一類非線性四階橢圓型方程的弱解存在性問題

王 博，李秀梅

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

在廣泛的數(shù)學(xué)及物理應(yīng)用領(lǐng)域里，橢圓型方程對(duì)物理狀態(tài)的描述、解析和計(jì)算提供了基本的模型基礎(chǔ)，同時(shí)這類方程也在多種應(yīng)用科學(xué)中起到了關(guān)鍵作用.典型的橢圓型方程在物理應(yīng)用領(lǐng)域中，主要描述電磁場(chǎng)、重力場(chǎng)和反應(yīng)擴(kuò)散、能量傳導(dǎo)等物理現(xiàn)象.近年來，隨著數(shù)學(xué)理論的不斷完善和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，學(xué)者們對(duì)橢圓型方程研究出了許多新的成果.陳祖墀等[1-3]利用極小元泛函方法及其他方法對(duì)二階橢圓型方程的弱解存在性進(jìn)行了討論.狄華斐等[4]對(duì)一類橢圓型方程弱解的正則性問題給出了存在性結(jié)論和性質(zhì)；陳方敏等[5]利用適當(dāng)?shù)木o性定理和光滑逼近給出了一類橢圓型方程弱解的存在性和唯一性.

不同的方法對(duì)不同類型的方程展現(xiàn)了不同的適用性.本文利用構(gòu)造極小元泛函的方法將陳祖墀[1]提出的低階方程推廣至高階橢圓型方程，對(duì)一類非線性四階橢圓型方程的弱解進(jìn)行討論.

本文討論如下的四階橢圓型方程的弱解問題.設(shè)Ω?Rn是一有界區(qū)域，其邊界?Ω充分光滑，在Ω上考慮方程：

(1)

其中：w∈C0(Ω),w>0,p>1.

1 方程弱解的存在性

這一部分中給出方程(1)的弱解形式，同時(shí)給出方程(1)弱解的存在性.這里首先給出此方程弱解的定義.

(2)

為了求解方程(1),首先構(gòu)造相應(yīng)的泛函，假設(shè)存在泛函J(v)滿足以下形式，

令

經(jīng)計(jì)算，有

(3)

(4)

其中：k>0是龐加萊不等式中的常數(shù)；ε>0為任意常數(shù).

證明根據(jù)L2范數(shù)的下半連續(xù)性得

又由{vk}的弱收斂性，有

則有

(5)

(6)

故

2 方程弱解的唯一性

根據(jù)方程(1)已經(jīng)得到的弱解，在這一部分，給出方程(1)恒存在唯一的弱解.

定理2對(duì)任意f∈L2(Ω)，方程(1)恒存在唯一弱解.

取φ=u，便得

由此可知?Δu,Δu=0，則利用齊邊值條件得u=0.與假設(shè)矛盾，故方程(1)恒存在唯一弱解.

3 結(jié)語

本文運(yùn)用構(gòu)造極小元泛函的方法，給出了泛函的極值元存在性.通過求解泛函的極值解出一類四階橢圓型方程的弱解問題，并給出弱解的存在唯一性.對(duì)橢圓型方程的解法有很多種，例如函數(shù)展開法、輔助函數(shù)法、Holder估計(jì)、全局BMO估計(jì)等[6-12].但對(duì)于高階橢圓形方程有諸多局限，極小元泛函可以有效解決高階橢圓型方程的求解問題.以本文的思路，通過構(gòu)造極小元泛函的方法可以對(duì)階數(shù)更高，形式更復(fù)雜的橢圓型方程弱解問題進(jìn)行研究.