基于認(rèn)知不確定性和預(yù)緊力退化的絲杠壽命預(yù)測*

尹昭輝，劉 俊,，龔夢輝，周華西，周長光

(1.江蘇電子信息職業(yè)學(xué)院數(shù)字裝備學(xué)院，淮安 223003；2.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副是一種能實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和直線運(yùn)動相互轉(zhuǎn)換的滾動功能部件，具有高效率、高精度等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、核工業(yè)等重要國防領(lǐng)域[1]。滾珠絲杠副在使用過程中由于磨損導(dǎo)致預(yù)緊力的退化或喪失，因此預(yù)緊力是決定滾珠絲杠副的使用壽命重要影響因素。通過研究預(yù)緊力實(shí)現(xiàn)對滾珠絲杠副的壽命預(yù)測，對于滾珠絲杠副的維護(hù)具有重要作用。

傳統(tǒng)的可靠性評估方法周期較長，極大影響了產(chǎn)品的研發(fā)，因此基于加速退化試驗(accelerated degradation testing,ADT)的可靠性評估方法成為常用的方法[2]。束芳婷[3]建立了等效加速失效模型，對滾珠絲杠副進(jìn)行了可靠性分析。張筱辰[4]設(shè)計了一種加速壽命退化實(shí)驗裝置，建立了壽命預(yù)測模型。趙哲[5]基于三水平恒定應(yīng)力進(jìn)行了加速性能退化實(shí)驗和壽命預(yù)測。唐圣金等[6]提出了一種基于維納過程的步進(jìn)應(yīng)力加速退化模型和剩余壽命估計方法。蓋炳良、王浩偉等[7-8]在建立加速退化模型時都遵循加速因子不變原則，從而消除了主觀經(jīng)驗的影響。袁曉兵等[9]基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建立了水下采油樹系統(tǒng)的剩余壽命預(yù)測模型。LI等[10]提出了一種同時考慮個體變異、時間變異及測量誤差的基于維納過程的加速退化試驗方法。ZHAO等[11]基于近似壽命分布的馬爾科夫鏈蒙特卡洛抽樣和加速壽命試驗數(shù)據(jù)，提出了一種風(fēng)險預(yù)測框架。HAN等[12]研究了汽缸的三盈利加速壽命試驗，建立了壽命應(yīng)力模型。EL[13-14]對多重恒應(yīng)力加速壽命進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。

上述加速退化試驗評價方法都是以概率論為基礎(chǔ)，以大數(shù)定律為支撐。而對于ADT模型，其樣本量一般較少，在估算時會導(dǎo)致其概率分布偏離長期累積頻率，從而使評估失效[15]。且上述方法均未考慮認(rèn)知不確定的影響因此，在數(shù)據(jù)分析中考慮認(rèn)知不確定性具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

本文引入不確定理論，基于預(yù)緊力退化來建立考慮認(rèn)知不確定性的滾珠絲杠副加速退化模型，并在此基礎(chǔ)上建立滾珠絲杠副的可靠性壽命模型，實(shí)現(xiàn)對絲杠壽命的預(yù)測，通過與維納過程的壽命預(yù)測模型進(jìn)行對比，說明此模型的適用性。

1 絲杠預(yù)緊力加速退化壽命預(yù)測模型

在加速退化試驗中，由于時間和數(shù)據(jù)樣本容量有限，導(dǎo)致對滾珠絲杠副存在認(rèn)知上的缺失，即認(rèn)知不確定性[16]。該不確定理論，能夠量化認(rèn)知不確定性，且不受試驗樣本的限制，因此，本節(jié)以滾珠絲杠副預(yù)緊力退化為研究對象，提出了一種考慮認(rèn)知不確定性的加速退化可靠性壽命預(yù)測模型。

