數(shù)控機(jī)床直線(xiàn)軸定位誤差建模與補(bǔ)償

陳齊林，吳 晗，姚振強(qiáng)，鄧鵬宇

(1.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海交大智邦科技有限公司，上海 200120)

0 引言

數(shù)控機(jī)床是現(xiàn)代制造業(yè)生產(chǎn)加工的基礎(chǔ)，其加工精度的好壞直接決定了被加工件的質(zhì)量[1]。根據(jù)產(chǎn)生誤差的不同機(jī)理，數(shù)控機(jī)床的加工誤差主要分為4種：幾何誤差、熱誤差、力誤差以及控制誤差[2]。其中幾何誤差是在機(jī)床設(shè)計(jì)制造以及裝配過(guò)程中引入的誤差，是數(shù)控機(jī)床最重要的誤差來(lái)源[3]，而定位誤差又是幾何誤差中重要的組成部分。因此，減小定位誤差對(duì)機(jī)床加工精度的提升十分重要。

數(shù)控機(jī)床定位誤差的檢測(cè)方法較為成熟，可以分為直接測(cè)量法和間接測(cè)量法[4]。測(cè)量?jī)x器有球桿儀、平面光柵、R-Test、激光干涉儀和激光跟蹤儀等，其中激光干涉儀具有測(cè)量精度高、范圍大等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)床精度檢測(cè)[2]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種激光干涉儀測(cè)量數(shù)控機(jī)床定位誤差的方法，如22線(xiàn)法[5]、15線(xiàn)法[6]等。同時(shí)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)床定位誤差建模也做了大量研究。WANG等[7]使用牛頓插值法對(duì)立式加工中心的定位誤差進(jìn)行建模。李自漢[8]提出了一種基于移動(dòng)最小二乘法與Chebyshev多項(xiàng)式相結(jié)合的定位誤差建模方法。FAN等[9]通過(guò)基于最小二乘法的正交多項(xiàng)式對(duì)定位誤差進(jìn)行擬合，通過(guò)對(duì)一般多項(xiàng)式基函數(shù)進(jìn)行正交化處理，有效地提高了建模的精度。

以上研究都是基于激光干涉儀測(cè)量結(jié)果對(duì)機(jī)床定位誤差進(jìn)行分析建模，但由于測(cè)量過(guò)程中激光干涉儀和光柵尺不共線(xiàn)，會(huì)在測(cè)量結(jié)果中引入阿貝誤差[10]，影響建模準(zhǔn)確性和補(bǔ)償精度。王超[11]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了阿貝誤差對(duì)不同測(cè)量點(diǎn)定位誤差的影響。LIU等[12]設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方法避免在測(cè)量過(guò)程中引入阿貝誤差。上述研究成果主要是通過(guò)理論驗(yàn)證阿貝誤差，并未對(duì)直線(xiàn)軸運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)的定位誤差進(jìn)行建模分析。本文通過(guò)分析不同測(cè)量高度下的定位誤差，將定位誤差分離為基準(zhǔn)定位誤差和阿貝誤差，采用多項(xiàng)式擬合和線(xiàn)性擬合建立了直線(xiàn)軸定位誤差綜合模型，通過(guò)綜合模型得到的結(jié)果對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償，大幅度提升了機(jī)床的加工精度。

