衛(wèi)星平臺擾動對星載原子干涉重力梯度儀測量影響分析

祝 竺，段小春，廖 鶴，趙艷彬

（1. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；2. 華中科技大學 物理學院，武漢 430074；3. 重力導航教育部重點實驗室，武漢 430074；4. 精密重力測量國家重大科技基礎設施，武漢 430074；5. 南京航空航天大學 航天學院，南京 210016）

原子干涉重力梯度儀是探測地球重力場信號的重要儀器之一，一般由相隔一定距離的一對或多對原子干涉重力儀構成，其采用冷卻的原子團作為檢驗質量來感應重力的作用，通過相位相干的拉曼激光對冷原子操控實現(xiàn)原子干涉，使原子所處疊加態(tài)的相位與運動路徑中受到的重力加速度相關，檢測原子的內態(tài)，通過干涉條紋擬合得到的相位便可獲取重力加速度信息。再基于差分加速度的測量原理，獲得所在位置處的重力梯度值Vij，即重力加速度g=[gx, gy, gz]隨空間的一階導，稱為重力梯度張量，可表示為：

原子干涉重力梯度儀具有穩(wěn)定性高、量程大、測量頻帶寬、低頻白噪聲譜平穩(wěn)等諸多優(yōu)點，成為近年來飛速發(fā)展的重力測量儀器之一，在大地測量、地球物理、資源勘探等領域發(fā)揮了重要的作用[1,2]。1998年，耶魯大學研制出了地面首臺原子干涉重力梯度儀，在1.4 m的基線長度下，測量靈敏度達到30 E/Hz1/2（1 E=10-9/s2）。經(jīng)過二十多年的發(fā)展，國內外多家機構相繼研制出了原子干涉重力梯度儀的地面樣機。國內原子干涉重力梯度儀地面測量靈敏度目前達到100 E/Hz1/2（華中科技大學）[3]。

近年來，國內外研究小組均開始瞄準原子干涉重力測量的星載優(yōu)勢：一方面由于其測量靈敏度與原子干涉脈沖間隔T的平方成反比，在星載微重力環(huán)境下，T可以由地面的毫秒量級增大至秒量級，大大提升測量精度；另一方面，冷原子團和儀器框架（固連于衛(wèi)星）同做自由落體運動，相對運動極小，有效規(guī)避了原子團觸碰容器壁的風險，有利于星載設備的小型化。在該背景下，NASA與ESA均開展了原子干涉重力梯度儀星載測量的概念研究和初步設計[4,5]，并指出理論上星載測量的潛在分辨率有望達到0.07 mE/Hz1/2[6]，大大優(yōu)于目前已成功在軌運行過的GOCE衛(wèi)星上的靜電式重力梯度儀（在軌分辨率10~20 mE/Hz1/2）。實驗方面[7,8]，JPL在NASA支持下開展了便攜式星載原子干涉重力梯度儀的研制，用于未來空間計劃的搭載；ESA研制了適用于不萊梅落塔的原子干涉儀樣機，并開展了自由落體實驗；法國ONERA實施了原子干涉重力儀的機載飛行實驗。與此同時，國內中科院精密測量科學與技術創(chuàng)新研究院[9]、浙江大學[10]、浙江工業(yè)大學[11]、華中科技大學[12]、北京航天控制儀器研究所[13]等相關小組也詳細闡述了原子干涉重力儀的空間應用前景，并開展了小型化可移動式樣機和部組件的設計研制[14]。星載測量方案方面，法國巴黎天文臺基于地面原子干涉重力梯度儀上拋下落式的測量原理，提出了一種基于差分對拋式的星載原子干涉重力梯度儀方案[15]，并估計梯度儀測量噪聲3.5 mE/Hz1/2。該方案可以同時測量對角梯度分量和衛(wèi)星角速度信息，但是該類型的梯度儀測量噪聲受限于儀器尺寸和原子拋出速度，并且為了測量衛(wèi)星角速度，增大了系統(tǒng)結構的復雜度。針對該問題，在以往的工作中[16,17]，我們分析了地面與星載失重環(huán)境下原子干涉重力梯度儀的測量機理差異，提出了一種適用于星載環(huán)境的“零初速釋放”式的原子干涉重力梯度儀測量方法，并預估該梯度儀測量噪聲有望達到1 mE/Hz1/2左右。實際空間應用中，衛(wèi)星平動自由度和轉動自由度的干擾加速度對高精度的重力梯度儀測量將產(chǎn)生一定的影響，主要體現(xiàn)在：（1）衛(wèi)星平動自由度的干擾加速度會引入質心偏差以及梯度儀基線長度變化；（2）衛(wèi)星轉動自由度在繞垂直軌道平面的軸向上會存在一個較大的轉動角速度（軌道角頻率），導致原子團所在測量基線方向與拉曼激光方向發(fā)生偏離，貢獻離心力與科里奧利力。這些干擾加速度分為兩種：一種是時域的常值干擾加速度，會帶來重力梯度測量的系統(tǒng)誤差，這部分可通過數(shù)據(jù)處理進行扣除和抑制；另一種是干擾加速度的波動，會引入重力梯度測量的測量噪聲，可在頻域通過噪聲功率譜密度體現(xiàn)。本文主要分析后者，值得注意的是，對于星載重力梯度測量的測量噪聲而言，其貢獻因素很多，包括梯度儀儀器噪聲、衛(wèi)星平臺噪聲等。其中占主導作用的是梯度儀儀器噪聲，其噪聲本底主要受限于量子投影噪聲（決定了噪聲極限），可控制在mE/Hz1/2量級，該部分內容在以往的工作中已開展了詳細的分析[18]。目前國內外對于星載原子干涉重力梯度儀的噪聲分析主要集中在儀器噪聲，例如拉曼光相位噪聲、探測噪聲、光強噪聲等。然而在星載條件下，除了儀器噪聲外，衛(wèi)星平臺貢獻的噪聲也不可忽略，將直接影響原子干涉重力梯度儀的測量。因此在該背景下，本文開展了衛(wèi)星平臺干擾加速度對星載原子干涉重力梯度儀測量的影響分析研究：首先介紹了“零初速釋放”式的星載原子干涉重力梯度儀測量原理，其次分析了衛(wèi)星平臺平動自由度和轉動自由度的干擾加速度對原子干涉重力梯度儀測量的影響，并給出了相應的解決途徑和殘余噪聲貢獻，為未來星載原子干涉重力梯度儀的空間工程應用提供理論支撐。

