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    某些子群為CSS-子群的有限群①

    2022-09-27 12:53:30刁倩玉劉建軍
    關(guān)鍵詞:反例素?cái)?shù)子群

    刁倩玉, 劉建軍

    西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400715

    本文假設(shè)Md(P)中的元為G的CSS-子群或者S-擬正規(guī)嵌入子群, 將研究群G的結(jié)構(gòu).

    引理1[6]設(shè)U為群G的S-擬正規(guī)嵌入子群,H≤G,K為G的正規(guī)子群, 則:

    (i) 如果U≤H, 那么U為H的S-擬正規(guī)嵌入子群;

    (ii)UK是G的S-擬正規(guī)嵌入子群,且UK/K是G/K的S-擬正規(guī)嵌入子群.

    引理2[9]設(shè)H為群G的CSS-子群, 則:

    (i) 如果H≤M≤G, 那么H為M的CSS-子群;

    (ii) 設(shè)N?_G且N≤H, 則H是G的CSS-子群當(dāng)且僅當(dāng)H/N是G/N的CSS-子群;

    (iii) 設(shè)π為素?cái)?shù)集合,N為G的正規(guī)π′-子群, 如果H為G的π-子群, 則HN/N是G/N的CSS-正規(guī)子群.

    引理3[8]設(shè)p為素?cái)?shù),P為G的一個(gè)p-子群. 如果P是G的SS-擬正規(guī)子群, 則P與G的每個(gè)Sylowq-子群可置換, 其中q≠p.

    引理4[13]設(shè)N為群G的一個(gè)正規(guī)子群(N≠1). 如果N∩Φ(G)=1, 則N的Fitting子群F(N)是G的包含在F(N)里的極小正規(guī)子群的直積.

    定理1設(shè)p為|G|的素因子,P為G的Sylowp-子群. 如果G為p-可解群,且某固定的Md(P)中的每個(gè)元是G的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群, 則G為p-超可解群.

    證假設(shè)定理1結(jié)論不成立,且設(shè)G為極小階反例. 設(shè)

    Md(P)={P1,…,Pd}

    我們按下列步驟證明定理1:

    步驟1Op′(G)=1.

    假設(shè)Op′(G)≠1. 由于POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群, 并且

    POp′(G)/Op′(G)?P

    因此可得

    Md(POp′(G)/Op′(G))={P1Op′(G)/Op′(G),…,PdOp′(G)/Op′(G)}

    由引理2和引理1知,PiOp′(G)/Op′(G)(i=1,…,d)是G/Op′(G)的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群, 從而G/Op′(G)滿足定理?xiàng)l件. 由G的極小性知G/Op′(G)為p-超可解群, 故G為p-超可解群, 矛盾.

    步驟2Φ(P)G=1, 從而Op(G)為初等交換群.

    假設(shè)Φ(P)G≠1, 則

    Md(P/Φ(P)G)={P1/Φ(P)G,…,Pd/Φ(P)G}

    由引理2和引理1知,Pi/Φ(P)G(i=1,…,d)是G/Φ(P)G的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群. 從而G/Φ(P)G滿足定理?xiàng)l件, 由G的極小性知G/Φ(P)G為p-超可解群. 故G/Φ(G)為p-超可解群, 從而G為p-超可解群, 矛盾.

    步驟3 所有包含在Op(G)中的G的極小正規(guī)子群都是p階循環(huán)群.

    由步驟1及G為p-可解群知Op(G)>1. 任取G的極小正規(guī)子群N且N≤Op(G). 如果N≤Φ(P), 則由步驟2可知N≤Φ(P)=1, 矛盾. 所以N≤/Φ(P). 不妨設(shè)N≤/P1∈Md(P). 令N1=N∩P1, 則

    |N∶N1|=|N∶N∩P1|=|NP1∶P1|=p

    根據(jù)假設(shè),P1為G的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群. 我們斷言N是p階循環(huán)群.

    情形1 若P1是G的CSS-子群, 則存在G的正規(guī)子群K, 使得G=P1K,且P1∩K是G的SS-擬正規(guī)子群. 由N的極小性知N∩K=1,N.

    如果N∩K=1, 則NK/K是G/K的極小正規(guī)子群. 由于

    G/K=P1K/K?P1/P1∩K

    為p-群, 于是N?NK/K為p階循環(huán)群.

    如果N∩K=N, 即N≤K, 則

    P∩K=NP1∩K=N(P1∩K)

    是K的Sylowp-子群. 令Kq為K的Sylowq-子群, 其中q≠p, 則Kq也是G的Sylowq-子群. 由引理3知

    (P1∩K)Kq=Kq(P1∩K)≤G

    于是

    N1=N∩(P1∩K)=N∩(P1∩K)Kq?_(P1∩K)Kq

    由步驟2知,N為交換群, 故N1?_N. 因此

    N1?_〈N,(P1∩K)Kq:q∈π(G),q≠p〉=K

    易知

    N1=N∩P1?_P1

    所以

    N1?_P1K=G

    由N的極小性知N1=1,且N為p階循環(huán)群.

