突顯數(shù)形結(jié)合思想 架構(gòu)章節(jié)拓展專題
——以“一次函數(shù)與平行四邊形”為例

何 銘

(廣東省廣州天省實驗學(xué)校 510650)

筆者在廣州市天河區(qū)的教研活動中進行了一節(jié)公開課，課題為“一次函數(shù)與平行四邊形”，是 “一次函數(shù)”章節(jié)的拓展專題課.經(jīng)歷了備課、磨課、上課及課后交流討論，在函數(shù)與幾何的數(shù)形結(jié)合思想方法方面、章節(jié)拓展專題內(nèi)容設(shè)置方面都受益良多.

1 教學(xué)背景及目標分析

課題“一次函數(shù)與平行四邊形”可探討的內(nèi)容很多，如：一次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題、一次函數(shù)與平行四邊形的面積問題或者是其他一次函數(shù)與平行四邊形的綜合題.

學(xué)生剛完成“一次函數(shù)”的新課學(xué)習(xí)，初步接觸函數(shù)與幾何的綜合題.而且當前一次函數(shù)與幾何圖形的綜合題中涉及的技巧、方法和思想對日后解題都是適用的，學(xué)生需要的是函數(shù)與幾何中數(shù)形結(jié)合的方法和思想.

2 教學(xué)重點

在坐標系中用代數(shù)符號語言表達圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法及用幾何性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法，也就是以數(shù)助形、以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合方法.

3 教學(xué)目標

(1)會在坐標系中表示線段的等量關(guān)系、平行關(guān)系，會通過圖形性質(zhì)求點的坐標；

(2)通過問題解法的探討過程，體會用代數(shù)符號語言表達圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法，用圖形性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法；

(3)感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4 教學(xué)難點

掌握在坐標系中用代數(shù)符號語言表達圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法及用幾何性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法，教師在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生實現(xiàn)這兩個維度上的轉(zhuǎn)化.

綜上所述，本課的定位是函數(shù)與幾何綜合運用的開篇課程，是解決各類函數(shù)綜合題的基礎(chǔ).教師應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的方法、轉(zhuǎn)換思考問題的角度，通過函數(shù)與幾何的聯(lián)系幫助學(xué)生提升認知結(jié)構(gòu)，為日后處理更復(fù)雜的函數(shù)綜合題積累經(jīng)驗、方法、思想.

5 教學(xué)過程設(shè)計

5.1 基礎(chǔ)知識

引入1：兩點間的距離：A(2,3)、B(-1,-1)，則AB=.

引入2：坐標系中直線的平行關(guān)系:

(1)A(3,2)、B(3,-2)，則AB平行于y軸；

(2)C(-1,-1)、D(4,-1)，則CD平行于x軸；

(3)直線l1:y=k1x+b1(k1≠0)與直線l2:y=k2x+b2(k2≠0)，當滿足什么條件時，l1與l2互相平行.

活動1：學(xué)生在學(xué)案上完成問題1、問題2.

問題1：有些同學(xué)在學(xué)案上畫了圖，得到的答案是什么？

問題2：有些同學(xué)沒有畫圖就得到了正確答案，是根據(jù)什么得出答案？

【設(shè)計意圖】作為本課的引入環(huán)節(jié)，以從點的坐標、直線解析式得到線段數(shù)量關(guān)系和直線位置關(guān)系的問題為切入點，復(fù)習(xí)坐標系中數(shù)形結(jié)合的重要工具,另外在學(xué)案上附圖，讓學(xué)生在畫圖中感受數(shù)與形的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化.

5.2 例題探討

例1如圖1，已知直線AB:y=2x+6分別交x軸、y軸于點A(-3,0)、B(0,6)，點P(-2,m)是直線AB上的點.

圖1

(1)直接寫出點P的坐標；

(2)直線CD:y=2x+n交x軸于點C(-1,0)，交y軸于點D.證明：四邊形ACDP是平行四邊形；

(3)在(2)的條件下，直線AB上有一點Q，使得四邊形ADCQ是平行四邊形，求Q的坐標.

思考①：判定平行四邊形有哪幾種方法？

思考②：這些方法中的幾何關(guān)系在坐標系中如何通過代數(shù)語言表示？

思考③：如何畫出點Q？點Q的位置要滿足哪些條件？如何求點Q的坐標？

活動2：集體討論求出點P坐標、直線CD解析式以及點D坐標.

問題3：如何求出點P的坐標？

問題4：要證明四邊形ACDP是平行四邊形，已經(jīng)知道A、C、P的坐標，還要求點D坐標，求點D坐標要先求出什么？如何求直線CD解析式？

【設(shè)計意圖】題目出現(xiàn)的點、線較多，對剛學(xué)一次函數(shù)的學(xué)生而言圖形不簡單，此時由老師帶著學(xué)生讀題有助于學(xué)生理解題意，并直接明了地解決點P坐標、直線CD解析式以及點D坐標.第(2)問中需要用到以上內(nèi)容，由老師帶著解決問題，能更直接進入到第(2)、(3)問中本課的重點內(nèi)容.

活動3：學(xué)生進行思考①，回顧平行四邊形的判定方法.

問題5：已經(jīng)知道四個點的坐標了，我們要判定四邊形ACDP是平行四邊形，先看思考①，判定平行四邊形有哪幾種方法？

【設(shè)計意圖】設(shè)計了問題串來引導(dǎo)學(xué)生逐步分化題目解決問題，先進行思考①可以讓學(xué)生回顧平行四邊形的5種判定方法，也讓之后的解題和小組討論有了方向.