1 “零初速釋放”式的星載原子干涉重力梯度儀測量方法

對于原子干涉重力梯度測量，地面采用的是“上拋下落”式的測量方法：采用磁光阱（Magneto Optical Trap, MOT）將原子冷卻囚禁后，通過豎直上拋不同高度的冷原子團，在地表1g重力加速度的作用下原子下落，并用激光操控冷原子團使之發(fā)生干涉，繼而感測出不同高度處的重力加速度，通過差分重力加速度信息來獲取豎直方向上的重力梯度分量Vzz，如圖1所示。

圖1 原子干涉重力梯度儀地面測量方法Fig.1 On-ground measurement method of atom-interferometry gravity gradiometer

空間環(huán)境下原子失重，與儀器框架（固連于衛(wèi)星）同做自由落體運動，原子團與衛(wèi)星幾乎相對靜止（僅存在由于衛(wèi)星受到的大氣阻尼力、姿態(tài)變化等干擾引起的微小相對運動），此時可利用空間這種獨特的微重力環(huán)境，當原子團冷卻囚禁后，不需要給定一個初速度拋出再下落，而是直接零初速的釋放原子團，再通過拉曼激光操控使之發(fā)生原子干涉來完成測量，如圖2所示。

圖2 原子干涉重力梯度儀星載測量方法Fig.2 Measurement method of space-borne atom-interferometry gravity gradiometer

“零初速釋放”測量方法如下：第一步，沿衛(wèi)星質心對稱放置三對MOT，分別置于衛(wèi)星的X、Y、Z軸。第二步，在MOT里完成原子的囚禁和冷卻。第三步，關閉線圈電流，使MOT失效，讓原子處于自由漂浮狀態(tài)。第四步，沿每個測量基線方向，用拉曼激光操控原子實現(xiàn)干涉，通過測定干涉相位差Δφ獲得同一方向上的差分加速度Δa，可表示為：

其中keff是拉曼激光脈沖的有效波矢，T是激光脈沖間隔。差分加速度Δa不僅包含了待測的重力梯度值，還含有衛(wèi)星旋轉引入的離心力和科里奧利力，這是因為在地心坐標系下，對單個干涉儀的原子團用牛頓第二定律，有：

其中等式左邊FG表示地球質量體對原子的萬有引力，m表示原子的質量。右邊第一項表示衛(wèi)星在沿著地球公轉的軌道上運行時，對應的衛(wèi)星質心相對于地心慣性坐標系的飛行加速度，第二項是在衛(wèi)星質心坐標系下原子相對衛(wèi)星的加速度，也是原子干涉儀的輸出；第三項和第四項分別為牽連加速度和科氏加速度，其中表示衛(wèi)星繞其質心自轉角速度，和分別表示原子在衛(wèi)星質心坐標系中的位矢和速度。由于原子相對于衛(wèi)星的速度接近于零，在本節(jié)理論推導中，科氏加速度暫時忽略。因此對于同一測量基線上的一對干涉儀（分別用下標1和2表示），其輸出為：