    情形2 若P1是G的S-擬正規(guī)嵌入子群, 則存在G的S-擬正規(guī)子群H, 使得P1是H的Sylowp-子群. 于是對任一Q∈Sylq(G), 其中q≠p, 有HQ=QH, 即HQ是G的一個(gè)子群. 則

    N1=N∩P1=N∩HQ?_HQ

    且由步驟2可得N為初等交換群, 從而N1?_N. 于是

    N1?_〈N,HQ:Q∈Sylq(G),q≠p〉=G

    由N的極小性知N1=1,且N為p階循環(huán)群.

    步驟4 極小階反例不存在.

    由步驟1、步驟2及已知可得

    CG(Op(G))=Op(G)

    如果存在G的極小正規(guī)子群N, 使得

    N≤Op(G)∩Φ(G)

    由步驟2和步驟3可知,N在P中有補(bǔ). 根據(jù)文獻(xiàn)[14]的定理17.4, 假設(shè)N在G中有補(bǔ)M. 又因N≤Φ(G), 故G=NM=M, 矛盾. 于是

    Op(G)∩Φ(G)=1

    再由引理4知

    Op(G)=N1×N2×…×Nr

    其中Ni為G的極小正規(guī)子群,且|Ni|=p(i=1,…,r). 由G/CG(Ni)≤Aut(Ni)知,G/CG(Ni)為p-超可解群. 故

    為p-超可解群, 于是G為p-超可解群, 矛盾.

    注1在定理1中, 假設(shè)“G是p-可解群” 是必不可少的. 比如, 取G=A5,p=5. 則G的每個(gè)Sylow 5-子群的極大子群都是單位元群, 顯然是G的CSS-子群,也是S-擬正規(guī)嵌入子群. 但是G不是5-超可解群.

    推論1設(shè)p為|G|的任一素因子,P為G的Sylowp-子群. 如果G為可解群,且某固定的Md(P)中的每個(gè)元是G的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群, 則G是超可解群.

    定理2設(shè)p為|G|的素因子且p為奇素?cái)?shù),P為G的Sylowp-子群. 假設(shè)NG(P)是p-冪零群且某固定的Md(P)中的每個(gè)元是G的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群, 則G為p-冪零群.

    證假設(shè)定理2結(jié)論不成立,且設(shè)G為極小階反例. 設(shè)

    Md(P)={P1,…,Pd}

    我們按下列步驟證明該定理:

    步驟1Op′(G)=1.

    證明同定理1.

    步驟2 若P≤H

    因?yàn)镹G(P)是p-冪零群, 且NH(P)≤NG(P), 所以NH(P)是p-冪零群. 根據(jù)引理2和引理1知,Pi(i=1,…,d)是H的CSS-子群或S-擬正規(guī)嵌入子群. 即H滿足定理2的條件. 由G的極小性知,H是p-冪零群.

    步驟3G=PQ, 其中Q為G的Sylowq-子群,q≠p.

    如果對P的所有特征子群T,NG(T)都是p-冪零的. 顯然P≤NG(T). 于是

    NG(T)=P|×Op′(NG(T))

    由T?_NG(T)知

    Op′(NG(T))≤CG(T)

    所以NG(T)/CG(T)是p-群. 根據(jù)文獻(xiàn)[15]知G為p-冪零群, 矛盾. 故存在P的非平凡特征子群T, 使得NG(T)是非p-冪零的. 選取T, 使得T的階足夠大. 從而對于任意滿足T

    NG(P)≤NG(T)

    因?yàn)镹G(T)是非p-冪零群, 則由步驟2可得,NG(T)=G, 即T?_G. 于是對于滿足

    1≠T≤Op(G)

    的P的特征子群K,NG(K)都是p-冪零的. 故NG(K)/CG(K)是p-群, 從而NG/Op(G)(K/Op(G))/CG/Op(G)(K/Op(G))也是p-群. 再次根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知,G/Op(G)是p-冪零的, 從而G是p-可解的. 由文獻(xiàn)[16]的定理6.3.5知, 對任意q∈π(G),q≠p, 存在G的Sylowq-子群Q, 使得PQ≤G. 若PQ

    Q≤CG(Op(G))

    又因G為p-可解群且Op′(G)=1, 于是

    CG(Op(G))≤Op(G)

    矛盾, 故G=PQ.

    步驟4 極小階反例不存在.

    由步驟1和步驟3知Op(G)> 1. 設(shè)N為G的任一包含在Op(G)里的極小正規(guī)子群. 若N≤Φ(P), 則N≤Φ(G). 易證商群G/N滿足定理2的條件, 則由G的極小性知,G/N為p-冪零群. 從而G為p-冪零群, 矛盾. 于是N≤/Φ(P). 不妨設(shè)N≤/P1, 即P=NP1. 同定理1可證N為p階循環(huán)群. 所以N在P中有補(bǔ). 根據(jù)文獻(xiàn)[14]的定理17.4可知,N在G中有補(bǔ), 即存在M≤G, 使得G=N×|M. 顯然N≤/Φ(G). 故

    Op(G)∩Φ(G)=1

    再由引理4知

    Op(G)=N1×N2×…×Nr

    其中Ni為G的極小正規(guī)子群,且

    |Ni|=pi=1,…,r

    于是

    P≤CG(Ni)i=1,…,r

    從而

    故P=Op(G), 從而G=NG(P)為p-冪零群, 矛盾.

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