基于FACT技術(shù)的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)與降階

張孝薈， 湯亞芳， 栗少龍， 宋 標(biāo)， 袁旭峰

（貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025）

0 引 言

傳遞函數(shù)作為一種研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的重要手段［1］，在各行各業(yè)廣泛應(yīng)用。在控制系統(tǒng)中，為實(shí)現(xiàn)按照設(shè)計(jì)預(yù)期改變零、極點(diǎn)位置，達(dá)到調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、提高系統(tǒng)控制精度和穩(wěn)定性的目的，應(yīng)對(duì)復(fù)雜高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確解析以及適當(dāng)?shù)慕惦A處理［2］。Vandeloo等［3］提出將電路模型參數(shù)導(dǎo)入編程軟件Common Lisp中，利用稀疏矩陣進(jìn)行傳遞函數(shù)的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)的方法。但該方法嚴(yán)重依賴(lài)電路的具體參數(shù)，且所用編程語(yǔ)言過(guò)于專(zhuān)業(yè)，不具有普適性。文獻(xiàn)［4］中利用Matlab軟件仿真運(yùn)算平臺(tái)，以一個(gè)CMOS兩級(jí)運(yùn)算放大器電路為研究對(duì)象，對(duì)電路中各個(gè)晶體管的熱噪聲傳遞函數(shù)進(jìn)行求解并簡(jiǎn)化，Matlab運(yùn)算結(jié)果表明該方法能有效避免對(duì)電路參數(shù)的過(guò)分依賴(lài)。

文獻(xiàn)［5］中對(duì)直流電動(dòng)機(jī)復(fù)合定位控制系統(tǒng)CPCS及PID根軌跡、頻率特性等動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析，得出高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總能采用降階方式化簡(jiǎn)的結(jié)論。高階系統(tǒng)的降階研究滲透在航空動(dòng)力系統(tǒng)［6-7］、交通軌道磁懸浮控制系統(tǒng)［8］、柔性直流配電系統(tǒng)［9-10］等各個(gè)行業(yè)。然而，高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的降階處理過(guò)程往往會(huì)引起狀態(tài)變量的改變，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制精度下降，甚至影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。

鑒于上述技術(shù)進(jìn)展及存在的問(wèn)題，本文以柔性直流系統(tǒng)為背景，以文獻(xiàn)［11］中所提混合式直流故障限流器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，利用快速分析技術(shù)（Fast Analytical Circuit Techniques，F(xiàn)ACT）［12］對(duì)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)和化簡(jiǎn)，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。特性［12］。

定義的傳遞函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：H0為s＝0（電容開(kāi)路、電感短路時(shí)，后續(xù)均設(shè)置s＝0作為電路參考狀態(tài)）狀態(tài)下的直流增益；零點(diǎn)為方程N(yùn)（s）＝0的根，極點(diǎn)為方程D（s）＝0的根。圖1為運(yùn)用FACT求解高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的流程圖。

圖1 FACT求解傳遞函數(shù)流程框圖

1 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)與降階

本文設(shè)計(jì)的基于FACT，利用時(shí)間常數(shù)表征電路特性的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)求解過(guò)程：①根據(jù)FACT原理，首先將傳遞函數(shù)規(guī)范為低熵表達(dá)式；②將傳遞函數(shù)表達(dá)式整理為零、極點(diǎn)完美分離形式；③通過(guò)設(shè)計(jì)主導(dǎo)極點(diǎn)或偶極子［13］對(duì)高階系統(tǒng)降階，用降階后的近似低階系統(tǒng)，來(lái)表征原始復(fù)雜高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；④利用Matlab軟件仿真運(yùn)算取得系統(tǒng)降階前后的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)，驗(yàn)證該技術(shù)對(duì)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)與降階的有效性。

1.1 快速分析技術(shù)

利用FACT求解高階復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，與傳統(tǒng)方法相比，在求解速度方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。該技術(shù)主要特點(diǎn)如下：

（1）利用時(shí)間常數(shù)對(duì)電路進(jìn)行表征。在特定條件下，暫時(shí)從電路中的連接端移除電阻、電感或電容元件，求得該端口的阻抗值，從而將復(fù)雜的無(wú)源電路或者有源電路分解為由一系列時(shí)間常數(shù)表征的零、極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)［12］。

（2）低熵表達(dá)式。系統(tǒng)的熵與其內(nèi)部紊亂程度相關(guān)聯(lián)，利用FACT能夠得到高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式，可快速識(shí)別出系統(tǒng)增益、零點(diǎn)、極點(diǎn)，以及零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)。分析傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式，能夠明確串并聯(lián)電路的主導(dǎo)器件以及不同頻率狀態(tài)下的電路