1 定位誤差測(cè)量

1.1 測(cè)量系統(tǒng)與方案

測(cè)量對(duì)象為某型號(hào)數(shù)控磨床，使用雷尼紹XL-80干涉儀對(duì)X軸(砂輪架)的定位誤差進(jìn)行測(cè)量，如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)采用ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)推薦的雙向線(xiàn)性循環(huán)測(cè)量[13]，如圖2所示。具體測(cè)量過(guò)程為：在直線(xiàn)軸行程范圍內(nèi)均勻設(shè)置一系列測(cè)點(diǎn)，當(dāng)數(shù)控機(jī)床按照指令到達(dá)某一被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)位置時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)激光干涉儀測(cè)量并記錄下該測(cè)點(diǎn)的位置信息，隨后數(shù)控機(jī)床運(yùn)行到下一測(cè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，直至正向測(cè)量完畢，直線(xiàn)軸在越程后開(kāi)始反向運(yùn)動(dòng)并進(jìn)行測(cè)量，直至返回到最初的起點(diǎn)，以上稱(chēng)為一個(gè)測(cè)量循環(huán)。對(duì)于兩米以?xún)?nèi)的直線(xiàn)軸，ISO標(biāo)準(zhǔn)推薦每米不少于5個(gè)測(cè)點(diǎn)，循環(huán)次數(shù)為5次。

圖1 定位誤差測(cè)量系統(tǒng) 圖2 雙向線(xiàn)性循環(huán)測(cè)量模式

一般情況下，同一直線(xiàn)軸測(cè)點(diǎn)數(shù)目越多，越能夠準(zhǔn)確反映其定位精度，但測(cè)量時(shí)間也會(huì)越久，測(cè)量過(guò)程中引入的隨機(jī)誤差也就越多。數(shù)控機(jī)床X軸有效工作行程為150 mm，需要確定合適的測(cè)點(diǎn)數(shù)目，以便在準(zhǔn)確反映其定位誤差的同時(shí)控制時(shí)間成本為最小。為此固定循環(huán)次數(shù)為5次，測(cè)點(diǎn)數(shù)目從3個(gè)逐漸增加到17個(gè)，測(cè)量結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，測(cè)點(diǎn)數(shù)目為3個(gè)時(shí)，定位誤差測(cè)量結(jié)果最小，隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)目逐漸增多，定位誤差測(cè)量結(jié)果先變大后逐漸穩(wěn)定下來(lái)。最佳測(cè)點(diǎn)數(shù)目為11個(gè)，此時(shí)能夠準(zhǔn)確反映X軸定位精度，且測(cè)量時(shí)間較短，因此后續(xù)測(cè)量選用11個(gè)測(cè)點(diǎn)。

圖3 測(cè)出的定位誤差與測(cè)點(diǎn)數(shù)目的關(guān)系

1.2 測(cè)量結(jié)果與分析

1.2.1 不同預(yù)熱時(shí)間定位誤差測(cè)量

在精密機(jī)床中，溫度對(duì)機(jī)床的定位誤差有很大的影響，熱誤差最高可占總誤差的40%[3]。機(jī)床剛開(kāi)機(jī)的狀態(tài)為冷機(jī)狀態(tài)，加工前需要使運(yùn)動(dòng)軸在行程范圍內(nèi)高速往復(fù)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行預(yù)熱。為了判斷機(jī)床達(dá)到熱平衡所需要的預(yù)熱時(shí)間，將機(jī)床預(yù)熱90 min，預(yù)熱過(guò)程中每間隔10 min測(cè)量一次定位誤差，測(cè)量結(jié)果如圖4所示。可以看出，不同預(yù)熱時(shí)間下X軸的定位誤差曲線(xiàn)形狀相似，但隨著機(jī)床預(yù)熱時(shí)間的增加，定位誤差曲線(xiàn)斜率逐漸變大，尾部有上翹趨勢(shì)。而且，在預(yù)熱的初始階段曲線(xiàn)斜率變大速度最快，隨著預(yù)熱時(shí)間的增加曲線(xiàn)斜率變化速度逐漸減小，預(yù)熱90 min時(shí)，定位誤差曲線(xiàn)基本穩(wěn)定下來(lái)，此時(shí)機(jī)床達(dá)到熱平衡狀態(tài)。

圖4 不同預(yù)熱時(shí)間下的定位誤差

1.2.2 不同鏡組高度下定位誤差測(cè)量

對(duì)直線(xiàn)軸定位誤差進(jìn)行測(cè)量時(shí)，激光干涉儀一般安裝在工作臺(tái)面，隨工作臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，由于激光干涉儀和光柵尺不共線(xiàn)，會(huì)在測(cè)量過(guò)程中引入阿貝誤差[10]，如圖5所示。

