初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題的解題方法

王 涵

(江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214177)

初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題主要的解題思路有：運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、運(yùn)用圖形性質(zhì)、借助點(diǎn)的對稱、借助圖形關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合等進(jìn)行求解.其中點(diǎn)的對稱源于學(xué)生所學(xué)的“將軍飲馬模型”，而圖形關(guān)系則包括圖形的全等與圖形的相似.教學(xué)中僅僅為學(xué)生講解相關(guān)理論是不行的，還應(yīng)注重為學(xué)生做好解題方法應(yīng)用示范.

1 借助函數(shù)性質(zhì)求解動態(tài)幾何問題

動態(tài)幾何問題情境復(fù)雜多變，在求解最值問題時借助函數(shù)性質(zhì)是常用的思路.解題時需在認(rèn)真審題，吃透題意的基礎(chǔ)上，搞清楚角度、線段長度之間的關(guān)系，必要情況下設(shè)出相關(guān)參數(shù)，表示出要求解參數(shù)的表達(dá)式，而后靈活運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解答.需要注意的是函數(shù)最值與自變量密切相關(guān)，因此，應(yīng)根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境，確定正確的自變量范圍.

圖1

例1如圖1，ABCD為矩形，AB和AD的長分別為10cm，6cm，動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動，動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)以2cm/s的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts，當(dāng)S△DEF+S△ABE和最大時，t的值為( ).

A.2 B.3

解析該題創(chuàng)設(shè)的情境并不復(fù)雜，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動速度可知DE的長度應(yīng)為AE長度的兩倍，如此便將點(diǎn)的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為線段長度.結(jié)合已知條件中給出的參數(shù)，設(shè)出AE的長度后表示出三角形的面積之和，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.其中因點(diǎn)E在AD上運(yùn)動，因此，AE的取值范圍為0

2 借助圖形性質(zhì)求解動態(tài)幾何問題

求解動態(tài)幾何問題時借助圖形性質(zhì)是經(jīng)常用到的一種思路.初中數(shù)學(xué)涉及到的幾何圖形較多，包括直角三角形、矩形、正方形、圓等，不同的圖形有著不同的性質(zhì).解題時通過審題明確涉及到的圖形，結(jié)合線段、角度之間的關(guān)系，確定相關(guān)對象運(yùn)動過程中變與不變的量，尋找解題突破口.

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(12，0)，(0，9)，經(jīng)過點(diǎn)O且和AB相切的動圓和x軸交于點(diǎn)P，和y軸交于點(diǎn)Q，則線段PQ的最小值為( ).

圖2

解析認(rèn)真審題挖掘題干中的隱含條件.圓在運(yùn)動過程中∠QOP=90°以及和線段AB相切的關(guān)系始終保持不變.由圓的性質(zhì)可知求PQ的最小值，即求動圓的直徑的最小值，如此便將PQ的最小值轉(zhuǎn)化為求最小直徑圓的問題.結(jié)合O和切點(diǎn)連線的關(guān)系可知當(dāng)圓的直徑為AB邊上的高時最小.

3 借助點(diǎn)的對稱求解動態(tài)幾何問題

求解初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題的又一種方法即點(diǎn)的對稱.其中將軍飲馬模型是點(diǎn)對稱的典型代表.運(yùn)用點(diǎn)的對稱求解動態(tài)幾何問題應(yīng)結(jié)合題干選取合理的點(diǎn)，并找到對稱的線段，必要情況下需結(jié)合圖形性質(zhì)確定對稱點(diǎn)的具體位置，而后通過做出輔助線，構(gòu)建特殊圖形，如直角三角形，借助勾股定理求出對應(yīng)線段的長度.

圖3

解析結(jié)合將軍飲馬模型，尋找點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，運(yùn)用菱形知識確定對稱點(diǎn)在線段CD上，不斷的改變PF的位置，使P、F、G三點(diǎn)共線，且距離最短.而后做出輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合題干中給出的角度與線段長度，求出線段之和的最小值.

4 借助圖形關(guān)系求解動態(tài)幾何問題

初中數(shù)學(xué)部分動態(tài)幾何問題需借助圖形關(guān)系，尋找角度、線段之間的等量或比例關(guān)系.解題常用的知識點(diǎn)有：平行線性質(zhì)、三角形全等以及三角形相似等.解答該類問題可采用逆向推理法，從要求解的問題切入，分析需要哪些條件，必要情況下做出輔助線更好地揭示要求解問題與已知條件的關(guān)系.

圖4

例4如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，4)，(x，0),且-2

解析根據(jù)題干描述運(yùn)用直線平行的性質(zhì)，將角轉(zhuǎn)化到具體的三角形中，表示出角的正切后，將問題轉(zhuǎn)化為求線段BG的最大值.根據(jù)題干中給出的已知條件，借助三角形相似，構(gòu)造線段之間的關(guān)系，求出線段BG的最大值.

5 借助數(shù)形結(jié)合求解動態(tài)幾何問題

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中非常重要的解題思想.解答動態(tài)幾何問題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可迅速找到解題突破口.借助數(shù)形結(jié)合求解動態(tài)幾何問題，應(yīng)認(rèn)真觀察給出的圖形、圖象，通過分析圖象中的關(guān)鍵點(diǎn)，如最高或最低點(diǎn)，將其與圖形對應(yīng)起來，充分挖掘圖形中的隱含條件.同時，立足幾何圖形性質(zhì)求解出相關(guān)線段、角度等參數(shù)，以達(dá)到順利解題的目的.

(a) (b)圖5

題目中僅給出∠B的正切值，解題時需讀懂圖5(b)，從中尋找出線段長度.結(jié)合x=BD可知，當(dāng)x值最大值對應(yīng)BC的長度.找到點(diǎn)D的特殊位置，靈活運(yùn)用勾股定理以及三角形面積計算公式便可計算出最終結(jié)果.

初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題教學(xué)中，為獲得良好的教學(xué)效果，應(yīng)結(jié)合具體例題運(yùn)用多媒體技術(shù)向?qū)W生直觀的展示點(diǎn)、線、圖形的變化情境，使其能夠直觀的觀察到變與不變的量，尤其在課堂上注重與學(xué)生積極互動，營造良好課堂氛圍，提升其聽課體驗(yàn)的同時，加深其對不同題型的認(rèn)識，牢固掌握相關(guān)的解題方法.