性能退化的過程伴隨著性能裕量的減小，實(shí)際上也是性能退化量增加的過程，因此，在滾珠絲杠副使用之初，即t=0時，其預(yù)緊力沒有退化，而在使用過程中，隨著時間的積累，性能逐漸退化，性能退化量慢慢增加。設(shè)預(yù)緊力函數(shù)為Y(s,t)，其性能裕量函數(shù)為M(s,t)，由于這兩個函數(shù)都為時間和應(yīng)力水平的函數(shù)，故對應(yīng)的預(yù)緊力退化量也是時間和應(yīng)力水平的函數(shù)，記為X(s,t)，且由于檢測次數(shù)不足導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性使得Y(s,t)和M(s,t)都為不確定過程，因此對應(yīng)的X(s,t)也是不確定過程，本節(jié)首先采用算數(shù)劉過程來對預(yù)緊力退化量X(s,t)進(jìn)行建模，進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的Y(s,t)和M(s,t)。

首先，對預(yù)緊力退化量X(s,t)進(jìn)行建模[1]：

X(s,t)=e(s)t+σC(t)

(1)

式中，漂移系數(shù)e(s)代表性能退化量的增長數(shù)據(jù)，表征加速退化模型；C(t)為不確定過程，代表性能檢測不足導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性。

為了考慮預(yù)緊力退化量增長過程中的非線性問題，采用時間尺度轉(zhuǎn)化函數(shù)Λ(t)=tβ(β>0)代替式(1)中的t，得到性能退化量模型為：

X(s,t)=e(s)Λ(t)+σC(Λ(t))

(2)

式中，C(Λ(t))為不確定過程，服從期望為0、方差為Λ(t)2的正態(tài)不確定分布C(Λ(t))～N(0,Λ(t))。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知，式(2)中的X(s,t)服從期望為e(s)Λ(t)、方差為σ2Λ(t)2的正態(tài)不確定分布：

(3)

式中，e(s)是應(yīng)力水平s的函數(shù)，也被稱為壽命—應(yīng)力模型，常見的壽命—應(yīng)力模型可統(tǒng)一為[18-19]：

e(sl)=exp(α0+α1sl)

(4)

式中，α0、α1為未知參數(shù)；sl為第l個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力化水平，不同的加速應(yīng)力模型，其計算公式不同：

(5)

式中，Sl為l個應(yīng)力的實(shí)際應(yīng)力水平；SL和SU分別為滾珠絲杠副應(yīng)力水平下限和上限。

設(shè)滾珠絲杠副預(yù)緊力初值為Y0，則有：

Y(s,t)=Y0-X(s,t)

(6)

聯(lián)立式(2)、式(4)、式(6)得到考慮認(rèn)知不確定性的滾珠絲杠副預(yù)緊力退化模型為：

Y(s,t)=Y0-[exp(α0+α1sl)·tβ+σC(tβ)]

(7)

設(shè)滾珠絲杠副預(yù)緊力退化量閾值為cX，預(yù)緊力閾值為cY，兩者關(guān)系為：

cY=Y0-cX

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，預(yù)緊力函數(shù)Y(s,t)與其性能裕量函數(shù)M(s,t)的關(guān)系為：

M(s,t)=Y(s,t)-cY

(9)

聯(lián)立式(7)～式(9)得到滾珠絲杠副預(yù)緊力性能裕量模型為：

M(s,t)=cX-[exp(α0+αlsl)·tβ+σC(tβ)]

(10)

從式(10)可知，滾珠絲杠副預(yù)緊力性能裕量函數(shù)M(s,t)為不確定過程，根據(jù)定義，其壽命為性能裕量M(s,t)首次小于0的時刻，即首達(dá)時(first hitting time,FHT)[20]：

t0=inf{t≥0|M(s,t)=0}

(11)

同時，壽命也可定義為性能退化量X(s,t)首次大于性能退化量閾值cX的時刻，因此，F(xiàn)HT的不確定分布為：

r(t)=M{t0≤t}=M{infM(s,t)≤0}=
M{supX(s,t)≥cX}

(12)

式中，M(·)為不確定測度。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，滾珠絲杠副預(yù)緊力退化量函數(shù)X(s,t)是一個具有獨(dú)立增量的不確定過程，因此，根據(jù)不確定過程的極值定理[20]，式(12)的解析表達(dá)式為：

(13)

確信可靠度函數(shù)為：

(14)