圖5 測(cè)量過(guò)程中引入的阿貝誤差

當(dāng)激光干涉儀鏡組與光柵尺距離為h時(shí)，若此時(shí)工作臺(tái)面與水平面有一夾角θ(x)(即俯仰角)，則引入的阿貝誤差為：

δh(x)=-htanθ(x)≈-hθ(x)

(1)

從式(1)可以看出阿貝誤差與高度h成正比，對(duì)于同一根直線(xiàn)軸，如果兩次測(cè)量中激光干涉儀鏡組高度不同，測(cè)出的定位誤差也會(huì)有差異，因此有必要對(duì)激光干涉儀在不同鏡組高度下測(cè)量的定位誤差進(jìn)行分析。

如圖6所示，激光干涉儀鏡組分別安裝在距離工作臺(tái)豎直高度為130 mm、210 mm、290 mm時(shí)對(duì)X軸定位誤差進(jìn)行測(cè)量。為了避免熱誤差影響，在每次調(diào)整鏡組高度后均進(jìn)行90 min熱機(jī)再進(jìn)行測(cè)量。

具體測(cè)量過(guò)程如下：

步驟1：機(jī)床開(kāi)機(jī)，在高度為h1=130 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀；

步驟2：X軸高速運(yùn)行90 min，機(jī)床達(dá)到熱平衡狀態(tài)；

步驟3：測(cè)量X軸0～150 mm行程內(nèi)定位誤差；

步驟4：在高度為h2=210 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀，重復(fù)步驟2和步驟3；

步驟5：在高度為h3=290 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀，重復(fù)步驟2和步驟3。

測(cè)量結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯觯捎诎⒇愓`差的影響，隨著鏡組高度的變高，測(cè)得的X軸的定位誤差有一定程度的變大，與上文所分析的結(jié)果一致。

圖6 不同鏡組高度 圖7 不同鏡組高度下定位誤差

2 定位誤差建模與補(bǔ)償

2.1 定位誤差建模

由前文的分析可知，測(cè)得的X軸定位誤差δ(x)由兩部分疊加組成：

δ(x)=δg(x)+δh(x)

(2)

式中，δ(x)是固定不變的基準(zhǔn)定位誤差，這部分誤差是X軸本身的幾何誤差，主要是導(dǎo)軌制造裝配過(guò)程產(chǎn)生的；δh(x)是不同鏡組高度導(dǎo)致的阿貝誤差，由式(1)可知，這部分誤差在數(shù)值上等于激光干涉儀鏡組與光柵尺的距離和工作臺(tái)俯仰角的乘積。

2.1.1 基準(zhǔn)定位誤差建模

將高度h1=130 mm定義為參考高度，在此高度測(cè)得的誤差定義為基準(zhǔn)定位誤差。用不同階次多項(xiàng)式分別擬合基準(zhǔn)定位誤差，表1列出了不同階次擬合精度對(duì)比。

表1 不同階次多項(xiàng)式擬合精度對(duì)比

可以看出，隨著多項(xiàng)式擬合階次的變大，擬合結(jié)果的精度越好，當(dāng)達(dá)到四階時(shí)，擬合精度已經(jīng)達(dá)到較高水平。因此基準(zhǔn)定位誤差選用四階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，正反向基準(zhǔn)定位誤差擬合結(jié)果如式(3)和式(4)所示。

δg(x)↑=0.431+0.13655x-9.66805×10-4x2-
3.43607×10-6x3+3.77949×10-8x4

(3)

δg(x)↓=-0.05175+0.07158x+0.00125x2-
2.39278×10-5x3+9.5926×10-8x4

(4)

