圖的ISDD指數(shù)的界

程 宇，邵燕靈

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

本文所考慮的圖均為簡單無向圖.設(shè)圖G=(V(G),E(G))為n階m條邊的無向圖，其頂點集為V(G)={v1,v2,…,vn}，邊集為E(G)，且|E(G)|=m.di為頂點vi的度，i=1,2,…,n.圖G的最大度記為Δ,最小度記為δ.

圖G的反對稱分割指數(shù)[7](ISDD指數(shù))是由Ghorbani等在2021年提出的一個新分子拓撲指數(shù)，其被定義為

文獻[7]給出ISDD(G)和SDD(G)的一些上、下界，并給出ISDD(G)和SDD(G)之間的不等式關(guān)系，還證明了在頂點數(shù)為n的樹中，星圖的ISDD(G)值最小，路圖的ISDD(G)值最大.

本文還用到了其他拓撲指數(shù)，包含遺忘指數(shù)[8]

第二薩格勒布指數(shù)[9]

第一薩格勒布指數(shù)[11]

本文利用一些已知的不等式給出了ISDD(G)的一些上、下界，得出了ISDD(G)和SDD(G)之間的關(guān)系，并證明了在一定條件下ISDD(G)和SDD(G)是線性相關(guān)的.

1 預(yù)備知識

引理 1[12]設(shè)x1,x2…xn為正實數(shù)，則

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時，等式成立.

引理 2[13](柯西-施瓦茲不等式) 設(shè)ai,bi∈R，1≤i≤n，則

當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的1≤i,j≤n，aibj=ajbi時，等式成立.

引理 3[14]設(shè)ak,bk≥0，且0<ωbk≤ak≤Ωbk，1≤k≤m，則

當(dāng)且僅當(dāng)ω=Ω和ak=ωbk時，等式成立.

引理 4[15]設(shè)0

2 ISDD(G)指數(shù)的界

根據(jù)已知的不等式得出了ISDD(G)指數(shù)的一些上、下界.

定理 1設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)G為二部半正則圖或正則圖時，式(1) 左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(1) 右邊等號成立.

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)di=δ,dj=Δ時，式(2)左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)di=dj時，式(2)右邊等號成立.故

當(dāng)且僅當(dāng)G為二部半正則圖或正則圖時，左邊等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時右邊等號成立.證畢.

定理 2設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(3)等號成立.

證明根據(jù)引理1可得

故

當(dāng)式(3)等號成立時，對于任意一條邊vivj∈E(G),didj=δ2，di=dj，即di=dj=δ，所以，G為正則圖.

反之，當(dāng)G為正則圖時，

證畢.

定理3設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(4)

當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(4)等號成立.

證明根據(jù)引理1可得

故

反之，當(dāng)G為正則圖時，

證畢.

定理 4設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(5)

當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(5)等號成立.

證明注意到

因為

(6)

故

同理，能得出

反之，當(dāng)G為正則圖時，

證畢.

定理 5設(shè)G是邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(7)

當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(7)等號成立.

證明根據(jù)引理2可得

又由式(6)可得

反之，當(dāng)G為正則圖時，

證畢.

定理 6設(shè)G是一個邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(8)

當(dāng)且僅當(dāng)G為正則圖時，式(8)等號成立.

證明假設(shè)

根據(jù)式(2)可得

因為

可得

根據(jù)引理3等式成立的條件，可得

易得di=Δ=δ，所以，G為正則圖.

反之，當(dāng)G為正則圖時，

另一方面,

所以

(9)

反之，當(dāng)G為正則圖時，

證畢.

3 ISDD(G)和SDD(G)之間的聯(lián)系

給出ISDD(G)和SDD(G)之間的不等式關(guān)系，并證明了在一定情況下，ISDD(G)指數(shù)和SDD(G)指數(shù)是線性相關(guān)的.

引理 5設(shè)f和k為任意正實數(shù)，則

證明因(f-k)2≥0，故

f2-2kf+k2≥0,f2+k2≥2kf,

證畢.

ISDD(G)+k2SDD(G)≥2km.

故

ISDD(G)+k2SDD(G)≥2km.

證畢.

定理 8設(shè)G是一個邊數(shù)為m，最大度為Δ，最小度為δ的圖，則

(10)

當(dāng)G為正則圖時，式(10)等號成立.

證明記

0

代入引理4可得

因此

當(dāng)G為正則圖時，有

ISDD(G)·SDD(G).

證畢.

故

αSDD(G).

證畢.