1.2 傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

圖2所示的混合式直流故障限流器工作原理為：故障后，保護(hù)系統(tǒng)檢測(cè)到線(xiàn)路故障，立即給晶閘管T1送入觸發(fā)脈沖，同時(shí)也給T2送入持續(xù)的觸發(fā)信號(hào)；晶閘管T1導(dǎo)通瞬間，換相電容C1立即放電，放電電流導(dǎo)致T3斷；C1放電完畢后繼續(xù)被故障電流反向充電，一直被施加著觸發(fā)信號(hào)的晶閘管T2，當(dāng)其開(kāi)始承受正向電壓時(shí)瞬間導(dǎo)通。自此限流模塊均被投入故障回路抑制故障電流。

圖2 混合式直流故障限流器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

由上述限流原理可知：主限流支路中的R2在換相電容充電完畢后，方能完全投入故障回路抑制短路電流，故換相電容的反向充電時(shí)間越短越好。在限流過(guò)程中某個(gè)時(shí)刻，換相電容的初始電壓放電完畢，并開(kāi)始反向充電，從而進(jìn)入另一個(gè)工作狀態(tài)，直到其充電完畢。為進(jìn)一步分析電容充電的暫態(tài)過(guò)程，故以換相電容兩端的電壓作為輸出響應(yīng)，利用FACT求解該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

如圖3所示，用串聯(lián)的電阻電感電容RS、LS、CS等效替代直流系統(tǒng)模塊化多電平變換器（Modular Multilevel Converter，MMC）［14］，但該方法會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的階數(shù)升高，增加求解各階段電壓電流的詳細(xì)表達(dá)式的難度?？紤]到故障后短時(shí)間內(nèi)MMC電容CS電壓下降幅度較小，為方便求解，將其等效為恒定的直流電壓源。文獻(xiàn)［15-16］中對(duì)該等效方法進(jìn)行了驗(yàn)證，認(rèn)為誤差較小，等效可行。忽略半導(dǎo)體器件通態(tài)壓降，令RS＋R1＝R3，LS＝L3，其簡(jiǎn)化電路見(jiàn)圖4。

圖3 電路模型

圖4 電路模型簡(jiǎn)化圖

依據(jù)FACT原理，可快速取得系統(tǒng)直流增益、零點(diǎn)推導(dǎo)、極點(diǎn)推導(dǎo)，以及完整傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式，大幅降低高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)的復(fù)雜性，提高了求解速度。

（1）直流增益。將各儲(chǔ)能元件設(shè)置為參考狀態(tài)（C1開(kāi)路、L2短路、L3短路），計(jì)算直流增益為

（2）極點(diǎn)推導(dǎo)。與電容C1、電感L2、電感L3相關(guān)聯(lián)的時(shí)間常數(shù)τ1、τ1、τ3

［12］分別為：

設(shè)［12］

計(jì)算時(shí)間常數(shù)τ12、τ13、τ23時(shí)，分別看L2兩端（C1為高頻狀態(tài)，L2、L3為參考狀態(tài)）的驅(qū)動(dòng)電阻、L3兩端（C1為高頻狀態(tài)，L2、L3為參考狀態(tài)）的驅(qū)動(dòng)電阻、L3兩端的驅(qū)動(dòng)電阻（L2為高頻狀態(tài)，L3、C1為參考狀態(tài)），得到：

設(shè)［12］

計(jì)算時(shí)間常數(shù)τ123［12］時(shí)，將C1、L2設(shè)置為高頻狀態(tài)（C1短路、L2開(kāi)路），將L3設(shè)置為參考狀態(tài)（L3短路），由L3兩端的驅(qū)動(dòng)電阻得到：

設(shè)［12］

分母表達(dá)式D（s）［12］為

（3）零點(diǎn)推導(dǎo)。根據(jù)上述FACT求解傳遞函數(shù)分子表達(dá)式的過(guò)程與分母求解過(guò)程基本一致，唯一不同之處是：求解過(guò)程中需將激勵(lì)源復(fù)原，輸出置為零［12］。

具體過(guò)程，此處不再贅述。求解得到：

則，分子N（s）［12］表達(dá)式為

（4）完整表達(dá)式。由此可得到完整傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式［12］：

將傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式整理為零極點(diǎn)完美分離的表達(dá)式如下：

式中：

1.3 降階處理

分析系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)，判斷其是否滿(mǎn)足降階條件，具體流程如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)降階處理以及驗(yàn)證流圖