因此原子重力梯度儀的差分加速度輸出可表示為：

其中Vii表示待測的重力梯度分量，ω2=ωx2+ωy2+ωz2表示衛(wèi)星角速度，下標i=x，y，z表示測量方向。因此需要采用星敏、陀螺儀等測量衛(wèi)星角運動信息，并在差分加速度中扣除，以得到對角梯度分量Vxx、Vyy、Vzz的值。

相比于地面測量方法而言，該空間測量方法具有諸多優(yōu)勢：（1）星載條件下，原子失重處于自由漂浮狀態(tài)，測量的是原子團相對于衛(wèi)星的加速度，在500 km以下的近地軌道，該加速度不超過10-6m/s2量級，因此原子團與衛(wèi)星幾乎相對靜止，此時不需要采用地面上拋原子團的方法進行測量，直接用拉曼激光與兩團漂浮的原子進行作用，可有效避免原子團在短時間內觸碰容器壁的風險，獲得較長的干涉脈沖間隔，提高測量精度，利于儀器的小型化研制。（2）該方法不再局限于地面僅豎直方向梯度分量Vzz的測量，空間中可測量Vxx、Vyy、Vzz多個梯度分量，獲得更豐富的重力梯度信息。

2 衛(wèi)星平臺擾動對原子干涉重力梯度儀的測量影響

重力梯度測量衛(wèi)星的平臺干擾加速度主要分為平動干擾加速度和轉動干擾加速度。平動自由度的干擾加速度主要來源于低軌大氣阻尼、太陽光壓等。轉動自由度的干擾加速度主要由衛(wèi)星姿態(tài)機動產(chǎn)生。下面分別進行討論。

2.1 衛(wèi)星平動自由度的干擾加速度影響

理論上，衛(wèi)星質心與梯度儀的基線中心重合，如圖2所示。實際中，當原子團在空間釋放后，處于失重自由漂浮狀態(tài)，外界微小的干擾加速度將導致衛(wèi)星質心與梯度儀基線中心發(fā)生偏離，且同一方向上兩團原子之間的距離即梯度儀基線長度也隨之發(fā)生變化。

（1）共模干擾加速度影響分析

當同一方向上的一對原子干涉儀受到外界共模干擾加速度時，會導致衛(wèi)星質心與梯度儀基線中心發(fā)生偏移，如圖3所示。

圖3 共模加速度擾動導致的質心偏差Fig.3 Center of mass offset induced by common-mode acceleration disturbances

低軌衛(wèi)星的共模加速度主要來源于外界大氣阻尼擾動，由此產(chǎn)生的質心偏差Δd可估算為：

其中aCM是衛(wèi)星的共模加速度，在250 km以下的軌道高度，該值不超過1×10-5m/s2[17]，Ttotal≈ 2T是原子團零初速釋放后自由漂浮狀態(tài)下干涉測量的時間，根據(jù)重力場測量空間分辨率與干涉脈沖間隔T之間的關系，Ttotal最大可設置為13.4 s[17]，根據(jù)式(7)，產(chǎn)生的最大質心偏差Δd約為0.9 mm。對于衛(wèi)星重力梯度測量模式而言，共模干擾加速度可通過差分測量抑制掉，因此并不貢獻重力梯度測量噪聲，但會產(chǎn)生梯度儀中心和衛(wèi)星質心的偏差，主要影響低軌衛(wèi)星無拖曳控制系統(tǒng)的阻尼補償，最大質心偏差一般控制在cm級即可[19]，故0.9 mm的質心偏差在允許的誤差范圍內。

（2）差模干擾加速度影響分析

同一基線上的兩個干涉儀測量的差模加速度會導致測量基線的長度發(fā)生變化，如圖4所示。

圖4 差模加速度擾動導致的基線長度變化Fig.4 Baseline length change induced by different-mode acceleration disturbances

