72份。

（3）信、效度分析

信度分析：使用 SPSS軟件對(duì)問(wèn)卷結(jié)果進(jìn)行信度分析，表1中，由于克隆巴赫 Alpha系數(shù)=0.886＞0.7，說(shuō)明整體量表的可靠性較好。

表1 可靠性統(tǒng)計(jì)

效度分析：由表2可知，KMO取樣適切性量數(shù)為0.910，說(shuō)明該數(shù)據(jù)適合進(jìn)行因子分析。Bartlett球形檢驗(yàn)中，p=0.000＜0.05，符合球形檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

表2 KMO檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)

（4）結(jié)果分析

問(wèn)卷共設(shè)有11題，其中1-2題調(diào)查學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的情感和態(tài)度，3-4題調(diào)查學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)知識(shí)的理解程度以及作圖的態(tài)度，5-11題則是調(diào)查學(xué)生對(duì)于教師利用GeoGebra教學(xué)軟件輔助教學(xué)的態(tài)度。

由圖1可知，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于教師利用GeoGebra輔助教學(xué)持積極態(tài)度，表示歡迎。

圖1 學(xué)生對(duì)教師利用GeoGebra輔助教學(xué)的態(tài)度

2.GeoGebra環(huán)境下一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)探究的思維可視化教學(xué)實(shí)驗(yàn)

（1）前測(cè)

在進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)前，將兩個(gè)班級(jí)參加的慈溪市高二下學(xué)期期末試卷中的圓錐曲線(xiàn)相關(guān)內(nèi)容成績(jī)作為兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的前測(cè)水平，此次考試僅有21題（滿(mǎn)分15份）與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)。使用SPSS軟件對(duì)成績(jī)進(jìn)行分析，結(jié)果如表所示：

由表3和表4可知，兩班均值差值為 0.36分。檢驗(yàn)結(jié)果表明，顯著性=0.305＞0.05，說(shuō)明方差為齊性，從雙側(cè)P=0.355＞0.05，能夠得出以下結(jié)論，即兩個(gè)班的成績(jī)無(wú)顯著性差異。

表3 對(duì)照組與實(shí)驗(yàn)組的前測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

表4 對(duì)照組與實(shí)驗(yàn)組的前測(cè)獨(dú)立樣本 T 檢驗(yàn)

（2）教學(xué)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)3個(gè)月，對(duì)照班教學(xué)地點(diǎn)在常規(guī)教室，采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，以PPT演示和講授為主。實(shí)驗(yàn)班在機(jī)房上課，采用思維可視化教學(xué)模式（圖2）。

圖2 相似橢圓動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)探究思維流程圖

首先在GeoGebra代數(shù)區(qū)輸入指令，兩個(gè)橢圓方程滿(mǎn)足形式，此時(shí)k2=4啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，可觀察到 ΔPAB面積始終是定值4.36.模擬多組數(shù)值，發(fā)現(xiàn)k2=4時(shí)，結(jié)論皆成立。下面舉例說(shuō)明k2依次取任意偶數(shù)，任意奇數(shù)，任意整數(shù)，任意分?jǐn)?shù)，任意實(shí)數(shù)時(shí)，結(jié)論也成立。令k2依次取4，2，3，5/4，啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，可觀察到ΔP AB 面積始終是定值。學(xué)生可以利用GeoGebra教學(xué)軟件動(dòng)手實(shí)踐，體會(huì)從特殊到一般、從抽象到具體以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，并在探究的過(guò)程中，有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力。

（3）后測(cè)

在實(shí)驗(yàn)后期，為檢驗(yàn)GeoGebra環(huán)境下思維可視化教學(xué)是否能有效改善圓錐曲線(xiàn)實(shí)際教學(xué)效果，將兩個(gè)班級(jí)參加的2021學(xué)年第一學(xué)期浙江省“七彩陽(yáng)光”新高考研究聯(lián)盟返?？荚嚲碇械膱A錐曲線(xiàn)相關(guān)內(nèi)容成績(jī)作為兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的后測(cè)水平，此次考試第9題以及21題（滿(mǎn)分19份）與復(fù)習(xí)內(nèi)容圓錐曲線(xiàn)有關(guān)。結(jié)果分析如下：

由表5和表6可知，兩班均值差值升高為為 0.87分。檢驗(yàn)結(jié)果表明，顯著性=0.640＞0.05，說(shuō)明方差為齊性，從雙側(cè)P=0.075接近0.05，能夠得出以下結(jié)論，即兩個(gè)班的成績(jī)有差異。所以，可以認(rèn)為GeoGebra環(huán)境下思維可視化教學(xué)能改善圓錐曲線(xiàn)實(shí)際教學(xué)效果。

表5 對(duì)照組與實(shí)驗(yàn)組的后測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

表6 對(duì)照組與實(shí)驗(yàn)組的后測(cè)獨(dú)立樣本 T 檢驗(yàn)

三、探后反思

1.重視信息技術(shù)的應(yīng)用，實(shí)施可視化教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合[3]。在本文的研究中，由于一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)模型的抽象性，筆者借助GeoGebra來(lái)輔助教學(xué)，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)積極性。

2.開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，促核心素養(yǎng)落地

在新教材改革的背景下，教師適當(dāng)開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，有利于核心素養(yǎng)的落實(shí)。本文借助GeoGebra教學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究將一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行推廣，在經(jīng)歷“觀察—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證”的探究過(guò)程中，促數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地。