式中，x為X軸坐標(biāo)位置；上箭頭代表正向；下箭頭代表反向。

2.1.2 阿貝誤差建模

將在高度h2=210 mm和h3=290 mm下測(cè)得的定位誤差分別減去高度h1=130 mm下測(cè)得的基準(zhǔn)定位誤差，并將所得值相加，相加結(jié)果為相對(duì)于基準(zhǔn)高度累計(jì)240 mm高度差下的阿貝誤差值。則單位高度差下的阿貝誤差值為：

(5)

圖8中的散點(diǎn)是計(jì)算出的單位高度差下的阿貝誤差值，可以看出其有明顯的線(xiàn)性關(guān)系，故對(duì)計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行線(xiàn)性擬合，擬合直線(xiàn)如圖8所示。

(a) 單位高度差下的正向阿貝誤差 (b) 單位高度差下的反向阿貝誤差

阿貝誤差擬合結(jié)果如式(6)和式(7)所示。

δh(x)↑=(-0.00373+0.000246x)h

(6)

δh(x)↓=(-0.00569+0.000265x)h

(7)

式中，x為X軸坐標(biāo)位置；h為激光干涉儀相對(duì)于參考高度的高度差；上箭頭代表正向；下箭頭代表反向。

2.1.3 定位誤差綜合建模

由式(2)可知，基準(zhǔn)定位誤差與阿貝誤差之和即為定位誤差的綜合模型：

δ(x)↑=δg(x)↑+δh(x)↑=0.431+0.13655x-

9.66805×10-4x2-3.43607×10-6x3+3.77949×

10-8x4+(-0.00373+0.000246x)h

(8)

δ(x)↓=δg(x)↓+δh(x)↓=-0.05175+0.07158x+

0.00125x2-2.39278×10-5x3+9.5926×

10-8x4+(-0.00569+0.000265x)h

(9)

定位誤差綜合模型的擬合結(jié)果如圖9所示。

(a) 正向定位誤差擬合結(jié)果 (b) 反向定位誤差擬合結(jié)果

將3個(gè)不同高度下正反向定位誤差共66個(gè)點(diǎn)的擬合殘差匯總，如圖10所示?？梢钥闯鼍C合模型擬合結(jié)果整體殘差在[-1 μm,1 μm]范圍內(nèi)，擬合結(jié)果較好，能夠準(zhǔn)確反映不同高度下X軸的定位誤差。

圖10 綜合模型擬合殘差

2.2 定位誤差補(bǔ)償

誤差補(bǔ)償是相對(duì)于誤差防止提出的，是指人為產(chǎn)生一種與原始誤差大小相等方向相反的新誤差以抵消原始誤差。通過(guò)上文得出的定位誤差綜合模型計(jì)算出定位誤差值，再將補(bǔ)償信號(hào)輸入西門(mén)子840D數(shù)控系統(tǒng)。補(bǔ)償前后X軸正反向定位誤差曲線(xiàn)如圖11所示。

圖11 補(bǔ)償前后定位誤差

表2是根據(jù)ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出的補(bǔ)償前后雙向定位誤差[13]，可以看出通過(guò)誤差補(bǔ)償，正向定位誤差從原來(lái)的6.3 μm降低到2.4 μm，誤差減小了61.9%；反向定位誤差從原來(lái)的7.6 μm降低到2.3 μm，誤差減小了70%。通過(guò)誤差補(bǔ)償，機(jī)床X軸的定位精度得到了大幅提升。

表2 補(bǔ)償前后定位誤差 (μm)

3 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)表明，使用激光干涉儀測(cè)量數(shù)控機(jī)床的直線(xiàn)軸定位精度時(shí)，隨著激光干涉儀鏡組高度的增加測(cè)得的定位誤差有一定程度增大。通過(guò)分析不同鏡組高度下的定位誤差，將定位誤差分離為基準(zhǔn)定位誤差和阿貝誤差兩個(gè)組成部分，分別進(jìn)行多項(xiàng)式擬合和線(xiàn)性擬合，得到了定位誤差綜合模型。使用綜合模型對(duì)機(jī)床定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，結(jié)果顯示機(jī)床精度得到了大幅提升，驗(yàn)證了模型的正確性。