差模加速度aDM主要來源于重力梯度和離心加速度的影響，在i方向上產(chǎn)生的梯度儀基線長度偏差△Li可表示為：

250 km軌道高度處最大的重力梯度值來源于地心徑向Vzz≈ 2740 E，最大角速度來源于垂直軌道平面方向，由于衛(wèi)星對地指向三軸穩(wěn)定，故該方向存在一個較大的公轉角頻率ωy≈ 1.2×10-3rad/s，在基線長度Li= 0.5 m的情況下，產(chǎn)生的梯度儀基線長度偏差約為△Li= 0.2 mm。該偏值可在數(shù)據(jù)后處理中扣除或者在通過π脈沖時改變有效波矢的大小來補償[20]。而基線長度偏差的波動會對重力梯度的測量噪聲產(chǎn)生影響，這主要取決于軌道高度處的差模加速度的波動大小，可得：

根據(jù)ESA給出的GOCE在軌L1b數(shù)據(jù)[21]，可得250 km的軌道高度處差模加速度在頻域的功率譜密度約為δaDM（f）=10-11m/s2/Hz1/2，由式(9)可計算出基線長度的波動約為δLi（f）= 0.9 nm/Hz1/2，由引入的重力梯度噪聲約為：

而飛行方向和垂直軌道平面方向的重力梯度值約為地心徑向的一半，Vxx≈ Vyy≈ 1370 E。對于三軸穩(wěn)定對地指向衛(wèi)星而言，最大的衛(wèi)星角速度來源于垂直于軌道平面方向ωy≈1.2×10-3rad/s，其他兩軸的衛(wèi)星角速度ωx和ωz約為10-6rad/s量級。根據(jù)式(10)，在Li=0.5 m的基線長度下，貢獻的最大重力梯度測量噪聲來源于地心徑向，約為δVzz（f）=8×10-3mE/Hz1/2。飛行方向和垂直軌道平面方向貢獻的重力梯度測量噪聲分別為δVxx（f） = 5×10-3mE/Hz1/2和δVyy（f）=2.5×10-3mE/Hz1/2。

2.2 衛(wèi)星轉動自由度的干擾加速度影響

衛(wèi)星重力梯度測量主要是獲取式(1)中重力梯度張量矩陣的三個對角分量Vxx、Vyy與Vzz，即在軌道高度處，測量沿飛行方向、垂直軌道平面以及地心徑向三個方向上（坐標定義見圖2）的重力梯度分量值，因此衛(wèi)星姿態(tài)需設置為三軸穩(wěn)定對地指向，此時衛(wèi)星繞垂直軌道平面即Y軸存在一個較大的公轉角頻率ωy≈ 1.2×10-3rad/s，而激光器固連于衛(wèi)星，導致在測量過程中，拉曼激光打出的方向跟隨衛(wèi)星旋轉，偏離冷原子團所在的梯度儀基線方向，影響測量結果。為解決該問題，可采用“反射鏡+驅動電機”的方法補償衛(wèi)星角速度，通過驅動電機實時調整激光反射鏡，讓激光束的方向始終對準原子團所在基線方向，如圖5所示。該方法在地面測量中多用于補償?shù)厍蜃赞D影響。然而與地面不同的是，星載測量中，由于衛(wèi)星三軸穩(wěn)定對地指向，存在一個較大的公轉角速度1.2×10-3rad/s（地面需要補償?shù)牡厍蜃赞D速度僅為10-6rad/s量級），且空間中的干涉測量時間Ttotal遠大于地面。因此要求驅動電機的轉速達到ω=1.2×10-3rad/s，且能夠補償?shù)慕嵌确秶笥讦亍total=1.6×10-2rad。

圖5 衛(wèi)星存在角運動情況下的激光束調整策略Fig.5 Laser Beam adjustment strategy in the presence of satellite angular motion

補償后的殘余角速度，將對重力梯度儀產(chǎn)生離心力與科里奧利力，帶來額外的測量誤差，下面分別討論。

（1）離心力的影響分析

對于離心加速度項，由于衛(wèi)星角速度屬于低頻角運動，一般對于頻率低于10 Hz的角運動，航天器主要采用高精度陀螺儀或光學敏感器等組成的高精度的衛(wèi)星測姿系統(tǒng)來實現(xiàn)。衛(wèi)星角速度的測量噪聲δω貢獻的梯度測量噪聲可表示為：

其中下標i、j、k滿足右手螺旋法則。由于衛(wèi)星三軸穩(wěn)定對地指向，因此衛(wèi)星Y軸存在一個較大的公轉角頻率ωy≈ 1.2×10-3rad/s，而X與Z軸的角速度較小，約在10-6rad/s量級?？臻g原子干涉重力梯度測量對振動等環(huán)境較為敏感[22]，因此星上陀螺儀需盡量采用無機械振動的陀螺儀如激光陀螺儀、原子陀螺儀等。例如星載原子陀螺儀靈敏度可達δωi= 10-12rad/s/Hz1/2[23]。因此根據(jù)式(11)，可計算出衛(wèi)星角速度測量噪聲貢獻的梯度測量噪聲不超過2.4×10-3mE/Hz1/2。