確信可靠壽命函數(shù)為：

T(α)=sup{t|RB(t)≥α}

(15)

式中，α為確信可靠度水平。

2 不確定統(tǒng)計分析

上文建立的考慮認(rèn)知不確定性的壽命預(yù)測模型中需估計的未知參數(shù)有θ=(σ,β,α0,α1)。首先根據(jù)實(shí)驗值求出預(yù)緊力退化量數(shù)據(jù)，由于絲杠預(yù)緊力值隨著時間呈遞減趨勢，因此有：

xlij=yli1-ylij

(16)

式中，xlij為第l個應(yīng)力水平sl下第i支滾珠絲杠的第j個預(yù)緊力退化值；ylij為對應(yīng)的預(yù)緊力試驗值。

在概率統(tǒng)計中，采用概率來描述事件發(fā)生的可能性，因此，在基于概率論的加速退化模型中，人們一般將性能檢測值與頻率相聯(lián)系，構(gòu)建概率密度函數(shù)，進(jìn)而采用極大似然法來估計參數(shù)，但是，在不確定理論中，并不存在概率密度，只存在分布函數(shù)，因此，不能使用極大似然法來對參數(shù)進(jìn)行估計。在不確定理論中，風(fēng)險分析理論能夠建立起性能退化量與信度的關(guān)系[2]，因此本文采用經(jīng)驗分布函數(shù)法來計算性能退化量函數(shù)的信度。經(jīng)驗分布函數(shù)法僅同觀察數(shù)據(jù)的順序相關(guān)，當(dāng)樣本較少時，其計算公式為：

(17)

式中，F(xiàn)(r,N)表示按升序排列的第r個數(shù)據(jù)的分布函數(shù)對應(yīng)值；N代表總數(shù)據(jù)數(shù)。

基于此原理，對預(yù)緊力加速退化模型的不確定統(tǒng)計分析步驟如下：

步驟1：將滾珠絲杠副的預(yù)緊力退化量觀察值xl1j,xl2j,…,xlij,…按照升序排列；

步驟2：采用式(17)獲得每一個退化量數(shù)據(jù)的信度：

(18)

步驟3：基于最小二乘法原則，建立基于信度及正態(tài)不確定分布的最優(yōu)化模型：

(19)

式中，nl為應(yīng)力水平sl下絲杠的樣本數(shù)；k為試驗應(yīng)力水平個數(shù)；mli為應(yīng)力水平sl下第i支絲杠的預(yù)緊力退化量檢測次數(shù)。

步驟4：對式(19)進(jìn)行尋優(yōu)，求得最優(yōu)解，獲得參數(shù)的估計結(jié)果。

3 預(yù)緊力加速退化試驗

3.1 試驗樣件和裝置

根據(jù)現(xiàn)有數(shù)控機(jī)床的主機(jī)數(shù)據(jù)MTBF=4000 h可以算出對應(yīng)滾珠絲杠副的轉(zhuǎn)數(shù)為965萬轉(zhuǎn)，通過計算可知，一支滾珠絲杠副運(yùn)行965萬轉(zhuǎn)的時間會持續(xù)一個月以上，試驗周期太長。為縮短試驗周期，從實(shí)驗室數(shù)據(jù)庫中選取4組滾珠絲杠副(樣件1～4)的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計[21]，選取2組滾珠絲杠副(樣件5～6)的試驗數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行驗證[4]。為提高模型可信度，本文補(bǔ)充1組滾珠絲杠副(樣件7)的試驗，將試驗數(shù)據(jù)用于對模型的驗證。

本次試驗采用自主研發(fā)的滾珠絲杠副壽命試驗臺和摩擦力矩測量試驗臺開展預(yù)緊力退化和檢測試驗。滾珠絲杠副壽命試驗臺如圖1所示，摩擦力矩測量試驗臺如圖2所示。

