反比例函數(shù)中圖形面積問題的解題技巧

◎趙振海

(山東省東營市墾利區(qū)第二實驗中學(xué),山東 東營 257500)

中考題通過改變與本知識點關(guān)聯(lián)的圖形來體現(xiàn)新穎的出題特點，從而實現(xiàn)試題對不同難度和能力水平的考查2020年中考題，題目類型十分豐富，解題方法更是多種多樣

一、直接應(yīng)用數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)面積值與k值的互求

圖1

圖2

∵⊥，

∴=±12，

∵反比例函數(shù)的圖像在二四象限，

∴<0，

∴=-12

故答案為-12

圖3

A.4 B.6 C.8 D.12

解：過點作⊥軸，垂足為，

∴四邊形的面積為4，

∴四邊形的面積為12，

∴矩形的面積為12-4=8

故選C

二、運(yùn)用簡單不規(guī)則圖形面積的和差轉(zhuǎn)換巧求面積

圖4

A.∶=2∶3 B.∶=1∶1

C.∶=4∶3 D.∶=5∶3

∴×1=-2=4，

∴=4，=-2

∵(4，1)，(-2，-2)，過點分別向軸,軸作垂線，垂足分別為點，，

∴=4作⊥，交的延長線于，則=4，=1，=6，=3，

∴∶=4∶3

故選C

圖5

∴(4，3)，(2，6)作⊥軸于，⊥軸于，

∵△=△+梯形-△=梯形，

故答案為9

以上兩個題目都出現(xiàn)了不規(guī)則的斜三角形，它們沒有在坐標(biāo)軸上的一條邊，因此我們不能一眼看出其面積和值的關(guān)系，它們的求解均是通過割補(bǔ)法進(jìn)行的，都是將斜三角形變成矩形、直角三角形、直角梯形的代數(shù)和，如第4題，=△-△-梯形解此類題目的關(guān)鍵就是向坐標(biāo)軸作垂線割補(bǔ)原圖

三、巧用組合圖形面積值和方程思想逆向求得k值

圖6

解：根據(jù)題意設(shè)(，)，則(，0)，

∵點為斜邊的中點，

∵∠=90°，

∴的橫坐標(biāo)為，

故選C

圖7

A.36 B.48 C.49 D.64

解：過分別作,軸,軸的垂線，垂足分別為,,，如圖7，

∵(0，4)，(3，0)，

∴=4，=3，

∵△的兩個銳角對應(yīng)的外角平分線相交于點，

∴=，=，

∴==，設(shè)(，)，則=

∵△+△+△+△=矩形，

故選A

四、巧用三角形全等或等積規(guī)律求圖形面積或反求k值

圖8

A.6 B.7 C.8 D.14

解：∵∥軸，且△與△共底邊，

∴△的面積等于△的面積，連接，，如圖8所示

故選B

圖9

A.5 B.6 C.11 D.12

解：連接和，

∵點在軸上，則△和△面積相等，

∴△=△-△=6，

∴△的面積為6

故選B

以上兩題中均有一個“跑偏”的三角形，解決方法都是運(yùn)用等積變換將“跑偏”的三角形替換成目標(biāo)三角形如第9題連接和，利用等積法可得△的面積即△的面積，再結(jié)合反比例函數(shù)中系數(shù)的意義，利用△=△-△，問題迎刃而解

五、運(yùn)用相似巧求目標(biāo)三角形面積值反求k值

圖10

解：∵為矩形,

∴⊥軸，作⊥軸，

∴∥,

∴△∽△,

∴=6×2=12

故答案為12

圖11

A.9 B.12 C.15 D.18

解：∵∥∥，

∴△∽△∽△，

∵，是的三等分點，

∵四邊形的面積為3，

∴△=1

∴△=9，

∴=2△=18

故選D.

以上兩題均運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)——面積比等于相似比的平方，求得目標(biāo)三角形面積，進(jìn)而可求出的值