LPIC中的歸一化與洛倫茲變換

李夢超，劉 巧

(1.贛南師范大學(xué) 低溫等離子體技術(shù)研究所，江西 贛州 341000；2. 南昌大學(xué) 第二附屬醫(yī)院，江西 南昌 330000)

PIC的英文全稱為Particle In Cell，是一種將物理量近似到網(wǎng)格格點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算的一種方法.PIC在等離子體物理仿真領(lǐng)域獲得快速發(fā)展，尤其是在激光等離子體相互作用仿真上[1-12].LPIC是Laser plasma interaction simulation via Particle In Cell code的縮寫，即利用PIC進(jìn)行激光等離子體相互作用仿真.等離子體仿真涉及大量粒子，舉例來說，在分子直徑數(shù)量級為10-10m時(shí)，則 1 cm3的空間中，分子數(shù)量約為1024個(gè).如果給每個(gè)分子都賦予速度和位置等參量，并用雙精度格式(8 bytes)存儲，則該數(shù)量的分子在電腦中所占的內(nèi)存約為6*8*1024bytes，約4.8*1013TB.可見，僅僅是1 cm3的空間，且僅考慮粒子的速度和位置，其數(shù)據(jù)量也是非常驚人的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的處理能力.因此，對大數(shù)量粒子進(jìn)行仿真，需要做近似處理.比如，利用一個(gè)粒子代替幾千甚至幾萬個(gè)分子，即超級粒子；將空間用網(wǎng)格劃分，將分布的粒子分配至每個(gè)網(wǎng)格上，通過計(jì)算網(wǎng)格格點(diǎn)來獲得電磁場等，然后再作用于空間粒子，使粒子前進(jìn)，即網(wǎng)格法；為節(jié)省計(jì)算內(nèi)存和時(shí)效，還需對計(jì)算機(jī)處理的物理量做特殊處理，例如歸一化處理.

1 歸一化的定義

歸一化處理是將真實(shí)的物理量除以某個(gè)數(shù)值后再輸入計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算機(jī)計(jì)算完后，再對輸出的數(shù)據(jù)做反歸一化處理，得到真實(shí)的物理量.舉例來說，某個(gè)超級粒子具有電荷量q=1.602 189 2×10-16C，質(zhì)量m=9.109×10-28kg.對其進(jìn)行歸一化處理：qN=q/e，mN=m/me.qN和mN為歸一化量，e為電子電荷量，me為電子的靜止質(zhì)量.歸一化處理后輸入計(jì)算機(jī)中進(jìn)行計(jì)算的是qN=1 000，mN=1 000.顯然，歸一化處理將大大節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間．然而即使做出上述超級粒子、網(wǎng)格處理、歸一化處理等，等離子體的PIC仿真計(jì)算依然耗費(fèi)大量時(shí)間．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，對于二維LPIC程序，采用二百核心以上的大型服務(wù)器，一般計(jì)算時(shí)間為數(shù)周甚至數(shù)月．

物理量歸一化處理后，相應(yīng)的物理公式也要做相應(yīng)變化.這里我們討論LPIC中的入射激光參與歸一化后不同坐標(biāo)系間的洛倫茲變換做出的對應(yīng)改變.通過這些討論，希望給高年級大學(xué)生、研究生及科研工作者等提供參考．

2 如何歸一化

本文采用國際單位制，歸一化采用單位為：xN=x/λ，tN=t/T，vN=v/c，qN=q/e，mN=m/me，pN=p/m0c，EN=eE/mewc，BN=eB/mew，ρN=ρ/enc，JN=J/encc.這里用物理量添加下標(biāo)N表示其被歸一化后，λ為入射激光波長，T為入射激光周期，c為光速，e為電子電荷量,me為電子的靜止質(zhì)量，m0為靜止質(zhì)量，w為入射激光角頻率，nc=w2meε0/e2為粒子密度歸一化單位.本文的歸一化與參考文獻(xiàn)[7]和[8]是一致的，參考文獻(xiàn)[1]和[9]中的歸一化是針對非相對論情況的，與本文不同.當(dāng)然，等離子體仿真中的歸一化沒有標(biāo)準(zhǔn)格式，這取決于仿真人員的考量.舉例來說，對坐標(biāo)x進(jìn)行歸一化，在激光等離子體仿真中多采用激光波長λ，如參考文獻(xiàn)[7-8,13-15]和本文；對某些等離子體仿真，歸一化可采用網(wǎng)格長度，例如參考文獻(xiàn)[1]和[9]；對于宇宙空間仿真，則需要視仿真尺度來定.