令式（14）中零、極點(diǎn)的第1零點(diǎn)與第2極點(diǎn)的比值為A，則：

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，確定參數(shù)一個(gè)初始取值范圍：換相電容C1取值范圍5～10 μF；限流電感L2取值范圍10～30 mH；換流站系統(tǒng)等效電感L3取值范圍150～200 mH；主限流電阻R2取值范圍30～40 Ω；電阻R3其取值范圍8～12 Ω?；谠撊≈捣秶?，R2L3＞＞L2R3，R2C1R2R3＜＜R2L3＜R2L2，故：

同樣，將第2零點(diǎn)與第3極點(diǎn)的比值令為B，則：

故系統(tǒng)傳遞函數(shù)中存在兩對(duì)偶極子，分別為wz1和wp2、wz2和wp3，采用零、極點(diǎn)相消的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階處理［17］，去除兩對(duì)偶極子，留下一個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)wp1，則最終將傳遞函數(shù)近似表達(dá)式如下：

降階后的傳遞函數(shù)近似等效為一階系統(tǒng)，該系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)為

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 降階前

用Matlab（2017a）運(yùn)算軟件平臺(tái)中自帶的遺傳算法工具箱，根據(jù)實(shí)際工程中限流器設(shè)備各儲(chǔ)能元件常見(jiàn)的取值范圍［18］，求取式（19）的最優(yōu)解。圖6（a）表明，利用遺傳算法經(jīng)過(guò)多次迭代之后，其適應(yīng)度值基本不再變化，最終得到限流器設(shè)備各元件的最佳取值：C1＝10 μF，L2＝10 mH，L3＝150 mH，R2＝40 Ω；R3＝11 Ω；圖6（b）為根據(jù)上述最佳取值求解式（19）的期望分布情況。

圖6 遺傳算法迭代優(yōu)化參數(shù)

用Matlab求解原始高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)，主要程序如下：

得到原始三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

零極點(diǎn)分布如圖7所示。

圖7 零極點(diǎn)分布圖

由圖7可知，原始三階系統(tǒng)存在兩對(duì)偶極子，每一對(duì)偶極子的作用相互抵消，只剩一個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)作用，該系統(tǒng)滿(mǎn)足降階條件，與理論推導(dǎo)相符合。

2.2 降階后

用Matlab對(duì)降階后的系統(tǒng)求解傳遞函數(shù)，主要程序如下：

得到降階后一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

對(duì)比式（20）和（21）分析可知，降階前后的系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)分別為－262.2、－237.9，兩個(gè)系統(tǒng)極點(diǎn)位置比較靠近。為驗(yàn)證降階后的系統(tǒng)對(duì)原始系統(tǒng)的描述能力，在Matlab上繪制降階前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)，主要程序如下：

den3＝［b3 b2 b1 1］；

num3＝［a2 a1 1］*H0；

sys3＝tf（num3，den3）； %原始三階系統(tǒng)建模

den1＝［b1 1］；

num1＝H0；

sys1＝tf（num1，den1）； %近似一階系統(tǒng)建模

step（sys3，＇r＇，sys1，＇b＇）； %系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

圖8表明兩條單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)趨勢(shì)基本一致，降階后的系統(tǒng)其單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr比降階前多0.89 ms，調(diào)整時(shí)間ts比降階前多1.15 ms。這是因?yàn)榻惦A后的近似系統(tǒng)，其極點(diǎn)比降階之前的主導(dǎo)極點(diǎn)更靠近虛軸，在一定程度上延緩了系統(tǒng)響應(yīng)速度。

圖8 降價(jià)前、后單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用FACT對(duì)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)表明：得到傳遞函數(shù)的低熵表達(dá)式，能更直觀(guān)地識(shí)別出系統(tǒng)直流增益、零點(diǎn)、極點(diǎn)；通過(guò)觀(guān)察傳遞函數(shù)表達(dá)式能夠明確串并聯(lián)電路中的主導(dǎo)元件以及電路頻率特性；對(duì)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式進(jìn)行分析和約束，構(gòu)造降階條件，將復(fù)雜高階系統(tǒng)近似等效為簡(jiǎn)單低階系統(tǒng)。用Matlab運(yùn)算軟件對(duì)降階前后的傳遞函數(shù)作單位階躍響應(yīng)仿真運(yùn)算，結(jié)果驗(yàn)證了上述傳遞函數(shù)求解方法、系統(tǒng)降階方法的有效性、合理性。

在工程運(yùn)用中，按照FACT原理簡(jiǎn)化求解過(guò)程、降低求解難度，進(jìn)而提高傳遞函數(shù)求解速度，該技術(shù)具有一定的普適性。