圖1 壽命試驗臺 圖2 摩擦力矩測量試驗臺

3.2 試驗方法

加速退化試驗根據(jù)加載方式可分為恒定應(yīng)力試驗、步進(jìn)應(yīng)力試驗和序進(jìn)應(yīng)力試驗。其中，恒定應(yīng)力試驗又分為恒定應(yīng)力定數(shù)截尾加速退化試驗和恒定應(yīng)力定時截尾加速退化試驗[22]。

本次試驗采用恒定應(yīng)力加速試驗方法，所用絲杠型號為GD4010，施加軸向載荷為6 kN，具體試驗步驟為：

步驟1：在摩擦力矩測量試驗臺上測量滾珠絲杠副初始摩擦力矩，并將其轉(zhuǎn)換為預(yù)緊力；

步驟2：在壽命試驗臺上對滾珠絲杠副進(jìn)行無負(fù)載跑和，檢查試驗臺是否正常運(yùn)行；

步驟3：開啟冷降溫裝置，設(shè)置驅(qū)動伺服電機(jī)讓絲杠在壽命試驗臺上以250 r/min的速度進(jìn)行試驗，施加軸向載荷為6 kN；

步驟4：每隔一段時間，對絲杠進(jìn)行摩擦力矩測量，判斷是否超過失效閾值，若超過，停止試驗，若未超過，重復(fù)步驟3直至超過失效閾值；

步驟5：統(tǒng)計實(shí)驗數(shù)據(jù)，繪制預(yù)緊力退化曲線圖。

4 數(shù)據(jù)分析與參數(shù)估計

4.1 試驗數(shù)據(jù)分析

將各樣件的摩擦力矩?fù)Q算為預(yù)緊力如圖3所示。根據(jù)式(16)計算得滾珠絲杠副的預(yù)緊力退化量變化圖如圖4所示。

圖3 滾珠絲杠副預(yù)緊力變化圖 圖4 滾珠絲杠副預(yù)緊力退化量變化圖

可以看出，隨著轉(zhuǎn)數(shù)的增加，預(yù)緊力逐漸減小，且預(yù)緊力的變化存在兩個不同的下降階段，前一階段預(yù)緊力減小的趨勢較快，表示該階段滾珠絲杠副預(yù)緊力退化較快，而后一階段，由于滾珠絲杠副進(jìn)入均勻磨損階段，其退化趨于穩(wěn)定，因此下降速率明顯減小。

4.2 參數(shù)估計

考慮到應(yīng)力水平的范圍及預(yù)緊力退化的趨勢，本選用指數(shù)模型計算歸一化應(yīng)力水平s。常規(guī)工況下滾珠絲杠副的載荷一般低于額定動載荷的30%，因此，可以認(rèn)為滾珠絲杠副的應(yīng)力水平范圍為0～30%Ca(Ca為額定動載荷)，通過計算，對于所給樣件，其30%Ca在15 kN左右，為方便計算，取15 kN作為應(yīng)力水平上限，因此，上限SU=15 kN，下限SL=0。將各應(yīng)力代入式(5)計算得應(yīng)力水平和歸一化應(yīng)力水平如表1所示。

表1 歸一化應(yīng)力水平表

根據(jù)式(18)將信度及預(yù)緊力退化量增量代入式(19)，采用遺傳算法求得各參數(shù)如表2所示。

表2 不確定理論參數(shù)估計表

5 壽命預(yù)測與分析

將表2中的參數(shù)代入式(14)得考慮認(rèn)知不確定度時滾珠絲杠副壽命的確信可靠度函數(shù)為：

(20)

對于滾珠絲杠副，根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知，當(dāng)應(yīng)力水平為預(yù)緊力的2.83倍時，滾珠絲杠副會發(fā)生卸載狀態(tài)，即當(dāng)預(yù)緊力退化到應(yīng)力水平的1/2.83時，滾珠絲杠副將失效，因此，滾珠絲杠副預(yù)緊力退化量閾值為：

(21)

各樣件預(yù)緊力退化量閾值如表3所示。

表3 預(yù)緊力退化量閾值表

根據(jù)式(15)，本以確信可靠度α=0.9時對應(yīng)的壽命值作為滾珠絲杠副壽命的預(yù)測值。表4為樣件5～7的試驗壽命和通過模型預(yù)測的確信可靠壽命值，其中維納過程的壽命預(yù)測值采用文獻(xiàn)[23]中的模型求得。