本文討論的坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸Y方向運(yùn)動，采用復(fù)數(shù)形式的洛倫茲變換矩陣a[5,6]：

(1)

本文采用激光在運(yùn)動坐標(biāo)系中正入射的情況，其在運(yùn)動系中對應(yīng)的四維波矢量KM為

(2)

上標(biāo)M表示物理量位于運(yùn)動坐標(biāo)系內(nèi)，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置矩陣.之所以采用列矩陣表示四維矢量，是為了方便用矩陣運(yùn)算的語言描述洛倫茲變換.激光在運(yùn)動系中沿x方向正入射，相應(yīng)實(shí)驗(yàn)室系下的四維波矢量為KL=(k0/γ,βk0,0,iw0/c)T，上標(biāo)L表示物理量位于實(shí)驗(yàn)系內(nèi)，w0為實(shí)驗(yàn)室系內(nèi)的入射激光角頻率.洛倫茲變換中的參數(shù)γ和β之間滿足

(3)

k0為實(shí)驗(yàn)室系下入射激光波矢量.角頻率wM=w0/γ，周期TM=γTL，波長λM=γλL.入射激光的λ、T、w均參與歸一化.

四維空間矢量X=(x,ict)T的洛倫茲變換式為XM=aXL，其歸一化與激光波長λ和周期T有關(guān)，即yN=y/λ，tN=t/T，將歸一化與洛倫茲變換結(jié)合得

yM=γyL-βγctL,

(4)

上式(4)中的箭頭?表示推導(dǎo)可得，同理可推導(dǎo)出其它3個(gè)歸一量的洛倫茲變換關(guān)系：

(5)

四維動量矢量P=(γm0u,iγm0c)T=(p,iW/c)T.動量的歸一化為pN=p/m0c，實(shí)驗(yàn)室系至運(yùn)動系的洛倫茲變換為PM=aPL，帶入得y方向歸一化動量的洛倫茲變換為

(6)

(7)

同理x與z方向歸一化動量的洛倫茲變換為

(8)

(9)

同理可獲得其它3個(gè)歸一化分量的洛倫茲變換為

(10)

四維電磁場張量F的歸一化分別采用EN=eE/mewc和BN=eB/mew，結(jié)合洛倫茲變換公式FM=aFLaT，x方向歸一化電場的變換式為

(11)

同理可獲得其它幾個(gè)分量的洛倫茲變換：

(12)

上述討論了部分歸一化物理量由實(shí)驗(yàn)室系向運(yùn)動系的洛倫茲變換，可以看出，由于歸一化與入射激光有關(guān)，歸一化量的洛倫茲變換也與入射激光有關(guān).由運(yùn)動系至實(shí)驗(yàn)室系的洛倫茲變換在參考文獻(xiàn)[7]、[8]中已有相關(guān)描述，這里我們補(bǔ)充四維空間矢量X、四維速度矢量U、電磁場張量F的變換形式．

由運(yùn)動系至實(shí)驗(yàn)系，四維空間矢量X的洛倫茲變換為XL=aTXM，歸一化處理后的洛倫茲變換如下式(13)所示，可以看出其與式(4)、式(5)有明顯差異．

(13)

由運(yùn)動系至實(shí)驗(yàn)室系，四維速度矢量U=(γu,iγc)的洛倫茲變換為UL=aTUM.需要注意的是，iγc這一項(xiàng)的歸一化處理為除以光速c，其歸一化后對應(yīng)的洛倫茲變換為

(14)

對Ux分量進(jìn)行洛倫茲變換后并帶入上述式(14)可求解ux的洛倫茲變換為

(15)

最終可得速度歸一化后的洛倫茲變換為

(16)

由運(yùn)動系至實(shí)驗(yàn)室系，四維電磁場張量F的洛倫茲變換為FL=aTFMa，其歸一化的求解與上述相似，這里我們直接給出，可以看出其與式(11)、式(12)有明顯差異，即

(17)

(18)

3 結(jié)論

通過上述討論可以看出，歸一化量的洛倫茲變換與歸一化采用的參數(shù)有關(guān)．在上述LPIC程序中，歸一化量的洛倫茲變換與入射激光有關(guān)．這里需要注意的是，上述入射激光在移動坐標(biāo)系中正入射，若采用其它角度入射，例如在實(shí)驗(yàn)室系下正入射，歸一化量的洛倫茲變換將會與上述方程不同，上述方程式并不具有廣泛的適用性．但上述歸一化量洛倫茲變換的推導(dǎo)方法是具有適用性的．不僅在激光等離子體相互作用仿真程序中需進(jìn)行歸一化處理[13-16]，在其它仿真計(jì)算中，歸一化處理也能大大節(jié)省計(jì)算內(nèi)存和時(shí)效，這時(shí)便可參考上述處理方法開展洛倫茲變換或者其它方程的推導(dǎo)．