問題6：平行四邊形的判定，以前是在幾何題里面處理線段相等、直線平行、角相等的幾何關(guān)系，在坐標系中與函數(shù)結(jié)合在一起，如何用坐標系的語言來表達幾何關(guān)系？

活動4：學(xué)生進行思考②，小組討論把5種判定都表示出來.

經(jīng)過討論后，小組代表展示結(jié)果，不同小組補充其他方法.

問題7：不同的方法是用了不同的工具，以不同的角度看待問題，都值得學(xué)習(xí).這些方法有的簡單有的復(fù)雜，哪些比較復(fù)雜？為什么會復(fù)雜？

【設(shè)計意圖】設(shè)計思考②引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角，用代數(shù)語言去表達幾何關(guān)系.通過小組討論集思廣益，在全班討論及展示不同幾何關(guān)系在坐標系中的表示方法，以及相同幾何關(guān)系在坐標系中不同的表示方法.這個環(huán)節(jié)能達到本課的重要目的：開拓學(xué)生視野，多角度了解函數(shù)與幾何綜合題可以用到的工具、方法，之后遇到類似問題時可以舉一反三.

教師總結(jié)第(2)問的特點是以數(shù)助形：在坐標系根據(jù)點的坐標特征和兩點間距離得到直線位置關(guān)系和線段數(shù)量關(guān)系進而得到圖形性質(zhì).

問題8：第(2)問已有4個點證明圖形是平行四邊形，第(3)問要找出第4個點，使得它是平行四邊形.怎么畫出點Q？它受哪些條件限制？之后根據(jù)什么求出坐標？

活動5：學(xué)生在圖中畫出點Q，進行思考③，并小組討論交流不同的方法.

在討論遇到瓶頸后，老師提示學(xué)生點Q的畫法揭示了點Q的求法.經(jīng)過討論后，小組代表展示討論結(jié)果，不同小組補充不同的方法.

【設(shè)計意圖】第(3)問要求要根據(jù)圖形幾何性質(zhì)求解點的坐標.設(shè)置思考③讓學(xué)生先畫圖，感受點要滿足的條件，再根據(jù)要滿足的條件求解問題.小組討論、分享匯報可以在課堂上展示各種解法，不同解法帶來的多個思考角度可以拓寬學(xué)生思路，不同解法之間的比較可以提升學(xué)生思維.

教師總結(jié)第(3)問的特點是以形助數(shù)：在坐標系根據(jù)圖形性質(zhì)的直線位置關(guān)系和線段數(shù)量關(guān)系得到坐標特征和兩點間距離進而得到點坐標.從數(shù)到形、從形到數(shù)，本課就是數(shù)與形之間互相轉(zhuǎn)換、互相結(jié)合.

【設(shè)計意圖】本課著重于數(shù)形結(jié)合的方法，因此第(2)問和第(3)問都盡可能展示不同的方法，以求學(xué)生多了解接觸數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合的方法.在每一問結(jié)束時分別總結(jié)以數(shù)助形和以形助數(shù)的方法，在兩問結(jié)束時把兩者聯(lián)系起來實現(xiàn)數(shù)與形之間互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合，這樣能對本課的主題有所提升，也能讓學(xué)生更加深刻地感受到數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)美.

6 教學(xué)反思

6.1 小專題課中的思維訓(xùn)練

在磨課的過程中，一開始設(shè)計了例題之后還有跟進練習(xí)，看上去整節(jié)課沒那么單薄但實施的效果反而不好.原因是小專題課是思維訓(xùn)練課，重視的是思維提升而不是技巧訓(xùn)練.與其做重復(fù)的訓(xùn)練，倒不如在課堂上讓學(xué)生感受數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，感受不同角度不同方法間的聯(lián)系與區(qū)別，感受不同解法下幾何代數(shù)的輕重不同.為了增強學(xué)生的感受體驗讓學(xué)生思維得到訓(xùn)練，本課從引入環(huán)節(jié)就慢下來，讓學(xué)生在充足的時間里感受基礎(chǔ)知識中數(shù)形的結(jié)合，后面的例題以問題串的方式揭示解題思路引導(dǎo)學(xué)生思考，更是在第(2)、(3)問都設(shè)置了小組討論、分享匯報的環(huán)節(jié)，在思想碰撞中提升思維水平.

6.2 小專題課間的上下關(guān)聯(lián)

小專題課一般是以解決某一類問題為主題來設(shè)計，但本課沒有突出解決問題的類型而是圍繞著函數(shù)與幾何圖形綜合題的數(shù)形結(jié)合方法進行.考慮到學(xué)生初步接觸該題型，本學(xué)期之后也會遇到一次函數(shù)各類的綜合題，到初三還有二次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合題，有一節(jié)總領(lǐng)方法思想的專題課是很有必要的，以便學(xué)生日后遇到問題時能想到涉及的工具、解題的方法.也就是說小專題課主題的設(shè)置上要想到不同學(xué)段間的上下關(guān)聯(lián)，對小專題課的目標、定位有所規(guī)劃.

小專題課目前已不只是運用于中考復(fù)習(xí)階段，初中三年應(yīng)利用小專題課幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，串聯(lián)知識間的數(shù)學(xué)思想方法，以幫助學(xué)生提高思維水平、提升認知結(jié)構(gòu).