表4 壽命預(yù)測表

根據(jù)表4分別求得基于維納過程和基于不確定理論的滾珠絲杠副預(yù)測壽命相對試驗值的誤差如圖5所示。

圖5 預(yù)測壽命值相對誤差圖

可以看出，基于維納過程的滾珠絲杠副的壽命預(yù)測相對實(shí)驗值的相對誤差較大，且隨著應(yīng)力水平的增大，相對誤差值也相應(yīng)增大，而基于不確定理論的相對誤差相對較小，說明基于不確定理論的滾珠絲杠副壽命預(yù)測模型更加準(zhǔn)確。分析可知，基于維納過程的壽命預(yù)測模型誤差較大的原因在于，試驗樣本數(shù)據(jù)太少，導(dǎo)致在建立模型時對滾珠絲杠副預(yù)緊力退化的整體認(rèn)知不足，從而導(dǎo)致其概率分布偏離實(shí)際分布較遠(yuǎn)。雖然不確定理論模型的相對誤差比維納過程要小，但是部分樣本的相對誤差依然較大，原因在于，不確定理論模型適用于恒定應(yīng)力情況，對于滾珠絲杠副而言，由于其預(yù)緊力會隨著滾珠絲杠副的使用產(chǎn)生退化，導(dǎo)致其應(yīng)力水平并非嚴(yán)格意義的恒定應(yīng)力，因此會對預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生偏差。但是從結(jié)果是看，不確定理論模型的相對誤差均小于20%，且預(yù)緊力退化的速度相對于滾珠絲杠副整個使用周期而言較小，因此，不確定理論在一定程度上可以用于對滾珠絲杠副壽命進(jìn)行預(yù)測。

上文通過試驗驗證了壽命預(yù)測模型的可行性和準(zhǔn)確性，下面對該模型進(jìn)行分析。根據(jù)估算的各參數(shù)，代入式(20)中對樣件進(jìn)行仿真得到如圖6和圖7所示結(jié)果。

圖6 壽命可靠度函數(shù)仿真圖 圖7 壽命可靠度三維仿真圖

從圖6可以看出，隨著壽命的增加，考慮認(rèn)知不確定性的滾珠絲杠副壽命可靠度先保持1不變，再急劇下降，最后緩慢下降并趨于0，從數(shù)據(jù)中可以看出，預(yù)緊力退化量閾值越大，其壽命也越大。

從圖7中可以看出，當(dāng)壽命較小時，應(yīng)力水平對其可靠度影響較小，而隨著應(yīng)力水平的增大，壽命急劇下降，且應(yīng)力水平對壽命的可靠度影響也會增大，說明，在應(yīng)力水平范圍內(nèi)，滾珠絲杠副可正常工作一段時間。因此，滾珠絲杠副在使用過程中應(yīng)保證其承受載荷在一定范圍內(nèi)，這樣才能保證其壽命符合使用要求。

6 結(jié)論

本文基于不確定理論建立了考慮參數(shù)的認(rèn)知不確定性的滾珠絲杠副預(yù)緊力加速退化試驗?zāi)Ｐ?，基于該模型提出了滾珠絲杠副壽命預(yù)測模型，通過試驗驗證了該預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，并對預(yù)測模型進(jìn)行了仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)壽命預(yù)測模型的預(yù)測值與試驗值的相對誤差小于20%，且比基于維納過程的壽命預(yù)測模型的相對誤差小得多，因此該預(yù)測模型能夠?qū)L珠絲杠副的壽命進(jìn)行預(yù)測。

(2)考慮認(rèn)知不確定性時的滾珠絲杠副可靠度模型，其可靠度隨著壽命的增加，先保持不變，然后急劇下降，最后緩慢下降。

(3)當(dāng)壽命較小時，應(yīng)力水平對其可靠度影響較小，而隨著應(yīng)力水平的增大，壽命急劇下降，且應(yīng)力水平對壽命的可靠度影響也會增大。