（2）科里奧利力的影響分析

對于科里奧利加速度項，主要通過衛(wèi)星角速度耦合原子殘余速度而產(chǎn)生。一方面，采用圖5中“反射鏡+驅動電機”的方法補償衛(wèi)星角速度ω，減小科里奧利加速度項的影響，另一方面，需對原子殘余速度提出要求。對補償后的殘余科里奧利加速度建模，可表示為：

式中下標i、j、k滿足右手螺旋法則。ωj與ωk分別為衛(wèi)星j方向和k方向補償后的殘余角速度，Δvj與Δvk分別為j方向和k方向的測量基線上兩團原子團相對于衛(wèi)星的速度之差，δvj與δvk分別為j方向和k方向上單個原子團相對于衛(wèi)星的殘余速度。根據(jù)國外實驗研究結果，補償后的衛(wèi)星殘余角速度可降低60倍[24]。因此經(jīng)補償后，衛(wèi)星Y軸的最大角速度可由ωy≈1.2×10-3rad/s降低至2×10-5rad/s。此時為達到1 mE/Hz1/2的梯度測量精度，則要求原子在X與Z方向的速度擾動小于δvx=δvz=10 nm/s/Hz1/2。而原子零初速釋放后自由飄浮，單個原子團相對于衛(wèi)星的殘余速度非常微小，主要來源于三對打向原子團的激光功率的不穩(wěn)定性，這就對激光束的功率差提出了指標要求。設激光功率比為r=P2/P1≈1+ΔP/P，其中P1≈P2=P為激光的平均功率，ΔP = P2- P1為激光功率之差。建立激光功率差與原子速度漂移之間的關系如下[25]：每出現(xiàn)1%的激光功率比變化，就會導致20 μm/s的原子速度漂移。因此本方案中要求原子速度漂移小于10 nm/s/Hz1/2，這就意味著激光功率差ΔP/P需小于5×10-6/Hz1/2。

2.3 平臺干擾加速度影響分析小結

綜上所述，衛(wèi)星平臺平動自由度和轉動自由度的干擾加速度對星載原子干涉重力梯度儀的測量噪聲貢獻如表1所示。需要說明的是，在考慮重力梯度測量的干擾加速度時，原則上應利用靈敏度函數(shù)結合干擾加速度的噪聲譜進行評估，設時域靈敏度函數(shù)對應的Fourier變換為G（f），則對單個原子干涉重力儀來說，其相移波動與干擾信號的噪聲功率譜有以下關系：

表1 衛(wèi)星平臺干擾加速度貢獻的原子干涉重力梯度儀測量噪聲Tab.1 Noise contribution for space-borne atom - interferometry gravity gradiometer caused by satellite platform disturbances

其中Sa（f）表示干擾加速度的單邊噪聲功率譜。用于反演地球重力場的星載重力梯度儀，主要關注的是低頻段（0.1 mHz~100 mHz）的重力梯度信號。在低頻段，/(2π T2f )2≈ 1，因此可近似認為該干擾直接影響單個原子干涉儀，從而引入原子干涉重力梯度測量的噪聲。

3 總 結

低軌對地三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的平臺干擾加速度會對冷原子干涉重力梯度儀的測量產(chǎn)生影響：一方面，平動自由度的干擾加速度將引入兩部分影響，其中共模干擾加速度導致梯度儀質心產(chǎn)生0.9 mm的偏差，影響無拖曳控制系統(tǒng)的補償，但不影響重力梯度測量，差模干擾加速度導致基線長度發(fā)生變化，對原子干涉重力梯度測量的噪聲貢獻僅在10-3mE/Hz1/2量級，可忽略不計；另一方面，轉動自由度的干擾加速度帶來激光方向偏離，引入額外的離心力與科里奧利力，可采用“反射鏡+驅動電機”的方法補償衛(wèi)星角速度并采用高精度的星載陀螺儀測量出衛(wèi)星角速度，在原子速度漂移小于10 nm/s/Hz1/2，激光功率差小于5×10-6/Hz1/2的條件下，該部分引入的噪聲影響可控制在1 mE/Hz1/2。且要求驅動電機的轉速達到1.2×10-3rad/s，補償?shù)慕嵌确秶笥?.6×10-2rad，該指標主要受限于驅動電機執(zhí)行反饋的響應速度和反饋范圍，將在后續(xù)工作中開展詳細分析。