漫談直角三角形存在性問題的解法

◎韓 強(qiáng)

(山東省東營市利津縣鳳凰實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 東營 257400)

2020年江蘇無錫中考題：二次函數(shù)=-3+3的圖像過點(diǎn)(6,0)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線的對稱軸上，若△是以為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________

一、基本解法展示

基本解法1：=-3+3，當(dāng)=0時(shí)，=3，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，又∠=∠=90°，

∴△∽△，

∴=6，

圖1

圖2

基本解法2：=-3+3，當(dāng)=0時(shí)，=3，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

=+=6+3=45,

∵∠=90°，

∴=+，

=+=6+3=45,

∵∠=90°，

∴=+，

二、兩種基本解法的聯(lián)系與區(qū)別

基本解法1主要運(yùn)用的是相似三角形的知識，基本解法2則主要運(yùn)用的是勾股定理的知識兩種解法都是經(jīng)典的巧妙解法，基本解法1創(chuàng)造性水平極高，是把“直角三角形存在”的條件進(jìn)行了等價(jià)替換，使之轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)直角三角形相似，然后運(yùn)用分式方程求解，基本解法2是相對直接的思路，它直接運(yùn)用勾股定理得到關(guān)系式，設(shè)定參數(shù)，并運(yùn)用直角三角形中的勾股關(guān)系表達(dá)目標(biāo)直角三角形的三邊平方，列整式方程求解解法1構(gòu)圖精妙，解法2計(jì)算絕妙，根本區(qū)別還是思維的方向和運(yùn)用知識點(diǎn)的不同解法1相對來說屬于“曲線救國”，適合思維能力較強(qiáng)的學(xué)生掌握，解法2則表現(xiàn)得比較直來直去，適合思維能力較弱的學(xué)生掌握教師在教學(xué)中兩種解法都應(yīng)教給學(xué)生，但是應(yīng)把解法2放在前面講授

其實(shí)，勾股定理何嘗不是由幾個(gè)相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系式推演得到的呢？射影定理中就包含了三個(gè)直角三角形循環(huán)相似的內(nèi)容和勾股定理的結(jié)論這是直角三角形存在性問題能有兩種基本解法的根本原因直角三角形存在性問題的最主要的條件就是“直角的存在”，我們將“存在直角”的條件理解成兩個(gè)銳角互余的條件，就有了尋找兩個(gè)直角三角形相似的解法1，而將“存在直角”的條件理解成三邊所滿足的勾股關(guān)系的條件，就有了直接列出整式方程的解法2解法1還有“弦外之音”，值得深究和挖掘，而解法2就顯得“孤苦伶仃”了我們不妨把解法1叫作相似轉(zhuǎn)化法，把解法2稱為勾股定理法

三、相似轉(zhuǎn)化法的構(gòu)圖策略

由解法1的構(gòu)圖思路，我們將和相似無關(guān)的條件刪除，把二次函數(shù)的背景刪除，不難發(fā)現(xiàn)，基本的圖形有下面兩種，如圖3和圖4

圖3

圖4

其實(shí)，構(gòu)造相似的直角三角形就是解法1的基本策略我們只有構(gòu)造出合適的圖形才能利用相似列出需要的比例式，并利用分式方程求出線段長下面的兩道中考題就是該題型與反比例函數(shù)和矩形結(jié)合的例子

圖5

圖6

圖7

2020年山東煙臺中考題：如圖8，在矩形中，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若=3，=5，則tan∠的值為( )

圖8

(勾股定理法)∵四邊形為矩形，

∴==5，==3，

∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，

∴=-=5-4=1

設(shè)=，則==3-在Rt△中，

∵+=，

故選D.

試思考一下，用第一種基本解法——相似轉(zhuǎn)化法如何求解？

四、直角三角形存在性問題的特殊解法

這類問題中有的加了限定條件“以某條已知線段為直角邊”，這樣直角三角形存在的可能情況就減少了，不加此條件答案一般有四種

圖9

圖10

存在如圖10所示，

(1)當(dāng)⊥時(shí)，△為直角三角形，

根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，

又∵直線經(jīng)過點(diǎn)，

(2)當(dāng)′⊥時(shí)，△′為直角三角形，

又∵直線經(jīng)過點(diǎn)(4，0)，

五、兩種基本解法的選擇方案

盡管兩種基本解法都是萬能的，但是不同題目的特點(diǎn)決定了我們選擇哪種方法一般情況下，如2020年江蘇省無錫市的中考題加了直角邊限定條件，構(gòu)圖比較簡單，我們可以用相似轉(zhuǎn)化法，如果沒有這個(gè)條件，我們就直接用勾股定理法如下面的題目和解析，我們單純從得分和省時(shí)間的角度看，直接用勾股定理便于分類，且不必畫太多的圖下面的中考改編題有四個(gè)答案，我們?nèi)绻没窘夥?，必須完成四個(gè)圖，非常煩瑣，若直接用勾股定理法，則后面的解析步驟整齊簡潔

圖11

∵(-3，2)，(5，-2)，